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问题 1：建模思路与方法
问题描述
我们需要为某乡村在 2024-2030 年间制定最优的农作物种植方案。考虑的因素包括农作物的销售量、种植成本、亩产量、销售价格、以及不同土地的适宜种植条件等。该问题分为两种情况：(1) 超过部分滞销，造成浪费；(2) 超过部分按 2023 年销售价格的 50%降价出售。
建模目标
目标是确定每年、每季在各地块和大棚种植的作物种类和面积，以使得该乡村在2024-2030年期间的收益最大化。
约束条件
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耕地与大棚类型限制：不同类型的耕地和大棚适宜种植的作物种类和季数有限制。
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轮作限制：同一地块（含大棚）每季不能种植相同作物，豆类作物在每三年内至少要种植一次。
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分散度与面积限制：每种作物的种植地不能太分散，同一地块的种植面积不宜过小。
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销售与产量限制：每种作物的产量若超过预期销售量，超过部分在不同情况下有不同的处理方式（浪费或降价出售）。
建模步骤 [ 收益 = ( 亩产量 × 种植面积 ) × 销售价格 − 种植成本 × 种植面积 ] [ \text{收益} = (\text{亩产量} \times \text{种植面积}) \times \text{销售价格} - \text{种植成本} \times \text{种植面积} ] [收益=(亩产量×种植面积)×销售价格−种植成本×种植面积] -
数据准备与假设
○ 设定模型中所有农作物的销售价格、种植成本、亩产量和销售量保持稳定。
○ 假设每种作物的种植收益可以表示为：
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变量定义
○ 设 ( x i j k t ) (x_{ij}^{kt}) (xijkt)为在第 (i) 个地块或大棚 (k)（共 34 个地块和 20 个大棚）第 (t) 年的第 (j) 季种植的第 (j) 种作物的面积。
○ 目标是优化 ( x i j k t ) (x_{ij}^{kt}) (xijkt) 的取值，使得乡村的总体收益最大化。 -
目标函数
目标是最大化总收益：
[ max ∑ t = 2024 2030 ∑ k = 1 54 ∑ j = 1 m ( ( 亩产量 j × x i j k t ) × 销售价格 j − 种植成本 j × x i j k t ) ] [ \max \sum_{t=2024}{2030} \sum_{k=1}{54} \sum_{j=1}{m} \left( (\text{亩产量}{j} \times x{ij}{kt}) \times \text{销售价格}{j} - \text{种植成本}{j} \times x_{ij}^{kt} \right) ] [max∑t=20242030∑k=154∑j=1m((亩产量j×xijkt)×销售价格j−种植成本j×xijkt)]
其中 (m) 为不同作物的种类数。 -
约束条件的数学表达
○ 地块种植条件：
$[
x_{ij}^{kt} = 0, \quad \text{if 作物 j j j 不适宜在地块 k k k 种植}
]$
○ 轮作限制：
[ x i j k t + x i j k ( t − 1 ) = 0 , ∀ t , k , j ] [ x_{ij}{kt} + x_{ij}{k(t-1)} = 0, \quad \forall t, k, j ] [xijkt+xijk(t−1)=0,∀t,k,j]
○ 豆类种植约束：
每三年内至少有一年种植豆类作物：
[ ∑ t = 1 3 x 豆类 , j k t ≥ 1 , ∀ k ] [ \sum_{t=1}{3} x_{\text{豆类},j}{kt} \geq 1, \quad \forall k ] [∑t=13x豆类,jkt≥1,∀k]
○ 种植面积限制：作物不能太分散且面积不能过小。 -
求解方法
○ 采用线性规划或整数线性规划（Mixed-Integer Linear Programming, MILP）进行求解。
○ 利用工具如 Python 的 PuLP、Gurobi 或 Matlab 的优化工具箱来实现优化求解。 -
不同情况的处理
○ 情况 (1)：超过部分滞销
对于滞销的部分，直接在目标函数中不计入该部分的销售收入。
○ 情况 (2)：超过部分降价出售
对于超过部分的降价计算，可以在目标函数中加入一项额外的降价处理：
[ 降价收益 = ( 超出部分亩产量 × 超出部分面积 ) × 0.5 × 销售价格 ] [ \text{降价收益} = (\text{超出部分亩产量} \times \text{超出部分面积}) \times 0.5 \times \text{销售价格} ] [降价收益=(超出部分亩产量×超出部分面积)×0.5×销售价格]
