3. 函数极限与连续函数

3.2 连续函数

3.2.10 复合函数的连续性

【例3.2.11】证明：对任意实数$\alpha$，$f(x)=x^{\alpha }$在$(0,+\infty )$上连续。
【证】$f(x)=x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}$
即$y=e^u,u=\alpha \ln x$
若$\alpha =$正整数$n$，则$f(x)=x^n$，它在$(-\infty ,+\infty )$上连续。
若$\alpha =$负整数$-n$，则$f(x)=x^{-n}$，它在$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$上连续
若$\alpha =$正的有理数$\frac{q}{p},p,q$是最简分数（既约分数）
若$p$是奇数，它在$(-\infty ,+\infty )$上连续。比如$f(x)=x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$
若$p$是偶数，它在$(0,+\infty )$上连续

3.2.11 基本初等函数的连续性

• $y=c$（常函数）
• 幂函数
• 三角函数
• 反三角函数
• 指数函数
• 对数函数
  基本初等函数在定义域内都是连续的。

3.2.12 初等函数的连续性

【定理3.2.4】一切初等函数在它的定义域上连续。
【注】初等函数是由基本初等函数通过四则运算复合而成的。

【例3.2.12】求$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}$.
【解】这是$1^{\infty }$的待定型，换底
$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to 0}{\lim }(1-(1-\cos x){)}^{\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to 0}{\lim }(1-2{\sin }^2\frac{x}{2}{)}^{\frac{1}{x^2}}$
$(\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}=e^{\ln (\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}}=e^{\frac{1}{x^2}\ln (\cos x)}=e^{\frac{1}{x^2}\ln (1-2{\sin }^2\frac{x}{2})}$
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}\ln (1-2{\sin }^2\frac{x}{2})=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}\ln (1-2{\sin }^2\frac{x}{2}{)}^{\frac{1}{2{\sin }^2\frac{x}{2}}}$
由于$\underset{x\to 0}{\lim }(1-x{)}^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e}$
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{4\times (\frac{x}{2}{)}^2}=\frac{1}{2}$
所以$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}\ln (1-2{\sin }^2\frac{x}{2})=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}\ln (1-2{\sin }^2\frac{x}{2}{)}^{\frac{1}{2{\sin }^2\frac{x}{2}}}=\frac{1}{2}\times \ln (\frac{1}{e})=-\frac{1}{2}$
所以$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$


【例3.2.13】放射性物质的质量变化
设时刻$t=0$时，物质的总量$M=M(0)$，放射的比例系数为$k$，时刻$t$的时候，$M(t)$为多少？
【解】将$(0,t]$分成$n$个小区间，$(\frac{(i-1)t}{n},\frac{it}{n}],i=1,2,...,n$
记小区间为${△}_i$，则$(0,t]=\bigcup _{i=1}^n{△}_i$
${△}_1:M(\frac{t}{n})\approx M-kM\cdot \frac{t}{n}=M(1-\frac{kt}{n})$
${△}_2:M(\frac{2t}{n})\approx M(1-\frac{kt}{n})-kM(1-\frac{kt}{n})\cdot \frac{t}{n}=M(1-\frac{kt}{n}{)}^2$
…
${△}_n:M(\frac{nt}{n})=M(t)\approx M(1-\frac{kt}{n}{)}^n$
则$M(t)=\underset{n\to \infty }{\lim }M(1-\frac{kt}{n}{)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }M{e}^{n\ln (1-\frac{kt}{n})}=\underset{n\to \infty }{\lim }M{e}^{n\cdot \frac{kt}{n}\ln (1-\frac{kt}{n}{)}^{\frac{n}{kt}}}=M{e}^{-kt}$