代码随想录算法训练营

题目信息 518. 零钱兑换 II

题目链接: https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/description/
题目描述:
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

解题思路

这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。

对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：动态规划：关于完全背包，你该了解这些！(opens new window)

但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！

注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？

例如示例一：

5 = 2 + 2 + 1

5 = 2 + 1 + 2

这是一种组合，都是 2 2 1。

如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。

组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。

那我为什么要介绍这些呢，因为这和下文讲解遍历顺序息息相关!

回归本题，动规五步曲来分析如下：

确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

确定递推公式

dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。

所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];

这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇494. 目标和 (opens new window)中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];

dp数组如何初始化

首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。

那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。

但题目描述中，也没明确说 amount = 0 的情况，结果应该是多少。

这里我认为题目描述还是要说明一下，因为后台测试数据是默认，amount = 0 的情况，组合数为1的。

下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。

确定遍历顺序

本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？

我在动态规划：关于完全背包，你该了解这些！ (opens new window)中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。

但本题就不行了！

因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！

而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。

所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。

本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。

那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。

我们先来看外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。

代码如下：

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。

那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

如果把两个for交换顺序，代码如下：

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

此时dp[j]里算出来的就是排列数！

可能这里很多同学还不是很理解，建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知）

举例推导dp数组

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

518.零钱兑换II

最后红色框dp[amount]为最终结果。

代码实现

public int change(int amount,int[] coins){  
    int[] dp = new int[amount + 1];  
    dp[0] = 1;  
    for (int i = 0;i < coins.length;i++){  
        for (int j = coins[i];j <= amount;j++){  
            dp[j] += dp[j - coins[i]];  
        }  
    }  
    return dp[amount];  
}

题目信息 377. 组合总和 Ⅳ

题目链接: https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/description/
题目描述:
给你一个由不同整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

解题思路

但其本质是本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来。

如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。

动规五部曲分析如下：

确定dp数组以及下标的含义

dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

确定递推公式

dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]）推导出来。

因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。

在动态规划：494.目标和 (opens new window)和动态规划：518.零钱兑换II (opens new window)中我们已经讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题也一样。

dp数组如何初始化

因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。

至于dp[0] = 1 有没有意义呢？

其实没有意义，所以我也不去强行解释它的意义了，因为题目中也说了：给定目标值是正整数！所以dp[0] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式。

至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢？

初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。

确定遍历顺序

个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。

得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。

本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。

在动态规划：518.零钱兑换II (opens new window)中就已经讲过了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！

所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

举例来推导dp数组

我们再来用示例中的例子推导一下：

377.组合总和Ⅳ

如果代码运行处的结果不是想要的结果，就把dp[i]都打出来，看看和我们推导的一不一样

代码实现

public int combinationSum4(int[] nums,int target){  
    int dp[] = new int[target + 1];  
    dp[0] = 1;  
    for (int j = 0;j <= target;j++){  
        for (int i = 0;i < nums.length;i++){  
            if (j >= nums[i]) {  
                dp[j] += dp[j - nums[i]];  
            }  
        }  
    }  
    return dp[target];  
}

题目信息 57. 爬楼梯（第八期模拟笔试）

题目链接: https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1067
题目描述:
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

解题思路

之前讲这道题目的时候，因为还没有讲背包问题，所以就只是讲了一下爬楼梯最直接的动规方法（斐波那契）。

这次终于讲到了背包问题，我选择带录友们再爬一次楼梯！

这道题目我们在动态规划：爬楼梯 (opens new window)中已经讲过一次了，这次我又给本题加点料，力扣上没有原题，所以可以在卡码网57. 爬楼梯 (opens new window)上来刷这道题目。

我们之前做的爬楼梯是只能至多爬两个台阶。

这次改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

这又有难度了，这其实是一个完全背包问题。

1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包。

每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！

和昨天的题目动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)基本就是一道题了。

动规五部曲分析如下：

确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

确定递推公式

在动态规划：494.目标和 (opens new window)、动态规划：518.零钱兑换II (opens new window)、动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)中我们都讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]

那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]

dp数组如何初始化

既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。

下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果

确定遍历顺序

这是背包里求排列问题，即：1、2 步和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！

所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。

每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

举例来推导dp数组

介于本题和动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)几乎是一样的，这里我就不再重复举例了。

代码实现

public int climb(int m,int n){  
    int[] dp = new int[n + 1];  
  
    dp[0] = 1;  
    for (int j = 1;j <= n;j++){  
        for (int i = 1;i <= m;i++){  
            if (j >= i){  
                dp[j] += dp[j - i];  
            }  
        }  
    }  
    return dp[n];  
}