MATLAB智能优化算法-学习笔记（2）——变邻域搜索算法求解旅行商问题【过程+代码】

news2024/11/14 21:44:30

旅行商问题 (TSP)

旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）是经典的组合优化问题之一。问题的描述是：给定若干个城市以及每对城市之间的距离，一个旅行商需要从某个城市出发，访问每个城市恰好一次，最后回到出发城市，目标是找到一条总距离最短的环路。TSP 是 NP-hard 问题，即对于大规模问题无法在多项式时间内找到精确解，因此在实际应用中通常使用近似算法或启发式算法来求解。

旅行商问题的应用

TSP 在许多实际问题中都有广泛的应用，如：

  • 物流配送：优化送货路线，降低运输成本。
  • 芯片制造：优化电子芯片中钻孔的路径。
  • 基因排序：在生物信息学中用于基因排序问题。

变邻域搜索算法 (VNS)

变邻域搜索算法（Variable Neighborhood Search, VNS）是一种基于邻域结构的元启发式算法，用于求解各种组合优化问题。其核心思想是通过系统地改变解的邻域结构，跳出局部最优解，从而找到全局最优解。

VNS 的基本思想
  • 邻域结构：定义多个邻域，每个邻域表示从当前解生成新解的方式（例如在TSP中可以是交换两个城市的位置、反转子路径等）。
  • 邻域搜索：在当前邻域中进行局部搜索，找到邻域中的最优解。
  • 邻域变化：如果当前邻域中找到的解比当前解更优，则接受该解并重新从第一个邻域开始搜索；否则，切换到下一个邻域。
  • 多样性与强度的平衡：通过改变邻域，VNS 在局部搜索强度和解空间多样性之间取得平衡。

旅行商问题与变邻域搜索算法的联系

VNS 解决 TSP 的过程

在旅行商问题中，邻域结构可以非常灵活，常用的有：

  • 2-opt 邻域：交换两个城市之间的路径段。
  • 3-opt 邻域：反转或重连三个城市之间的路径段。
  • k-opt 邻域：更高阶的交换策略。

VNS 使用这些不同的邻域结构来进行局部搜索。首先，从一个初始解开始，逐步在不同的邻域中搜索更优的解。如果在某个邻域中找到比当前解更好的解，VNS 会立即接受这个解并重新开始搜索。通过不断改变邻域结构，VNS 有效地避免了陷入局部最优解，增加了找到全局最优解的可能性。

优点
  • 跳出局部最优：通过系统地改变邻域，VNS 能够跳出局部最优解，提高找到全局最优解的机会。
  • 灵活性：VNS 可以轻松地适应不同的问题和邻域定义，适用于各种优化问题。
  • 实现简单：VNS 相对简单易实现，只需要定义不同的邻域和局部搜索策略。
应用效果

在 TSP 等复杂的组合优化问题中，VNS 已被证明是非常有效的。它能够在合理的计算时间内找到接近最优的解决方案，特别适合大规模TSP问题的求解。

总结

旅行商问题作为经典的组合优化问题，因其复杂性和广泛的实际应用而备受关注。变邻域搜索算法通过系统地改变邻域结构进行局部搜索，有效地避免了局部最优解的陷阱，在解决旅行商问题时表现出了优越的性能。两者的结合使得VNS成为求解TSP的强大工具，在各类实际应用中发挥了重要作用。


