2 模拟

258. 各位相加 ★

给定一个非负整数 num，反复将各个位上的数字相加，直到结果为一位数。返回这个结果。

示例 1:
输入: num = 38
输出: 2 
解释: 各位相加的过程为：
38 --> 3 + 8 --> 11
11 --> 1 + 1 --> 2
由于 2 是一位数，所以返回2。
示例 2:
输入: num = 0
输出: 0

算法设计

这道题的本质是计算自然数num的数根。数根又称数字根（Digital root），是自然数的一种性质，每个自然数都有一个数根。对于给定的自然数，反复将各个位上的数字相加，直到结果为一位数，则该一位数即为原自然数的数根。

1．模拟法

计算数根的最直观的方法是模拟计算各位相加的过程，直到剩下的数字是一位数。

算法实现：

//LeetCode258 各位相加 
int addDigits(int num) {
    while (num > 9){ // num为两位数 
        int ans = 0; // 累加各个位的和值 
        while (num) {
            ans += num % 10;
            num /= 10;
        }
        num = ans; // 将各位和赋值给num，继续循环 
    }
    return num;
}

2．数学法

利用自然数的性质，则能在O(1)的时间内计算数根。
假设整数num有n位，从最低位到最高位依次是a0…a**n−1，则num可以写成如下形式：

由此可得num与其各位相加的结果模9同余。

• num=0，其数根是0；
• num是9的倍数，其数根是9；
• num不是9的倍数，其数根是num除以9的余数。

算法实现：

int addDigits(int num) {
    if num == 0:
        return 0;
    if num % 9 == 0:
        return 9;
    return num % 9;
}

实际上，num与其各位相加的结果模9同余，无需分情况判断，直接计算(num - 1) % 9 + 1即可，结果相同。
算法实现：

int addDigits(int num) {
    return (num - 1) % 9 + 1;
}

算法分析：

模拟算法的时间复杂度为O(logn)，数学法的时间复杂度为O(1)。空间复杂度均为O(1)。