像素的相邻像素

4邻域

坐标$(x,y)$处的像素$p$有2个水平的相邻像素和2个垂直的相邻像素，它们的坐标是：
$$(x+1,y),(x-1,y),(x,y+1),(x,y-1)$$

这组像素称为$p$的4邻域，用$N_4(p)$表示。

D邻域

$p$的4个对角相邻像素的坐标是：
$$(x+1,y+1),(x+1,y-1),(x-1,y+1),(x-1,y-1)$$
这组像素称为$p$的D邻域，用$N_D(p)$表示。

8邻域

4邻域和D邻域合称为$p$的8邻域，即$N_8(p)=N_4(p)+N_D(p)$。点$p$的相邻像素的图像位置集合称为$p$的邻域，如果一个邻域包含$p$，那么称该邻域为闭邻域，否则成为开邻域。

邻接、连通、区域和边界

令$V$是用于定义邻接的灰度值集合。在二值图像中，指值为1的像素的邻接时， V = { 1 } V=\{1\} V={1}。在灰度图像中，这一概念相同，但集合$V$通常包含更多的元素。例如，如果正在处理其值域为0到255的像素的邻接，那么集合$V$可能是这256个值的任何一个子集。注意$V$中的值可以不止一个，通常是一组相邻或相似的像素值集合。考虑三种类型的邻接：

邻接类型

1. 4邻接：$q$在集合$N_4(p)$中时，值在$V$中的两个像素$p$和$q$是4邻接的。
2. 8邻接：$q$在集合$N_8(p)$中时，值在$V$中的两个像素$p$和$q$是8邻接的。
3. $m$邻接（也称混合邻接）：满足以下两个条件之一
   1. $q$在$N_4(p)$中。
   2. $q$在$N_D(p)$中，但$N_4(p)\cap N_4(q)$没有值在$V$中的像素，那么值在V中的两个像素$p$和$q$是$m$邻接的。

混合邻接用于消除8邻接的二义性。考虑下图的像素排列，并令 V = { 1 } V=\{1\} V={1}

左图采用8邻接时，中间的1和右上角的1之间存在两条通路。二者之间是8邻接的，但并不是m邻接的（因为二者的$N_4$有交集正上方的1），因此如果采用m邻接方式，则如右图所示，中间的1和右上角的1之间仅存在一条通路。

从坐标为$(x_0,y_0)$的像素$p$到坐标$(x_n,y_n)$的像素$q$的数字通路（或曲线）是不同的像素序列，这些像素的坐标为：
$$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$$
式中，点$(x_i,y_i)$和点$(x_{i-1},y_{i-1})$在$1\le i\le n$时是邻接的。此时，$n$是通路的长度$(x_0,y_0)=(x_n,y_n)$时，即起点和终点相同时，通路是闭合通路。

具体举例可以看参考链接。

在这里再提到一些最短通路的计算技巧：

1. 8邻接中最短通路优先考虑斜线。
2. $m$邻接中是在最短8通路的基础上，优先考虑斜线但需要考虑是否满足$m$邻接的第二个条件。
3. 4邻接中两个像素点是否存在通路可以通过看起点和终点是否有满足4邻接的像素点快速判断 。

连通

令$S$表示图像中像素的一个子集。如果完全由$S$中所有像素组成的两个像素$p$和$q$之间存在一个通路，那么称$p$和$g$在$S$中是连通的。对于S中的任何像素$p$，在$S$中连通到该像素的像素集称为$S$的连通分量。若S仅有一个连通分量，则集合S称为连通集。（表现为S中任意两个像素之间都是连通的）

区域

令$R$表示图像中像素的一个子集。若$R$是一个连通集，则称$R$为图像的一个区域。两个区域$R_i$和$R_j$联合形成一个连通集时，称$R_i$和$R_j$为邻接区域。不邻接的区域称为不相交区域。谈到区域时，我们通常考虑的是4邻接和8邻接。如仅在使用8邻接时，下图的两个1值区域才是邻接的。

假设一幅图像含有$K$个不相交的区域$R$，$k=1,2,\cdots ,K$，并且它们都不与图像边界相接。令$R_u$表示所有$K$个区域的并集，并且令$(R_u{)}^c$表示其补集（集合A的补集是不在A中的点的集合）。我们称$R_u$中的所有点为图像的前景，而称$(R_u{)}^c$中的所有点为图像的背景。

边界

区域$R$的边界（也称边框或轮廓）是$R$中与$R$的补集中的像素相邻的一组像素。换句话说，一个区域的边界是该区域中至少有一个背景邻点的像素集。这里，我们必须再次指定用于定义邻接的连通。例如，如果在区域及其背景之间使用4连通，那么下图中加圈的点就不是1值区域边界的成员。因为这个点和背景之间唯一可能的连接是对角线。为处理这种情况，一个区域及其背景中的点之间的邻接通常用8连通来定义。

前面的定义有时称为区域的内边界，以便与其外边界区分，外边界是背景中的对应边界。在开发跟踪边界的算法时，这一区别很重要。这种算法为了保证结果形成一个闭合通路，通常是沿外边界表达的。

距离测度

对于坐标分别为$(x,y),(u,v)$和$(w,z)$的像素$p$,$q$和$s$，如果同时满足以下三个条件：

1. $D(p,q)\ge 0$ [$D(p,q)=0$，当且仅当$p=q$]
2. $D(p,q)=D(q,p)$
3. $D(p,s)\le D(p,q)+D(q,s)$

则$D$是一个距离函数或距离测度。

欧氏距离

$p$和$q$之间的欧几里得（欧氏）距离定义为：
$$D_e(p,q)=[(x-u{)}^2+(y_v{)}^2{]}^{\frac{1}{2}}$$
对于这个距离测度，到点$(x,y)$的距离小于等于$r$的像素，是中心在$(x,y)$、半径为$r$的圆盘。

城市街区距离（city-block distance）

$p$和$q$之间的$D_4$距离（称为城市街区距离）定义为：
$$D_4(p,q)=|x-u|+|y-v|$$
此时，到$(x,y)$的距离$D_4$小于等于$d$的像素形成一个中心为$(x,y)$的菱形。例如，到$(x,y)$（中心点）的距离$D$小于等于2的像素形成如下恒定距离的轮廓：

其中$D_4=1$的像素是$(x,y)$的4邻域。

棋盘距离（chessboard distance）

$p$和$q$之间的$D_8$距离（称为棋盘距离）定义为：
$$D_8(p,q)=max(|x-u|,|y-v|)$$
此时，到$(x,y)$的距离$D_8$小于等于$d$的像素形成一个中心为$(x,y)$的正方形。例如，到中心点$(x,y)$的距离$D$小于等于2的像素形成如下恒定距离的轮廓:

其中$D_8=1$的像素是位于点$(x,y)$处的像素的8邻域。

参考

数字图像处理（第四版）-冈萨雷斯

图像处理：像素间的一些基本关系（领域、领接性、通路、连通分量、距离）_m邻接-CSDN博客