简述

在看Swin Transformer的时候，一开始在相对位置编码这一块的理解上卡壳了挺久，也没有充分理解为什么这么做，在这记录一下自己的一些理解，以防之后忘记。

相对位置编码的意义

GPT ： 用来表示一个像素或特征点相对于另一个像素或特征点的位置关系。在处理窗口（window）或局部区域时，计算相对位置索引可以帮助模型更好地捕捉局部结构和上下文信息。

直观理解

注意力

例如现在是2x2的像素窗口，想要计算他们的相对位置关系，那怎么计算？首先需要先理解一下多头自注意力机制是在搞啥子，用语言的理解就是，当前这一句话和自己的关系（简单理解）。例如下面这句话形成的注意力第一行就是“我"和 “我”、“在”、“吃”、“饭” 四个字的注意力关系。

以图像像素理解：由于像素是二维形式，存在行列关系，因此通常需要裁减成小窗口(windows)，计算注意力关系，小窗口又想像一维计算注意力这么方便，那只能把像素进行平铺，以2x2窗口为例，需要平铺成4x1计算他们的注意力，跟上图类似，“我在吃饭”，可以理解为一个2x2窗口。

相对位置获取必要性

由于我们在像素上进行平铺，我们想要在注意力上加上位置信息，为啥要这样做？我的理解是像素平铺的方式，把原本像素的间隔拉大了，可能会加大网络学习的难度，以下图为例，左手左脚本来上下仅间隔一个像素，有强位置约束关系，但经过像素平铺为一维后，间隔变大，可能会比较难找到两者的关系。所以需要对位置进行编码，让网络知道左脚和左手位置相近。

当前位置初步获取

由于像素本身存在行列关系，因此使用行列进行位置编码是最合适的方式。首先使用torch.arange、torch.meshgrid 和torch.stack 函数形成 行列坐标，然后将行列坐标使用torch.flatten平铺成一维。这个时候整个坐标尺寸是[2,4] ，其中2代表x、y两个坐标，4代表4个像素，如图所示，按照顺序分别对应(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)四个像素坐标。

代码如下：

import torch
## 一步步理解，以2x2的window size 为例

# 步骤1 得到当前window 下的xy坐标
window_size=(2,2)
coords_h = torch.arange(window_size[0]) # 0-1行
coords_w = torch.arange(window_size[1]) #0-1列
coords = torch.meshgrid([coords_h, coords_w]) #形成两个坐标，分别对应 行、列
coords = torch.stack(coords) ## -> 2*(wh, ww) #将两个坐标堆叠起来，得到某个位置的xy坐标
print("coords shape:",coords.shape) #torch.Size([2, 2, 2]),第一维的2代表x，y坐标
print(coords)
## 步骤2，将纵坐标h，横坐标w，平摊，做成2维张量
coords_flatten = torch.flatten(coords, 1) 
print(coords_flatten.shape)# torch.Size([2, 4]),第一维的2代表x，y坐标
print(coords_flatten) # 2, Wh*Ww ，整个窗口所有的h,w索引

利用广播机制获取相对位置索引XY

现在，想获取当前像素和其他像素的相对位置，应该怎么操作？可以直接利用广播机制，列扩展维度作为当前像素位置，行扩展维度作为其他像素的位置，两者相减得到相对xy坐标。 图1，第一行的每一列都是第一个像素；图2，第一行的4列对应4个像素位置；两者相减得到图3，第一行代表是第一个像素和所以4个像素的相对位置关系。

代码：

## 步骤3，利用广播机制，得到相对位置,举例图
relative_coords_first = coords_flatten[:, :, None]  # 2, wh*ww, 1   # 当前窗口扩展列
relative_coords_second = coords_flatten[:, None, :] # 2, 1, wh*ww   #当前窗口扩展行
relative_coords = relative_coords_first - relative_coords_second # 最终得到 2, wh*ww, wh*ww 

relative_coords = relative_coords.permute(1, 2, 0).contiguous() #为u都变换，变成Wh*Ww, Wh*Ww, 2,相对坐标
print(relative_coords[:,:,0])
print(relative_coords[:,:,1])

获取最后相对位置1

现在，我们想要获取非负数的位置索引，怎么做呢？首先我们需要先知道相对位置最小，最大值是多少？
最大值就是当前像素是第一个像素的时候最后一个像素的位置（windowsize -1 , windowsize -1）；
最小值就是当前像素是最后一个像素时候第一个像素的位置(-(windowsize-1) ,-(windowsize-1)) ；
因此，对负数进行偏移需要X、Y 各自加上 windowsize-1。

现在，我们已经获取到非负的xy相对位置索引，需要做最后一个步骤，把两个索引映射成单一的维度的索引。能想到的最简单方式就是x+y，但是这个方式是不行的。如下图所示，如果直接两者相加，那么针对同一个像素，其他像素跟他的相对位置索引就会重复。例如第一个像素 和 （第二个像素、第三个像素）索引位置都是1.

获取最后相对位置2

那么，需要使用什么计算方法，才能让二维索引映射成单维索引呢？回想起二维数组 reshape成一维数组，其他行的单索引是 y*len + x，其中len是列数目，也就是一行有几个数。在相对位置索引中，一行最多的数目又是多少呢？
原本第一个元素和最后一个元素的索引值相差最多，分别是 windowsize - 1 和 -（windowsize -1）如下图所示。

也就是每一行的值范围是[(-(windowsize -1)) , (windowsize-1) ] ，在上面步骤中，我们让偏移的最小值变成0，也就是索引值范围是 [0 ， 2*windowsize -2]，总的有 2*windowsize -1 个数目，所以下一行第一个索引的值是，y*（2*windowsize -1）+ x。
想象一下，如果现在有一个3x3 数组，那么第二行第一个元素的索引是不是 1*3 + 0 = 3？

这就是为啥相对位置索引要乘以 2 * window_size[1] - 1。
具体代码如下

relative_coords[:, :, 0] += window_size[0] - 1 # 
relative_coords[:, :, 1] += window_size[1] - 1
print(relative_coords[:,:,0])
print(relative_coords[:,:,1])
print(relative_coords[:,:,0]+relative_coords[:,:,1])
relative_coords[:, :, 0] *= 2 * window_size[1] - 1
relative_position_index = relative_coords.sum(-1)  # Wh*Ww, Wh*Ww
print(relative_position_index)

最终的相对位置值嵌入

具体的相对位置值加入注意力并不是直接依靠这个索引，而是创建一个可学习参数的table，利用上面的位置索引到这个table里面去找相应值。第一个元素和最后一个元素位置相差最多，正向距离是 windowsize -1 ，反向距离是 -(windowsize -1) ，在加上本身相对位置是0，所以总的相对位置有(2 * window_size[0] - 1) * (2 * window_size[1] - 1) 个值，而不是window_size[0]*window_size[1] * window_size[0]*window_size[1]个，这也是这个可学习table的维度。
最后根据相对位置索引去找table的值就可以啦

relative_position_bias_table = torch.zeros((2 * window_size[0] - 1) * (2 * window_size[1] - 1), num_heads)
print(relative_position_bias_table.shape)
print(relative_position_bias_table[relative_position_index.view(-1)].shape) #16x6