一、问题描述

所有可能的行走路线

考虑所有 24 种排列组合，每一种路径都包括返回到出发城市的步骤，下面列举所有可能的路径及其总距离：

城市坐标数据

假设4个城市的横纵坐标如下表所示：

城市 横坐标 (X) 纵坐标 (Y)
A 0 0
B 1 2
C 3 1
D 4 3

路径总距离计算

下面列出所有 24 条路径：

路线编号 行走路线 总距离（返回出发城市）
1 A -> B -> C -> D -> A 2.24+2.83+2.24+5.00=12.312.24 + 2.83 + 2.24 + 5.00 = 12.312.24+2.83+2.24+5.00=12.31
2 A -> B -> D -> C -> A 2.24+3.16+2.24+3.16=10.802.24 + 3.16 + 2.24 + 3.16 = 10.802.24+3.16+2.24+3.16=10.80
3 A -> C -> B -> D -> A 3.16+2.83+3.16+5.00=14.153.16 + 2.83 + 3.16 + 5.00 = 14.153.16+2.83+3.16+5.00=14.15
4 A -> C -> D -> B -> A 3.16+2.24+3.16+2.24=10.803.16 + 2.24 + 3.16 + 2.24 = 10.803.16+2.24+3.16+2.24=10.80
5 A -> D -> B -> C -> A 5.00+3.16+2.83+3.16=14.155.00 + 3.16 + 2.83 + 3.16 = 14.155.00+3.16+2.83+3.16=14.15
6 A -> D -> C -> B -> A 5.00+2.24+2.83+2.24=12.315.00 + 2.24 + 2.83 + 2.24 = 12.315.00+2.24+2.83+2.24=12.31
7 B -> A -> C -> D -> B 2.24+3.16+2.24+3.16=10.802.24 + 3.16 + 2.24 + 3.16 = 10.802.24+3.16+2.24+3.16=10.80
8 B -> A -> D -> C -> B 2.24+5.00+2.24+2.83=12.312.24 + 5.00 + 2.24 + 2.83 = 12.312.24+5.00+2.24+2.83=12.31
9 B -> C -> A -> D -> B 2.83+3.16+5.00+3.16=14.152.83 + 3.16 + 5.00 + 3.16 = 14.152.83+3.16+5.00+3.16=14.15
10 B -> C -> D -> A -> B 2.83+2.24+5.00+2.24=12.312.83 + 2.24 + 5.00 + 2.24 = 12.312.83+2.24+5.00+2.24=12.31
11 B -> D -> A -> C -> B 3.16+5.00+3.16+2.83=14.153.16 + 5.00 + 3.16 + 2.83 = 14.153.16+5.00+3.16+2.83=14.15
12 B -> D -> C -> A -> B 3.16+2.24+3.16+2.24=10.803.16 + 2.24 + 3.16 + 2.24 = 10.803.16+2.24+3.16+2.24=10.80
13 C -> A -> B -> D -> C 3.16+2.24+3.16+2.83=14.153.16 + 2.24 + 3.16 + 2.83 = 14.153.16+2.24+3.16+2.83=14.15
14 C -> A -> D -> B -> C 3.16+5.00+3.16+2.24=14.153.16 + 5.00 + 3.16 + 2.24 = 14.153.16+5.00+3.16+2.24=14.15
15 C -> B -> A -> D -> C 2.83+2.24+5.00+2.24=12.312.83 + 2.24 + 5.00 + 2.24 = 12.312.83+2.24+5.00+2.24=12.31
16 C -> B -> D -> A -> C 2.83+3.16+5.00+3.16=14.152.83 + 3.16 + 5.00 + 3.16 = 14.152.83+3.16+5.00+3.16=14.15
17 C -> D -> A -> B -> C 2.24+5.00+2.24+2.83=12.312.24 + 5.00 + 2.24 + 2.83 = 12.312.24+5.00+2.24+2.83=12.31
18 C -> D -> B -> A -> C 2.24+3.16+2.24+3.16=10.802.24 + 3.16 + 2.24 + 3.16 = 10.802.24+3.16+2.24+3.16=10.80
19 D -> A -> B -> C -> D 5.00+2.24+2.83+2.24=12.315.00 + 2.24 + 2.83 + 2.24 = 12.315.00+2.24+2.83+2.24=12.31
20 D -> A -> C -> B -> D 5.00+3.16+2.83+3.16=14.155.00 + 3.16 + 2.83 + 3.16 = 14.155.00+3.16+2.83+3.16=14.15
21 D -> B -> A -> C -> D 3.16+2.24+3.16+2.83=10.803.16 + 2.24 + 3.16 + 2.83 = 10.803.16+2.24+3.16+2.83=10.80
22 D -> B -> C -> A -> D 3.16+2.83+3.16+5.00=14.153.16 + 2.83 + 3.16 + 5.00 = 14.153.16+2.83+3.16+5.00=14.15
23 D -> C -> A -> B -> D 2.24+3.16+2.24+3.16=10.802.24 + 3.16 + 2.24 + 3.16 = 10.802.24+3.16+2.24+3.16=10.80
24 D -> C -> B -> A -> D 2.24+2.83+2.24+5.00=12.312.24 + 2.83 + 2.24 + 5.00 = 12.312.24+2.83+2.24+5.00=12.31

总结

通过列举所有24种可能的路径，可以发现有6条路径（编号为2、4、7、12、18、23）具有最短距离10.80，这些路径是等效的，因为它们只是从不同的城市出发但访问顺序相同。

二、算法简介

在解决旅行商问题（TSP）时，常用的一些算法包括：

  1. 暴力搜索法（Brute Force Search）
  2. 动态规划法（Dynamic Programming）
  3. 近似算法
  4. 启发式算法（Heuristic Algorithms）
  5. 元启发式算法（Metaheuristic Algorithms）
1. 暴力搜索法（Brute Force Search）

暴力搜索法通过枚举所有可能的城市访问顺序，计算每种顺序的总距离，然后选择其中距离最短的路径。这种方法对于少量城市非常有效，但当城市数量增加时，计算复杂度会呈指数级增长，导致求解时间急剧增加。对于4个城市，暴力搜索可以轻松找出最优解，但对于更多城市，这种方法变得不可行。

2. 动态规划法（Dynamic Programming）

动态规划法利用子问题的最优解来构建整个问题的最优解。在旅行商问题中，动态规划的经典算法是Bellman-Held-Karp算法，它通过记录每个子集的最短路径来逐步构建最终解。这种方法显著减少了计算量，但对于非常大的问题仍然不够高效。

3. 近似算法

近似算法通过快速计算来获得一个接近最优的解，通常用于大规模的TSP问题。一个常见的近似算法是“最近邻算法”（Nearest Neighbor Algorithm），它从一个起点城市出发，每次选择最近的未访问城市。虽然这种方法速度快，但结果通常不是最优的。

4. 启发式算法（Heuristic Algorithms）

启发式算法基于经验法则，为特定问题设计解决策略，如2-opt和3-opt算法。这些算法通过对现有路径进行局部优化来改进解答，虽然无法保证找到全局最优解，但在实践中可以得到较好的结果。

  • 2-opt算法：通过交换路径中的两个边，消除交叉点，从而减少路径长度。
  • 3-opt算法：通过移除三个边并重连剩余部分，进一步优化路径。
5. 元启发式算法（Metaheuristic Algorithms）

元启发式算法是一类高级启发式算法，用于寻找全局最优解。它们通过在解空间中进行广泛搜索和局部搜索相结合，跳出局部最优，接近全局最优解。

常见的元启发式算法包括：

  • 模拟退火算法（Simulated Annealing）：通过模拟物理退火过程，逐步减小“温度”，以减少接受较差解的概率，从而收敛到全局最优解。

  • 遗传算法（Genetic Algorithm）：模仿生物进化的过程，通过选择、交叉和变异操作来生成新解，

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