一、题目描述
给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。
百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个节点 p、q，最近公共祖先表示为一个节点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”
示例 1：
输入：root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1 输出：3 解释：节点5和节点1的最近公共祖先是节点3 。
示例 2：
输入：root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4 输出：5 解释：节点5和节点4的最近公共祖先是节点5 。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。
示例 3：
输入：root = [1,2], p = 1, q = 2 输出：1
提示：
- 树中节点数目在范围
[2, 10^5]内。 -10^9 <= Node.val <= 10^9- 所有
Node.val互不相同。 p != qp和q均存在于给定的二叉树中。
二、解题思路
- 如果当前节点为空，或者当前节点是 p 或 q 中的一个，那么返回当前节点。
- 递归地在左子树中查找 p 和 q 的最近公共祖先。
- 递归地在右子树中查找 p 和 q 的最近公共祖先。
- 如果左子树和右子树中分别找到了 p 和 q，那么当前节点就是最近公共祖先。
- 如果只在左子树中找到了 p 和 q 中的一个或两个，那么最近公共祖先一定在左子树中，返回左子树的查找结果。
- 如果只在右子树中找到了 p 和 q 中的一个或两个，那么最近公共祖先一定在右子树中，返回右子树的查找结果。
三、具体代码
class Solution {
public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
// 如果当前节点为空，或者当前节点是 p 或 q，直接返回当前节点
if (root == null || root == p || root == q) {
return root;
}
// 递归地在左子树中查找 p 和 q 的最近公共祖先
TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
// 递归地在右子树中查找 p 和 q 的最近公共祖先
TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
// 如果左子树和右子树中分别找到了 p 和 q，那么当前节点就是最近公共祖先
if (left != null && right != null) {
return root;
}
// 如果只在左子树中找到了 p 和 q，那么最近公共祖先一定在左子树中
if (left != null) {
return left;
}
// 如果只在右子树中找到了 p 和 q，那么最近公共祖先一定在右子树中
return right;
}
}
四、时间复杂度和空间复杂度
1. 时间复杂度
-
单次访问节点：对于树中的每个节点，我们最多只会访问它一次。在递归函数中，每个节点都会被访问一次，然后它的子节点会被递归地访问。
-
递归深度：在最坏的情况下，递归的深度会达到树的高度。在二叉树中，最坏情况是树退化成一条链，此时递归深度为 n（n 是树中节点的数量）。
因此，时间复杂度是 O(n)，其中 n 是树中节点的数量。
2. 空间复杂度
-
递归调用栈：由于递归的特性，在递归过程中，函数调用栈会保存每一层递归的信息。在最坏情况下，递归的深度会达到树的高度。
-
递归深度与空间复杂度的关系：在最坏的情况下，如果树是一条链，那么递归的深度就是 n，此时递归调用栈将占用 O(n) 的空间。
因此，空间复杂度是 O(n)，其中 n 是树中节点的数量。
综上所述：
- 时间复杂度：O(n)，因为每个节点最多被访问一次。
- 空间复杂度：O(n)，因为递归调用栈在最坏情况下可能达到 n 的深度。
五、总结知识点
-
递归：
- 递归是一种常用的算法设计方法，它允许函数调用自身来解决问题。
- 在这个代码中，递归用于遍历二叉树并查找两个节点的最近公共祖先。
-
二叉树遍历：
- 代码通过递归实现了二叉树的遍历，具体是后序遍历（先访问左右子节点，再访问根节点）。
- 遍历过程中，如果找到了 p 或 q 节点，则递归函数会返回该节点。
-
逻辑判断：
- 代码包含了多个 if 语句，用于判断递归函数返回的节点是否为空，从而确定最近公共祖先的位置。
-
树的结构：
- 代码操作的数据结构是二叉树，树中的每个节点包含值（val）、左子节点（left）和右子节点（right）。
-
最近公共祖先的定义：
- 代码实现了一个基于最近公共祖先定义的算法，即对于两个节点 p 和 q，找到它们在二叉树中的最低（最深的）共同祖先。
-
边界条件处理：
- 代码首先检查了边界条件，即当前节点是否为空或等于 p 或 q，这确保了递归的基本情况。
-
递归与回溯的结合：
- 在递归过程中，通过回溯（递归返回）的方式，将子树中的信息传递给父节点，以便在父节点做出决策。
以上就是解决这个问题的详细步骤，希望能够为各位提供启发和帮助。
