考试要求
1、理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.
3、了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.
4、会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
5、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理,了解并会用柯西中值定理.
6、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
7、理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法, 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
8、会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a.b)内,设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)具有二阶导数当
f
′
′
(
x
)
>
0
f^{''}(x)>0
f′′(x)>0时,
f
(
x
)
f(x)
f(x)的图形是凹的;当
f
′
′
(
x
)
>
0
f^{''}(x)>0
f′′(x)>0时,
f
(
X
)
f(X)
f(X)的图形是凸的),会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
9、了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径.
连续、可导、可微之间的关系
定理
若函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在点
x
0
x_0
x0处可导,则
f
(
x
)
在
x
0
f(x)在x_0
f(x)在x0处连续。
定理
函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在点
x
0
x_0
x0处可微分的充要条件是
f
(
x
)
在
x
0
f(x)在x_0
f(x)在x0处可导,且
d
y
=
f
′
(
x
0
)
d
x
dy=f^{'}(x _0)dx
dy=f′(x0)dx
TIPS
:
1、 连续 ⇐ 可导 ⇔ 可微 ⇒ 连续 连续\Leftarrow可导\Leftrightarrow 可微\Rightarrow连续 连续⇐可导⇔可微⇒连续
练习1
:设函数
f
(
x
)
=
{
x
2
,
x
≤
1
a
x
+
b
,
x
>
1
f(x)=\begin{cases} x^2,\quad x\le 1 \\ ax+b,\quad x>1 \end{cases}
f(x)={x2,x≤1ax+b,x>1,那么当
a
,
b
a,b
a,b取何值时,
f
(
x
)
在
x
=
1
处可导
f(x)在x=1处可导
f(x)在x=1处可导
知识点
:
1、 f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f^{'}(x_0)=\lim_{ x \to x_0 }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f′(x0)=limx→x0x−x0f(x)−f(x0)
2、定理
函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处可导的充要条件是左右导数存在且相等,即 f ′ ( x 0 ) ⇔ ( f + ′ ( x 0 ) = f − ′ ( x 0 ) f^{'}(x_0) \Leftrightarrow (f^{'}_{+}(x_0)=f^{'}_{-}(x_0) f′(x0)⇔(f+′(x0)=f−′(x0)
解
: lim x → 1 + f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 = a x + b − 1 x − 1 ⇒ { a + b − 1 = 0 lim x → 1 + f ( x ) = a lim x → 1 − f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 = x 2 − 1 x − 1 = 2 左极限存在且相等 ⇒ a = 2 , b = − 1 \lim_{ x \to 1^+ }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{ax+b-1}{x-1}\Rightarrow \begin{cases} a+b-1=0 \\ \lim_{ x \to 1^+ }f(x)=a\end{cases} \\ \quad \\ \lim_{ x \to 1^- }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x^2-1}{x-1} =2 \\ \quad \\ 左极限存在且相等\Rightarrow a=2,b=-1 x→1+limx−1f(x)−f(1)=x−1ax+b−1⇒{a+b−1=0limx→1+f(x)=ax→1−limx−1f(x)−f(1)=x−1x2−1=2左极限存在且相等⇒a=2,b=−1
练习2
:设函数
f
(
x
)
=
{
sin
2
x
+
x
2
cos
1
x
,
x
≠
0
0
,
x
=
0
f(x)=\begin{cases} \sin 2x +x^2\cos \frac{1}{x},x\ne 0 \\ \quad \\ 0,x=0\end{cases}
f(x)=⎩
⎨
⎧sin2x+x2cosx1,x=00,x=0,则
f
(
x
)
f(x)
f(x)在x=0处不成立的是:连续、可导、可微、不可导?
知识点
:
1、 f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f^{'}(x_0)=\lim_{ x \to x_0 }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f′(x0)=limx→x0x−x0f(x)−f(x0)
2、定理
函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处可导的充要条件是左右导数存在且相等,即 f ′ ( x 0 ) ⇔ ( f + ′ ( x 0 ) = f − ′ ( x 0 ) f^{'}(x_0) \Leftrightarrow (f^{'}_{+}(x_0)=f^{'}_{-}(x_0) f′(x0)⇔(f+′(x0)=f−′(x0)
3、 连续 ⇐ 可导 ⇔ 可微 ⇒ 连续 连续\Leftarrow可导\Leftrightarrow 可微\Rightarrow连续 连续⇐可导⇔可微⇒连续
4、无穷小与有界函数的乘积为无穷小
解
: lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim x → 0 sin 2 x + x 2 cos 1 x x = lim x → 0 sin 2 x x + lim x → 0 x cos 1 x = 2 连续 ⇐ 可导 ⇔ 可微 ⇒ 连续 f ( x ) 在 x = 0 处不成立的是不可导 \lim_{ x \to 0 }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{ x \to 0 }\frac{\sin 2x +x^2\cos \frac{1}{x}}{x}=\lim_{ x \to 0 }\frac{\sin 2x}{x}+\lim_{ x \to 0 }{x\cos \frac{1}{x}}=2 \\ \quad \\ 连续\Leftarrow可导\Leftrightarrow 可微\Rightarrow连续 \\ \quad \\ f(x)在x=0处不成立的是不可导 x→0limx−0f(x)−f(0)=x→0limxsin2x+x2cosx1=x→0limxsin2x+x→0limxcosx1=2连续⇐可导⇔可微⇒连续f(x)在x=0处不成立的是不可导
练习3
:设函数
f
(
x
)
=
{
sin
∣
x
∣
x
,
x
≠
0
1
,
x
=
0
f(x)=\begin{cases} \frac{\sin |x| }{x},x\ne 0 \\ \quad \\ 1,x=0\end{cases}
f(x)=⎩
⎨
⎧xsin∣x∣,x=01,x=0,则
f
(
x
)
f(x)
f(x)在x=0处连续性及可导?
知识点
:
1、 f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f^{'}(x_0)=\lim_{ x \to x_0 }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f′(x0)=limx→x0x−x0f(x)−f(x0)
2、定理
函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处可导的充要条件是左右导数存在且相等,即 f ′ ( x 0 ) ⇔ ( f + ′ ( x 0 ) = f − ′ ( x 0 ) f^{'}(x_0) \Leftrightarrow (f^{'}_{+}(x_0)=f^{'}_{-}(x_0) f′(x0)⇔(f+′(x0)=f−′(x0)
3、 连续 ⇐ 可导 ⇔ 可微 ⇒ 连续 连续\Leftarrow可导\Leftrightarrow 可微\Rightarrow连续 连续⇐可导⇔可微⇒连续
4、 x − sin x ∼ 1 6 x 3 x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^3 x−sinx∼61x3
解
f ( x ) = { sin ∣ x ∣ x , x ≠ 0 1 , x = 0 ⇒ f ( x ) = { sin x x , x > 0 1 , x = 0 sin − x x , x < 0 lim x → 0 + sin x x − 1 x − 0 = sin x − x x 2 = − 1 6 x = 0 lim x → 0 − sin ( − x ) x − 1 x = − sin x − x x 2 = − 2 x − 1 6 x 3 x 2 = − ∞ 0 ≠ − ∞ 即导数不存在 lim x → 0 + sin x x = 1 , lim x → 0 − sin ( − x ) x = − 1 lim x → 0 − f ( x ) ≠ lim x → 0 + f ( x ) ⇒ 不连续 故 : f ( x ) 在 x = 0 处即不连续性也不可导 f(x)=\begin{cases} \frac{\sin |x| }{x},x\ne 0 \\ \quad \\ 1,x=0\end{cases}\Rightarrow f(x)=\begin{cases} \frac{\sin x }{x},x\gt 0 \\ \quad \\ 1,x=0\\ \quad \\ \frac{\sin -x }{x},x\lt 0\end{cases} \\ \quad \\ \lim_{ x \to 0^+ }\frac{\frac{\sin x }{x}-1}{x-0}=\frac{\sin x -x}{x^2}=-\frac{1}{6}x=0 \\ \quad \\ \lim_{ x \to 0^- }\frac{\frac{\sin(-x) }{x}-1}{x}=\frac{-\sin x -x}{x^2}=-\frac{2x-\frac{1}{6}x^3}{x^2}=-\infty \\ \quad \\ 0\ne -\infty 即导数不存在\\ \quad \\ \lim_{ x \to 0^+ }\frac{\sin x }{x}=1,\lim_{ x \to 0^- }\frac{\sin (-x) }{x}=-1 \\ \quad \\ \lim_{ x \to 0^- }f(x)\ne \lim_{ x \to 0^+}f(x) \Rightarrow 不连续 \\ \quad \\ 故: f(x)在x=0处即不连续性也不可导 f(x)=⎩ ⎨ ⎧xsin∣x∣,x=01,x=0⇒f(x)=⎩ ⎨ ⎧xsinx,x>01,x=0xsin−x,x<0x→0+limx−0xsinx−1=x2sinx−x=−61x=0x→0−limxxsin(−x)−1=x2−sinx−x=−x22x−61x3=−∞0=−∞即导数不存在x→0+limxsinx=1,x→0−limxsin(−x)=−1x→0−limf(x)=x→0+limf(x)⇒不连续故:f(x)在x=0处即不连续性也不可导
练习4
:设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
(
−
1
,
1
)
(-1,1)
(−1,1)上有定义,且
lim
x
→
0
f
(
x
)
=
0
\lim_{x\to 0}f(x)=0
limx→0f(x)=0,则:
A、当 lim x → 0 f ( x ) x = 0 时, f ( x ) 在 x = 0 处可导 \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=0时,f(x)在x=0处可导 limx→0xf(x)=0时,f(x)在x=0处可导。
B、当 lim x → 0 f ( x ) x 2 = 0 时, f ( x ) 在 x = 0 处可导 \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0时,f(x)在x=0处可导 limx→0x2f(x)=0时,f(x)在x=0处可导。
C、当 f ( x ) 在 x = 0 处可导时, lim x → 0 f ( x ) x = 0 f(x)在x=0处可导时,\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=0 f(x)在x=0处可导时,limx→0xf(x)=0。
D、当 f ( x ) 在 x = 0 处可导时, lim x → 0 f ( x ) x 2 = 0 f(x)在x=0处可导时,\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0 f(x)在x=0处可导时,limx→0x2f(x)=0。\
知识点
:
1、 f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f^{'}(x_0)=\lim_{ x \to x_0 }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f′(x0)=limx→x0x−x0f(x)−f(x0)
2、定理
函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处可导的充要条件是左右导数存在且相等,即 f ′ ( x 0 ) ⇔ ( f + ′ ( x 0 ) = f − ′ ( x 0 ) f^{'}(x_0) \Leftrightarrow (f^{'}_{+}(x_0)=f^{'}_{-}(x_0) f′(x0)⇔(f+′(x0)=f−′(x0)
解
: f ′ ( 0 ) = lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x 当 lim x → 0 f ( x ) x = 0 时 ⇒ lim x → 0 f ( x ) x ⋅ 1 x = ∞ 不可导 当 lim x → 0 f ( x ) x 2 = 0 时 ⇒ lim x → 0 f ( x ) x ⋅ 1 x = ∞ 不可导 当 f ( x ) 在 x = 0 处可导时 ⇒ lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x = 0 lim x → 0 f ( x ) x = lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x . x x = 0 lim x → 0 f ( x ) x 2 = lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x . 1 x = ∞ 故选 C f^{'}(0)=\lim_{ x \to 0 }\frac{f(x)-f(0)}{x} \\ \quad \\ 当\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=0时\Rightarrow \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=\infty 不可导 \\ \quad \\ 当\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0时\Rightarrow \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\cdot \frac{1}{x}=\infty 不可导 \\ \quad \\ 当f(x)在x=0处可导时\Rightarrow \lim_{ x \to 0 }\frac{f(x)-f(0)}{x} =0 \\ \quad \\ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}.\frac{x}{\sqrt{x}}=0 \\ \quad \\ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}.\frac{1}{x}=\infty \\ \quad \\ 故选C f′(0)=x→0limxf(x)−f(0)当x→0limxf(x)=0时⇒x→0limxf(x)⋅x1=∞不可导当x→0limx2f(x)=0时⇒x→0limxf(x)⋅x1=∞不可导当f(x)在x=0处可导时⇒x→0limxf(x)−f(0)=0x→0limxf(x)=x→0limxf(x)−f(0).xx=0x→0limx2f(x)=x→0limxf(x)−f(0).x1=∞故选C