用Python实现9大回归算法详解——09. 决策树回归算法

news2024/12/27 2:14:21

1. 决策树回归的基本概念

决策树回归（Decision Tree Regression）是一种树状结构的回归模型，通过对数据集进行递归分割，将数据分成更小的子集，并在每个子集上进行简单的线性回归。决策树的核心思想是通过选择特征及其阈值来最大化每次分裂后的目标函数增益，从而找到使误差最小化的模型。

2. 决策树回归的算法流程

（1）节点分裂：

节点分裂的目标是最小化每个子节点中的均方误差（MSE），具体公式如下：

从当前数据集中选择一个特征及其阈值，将数据集分割为两个子集。
选择一个使得分裂后的两部分数据能够最大化目标函数增益的特征和阈值。

$\text{MSE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left( y_i - \hat{y}_i \right)^2$

其中：

$y_i$ 是第 $i$ 个样本的真实值。
$\hat{y}_i$ 是第 $i$ 个样本的预测值（子节点中的均值）。
$N$ 是子节点中的样本数。

（2）树的构建：

递归地对每个子节点进行分裂，直到达到某个停止条件（如最大深度、最小样本数等）。
每个叶节点的预测值为该节点中所有样本目标值的平均值。

叶节点的预测值公式：

$\hat{y}_{\text{leaf}} = \frac{1}{N_{\text{leaf}}} \sum_{i=1}^{N_{\text{leaf}}} y_i$

其中：

$N_{\text{leaf}}$ 是叶节点中的样本数。
$y_i$ 是叶节点中第 $i$ 个样本的真实值。

（3）树的剪枝（可选）：

为了避免过拟合，可以使用剪枝技术，对已经生成的决策树进行剪枝，去掉那些对最终预测贡献较小的节点。

3. 决策树回归的数学表达

（1）均方误差（MSE）：

$\text{MSE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left( y_i - \hat{y}_i \right)^2$

（2）叶节点的预测值：

$\hat{y}_{\text{leaf}} = \frac{1}{N_{\text{leaf}}} \sum_{i=1}^{N_{\text{leaf}}} y_i$

（3）分裂节点的选择：

对于特征 $j$ 和阈值 $t$ ，选择能够最小化分裂后的两个子节点的总 MSE 的分裂方式：

$\text{Split} = \arg\min_{j, t} \left[ \frac{N_{\text{left}}}{N} \text{MSE}_{\text{left}} + \frac{N_{\text{right}}}{N} \text{MSE}_{\text{right}} \right]$

其中：

$\text{MSE}_{\text{left}}$ 和 $\text{MSE}_{\text{right}}$ 分别是左子节点和右子节点的均方误差。

4. 决策树回归的优缺点

优点：

易于理解和解释：决策树结构直观易懂，能够很容易地解释模型的决策过程。
处理非线性数据：决策树可以处理非线性数据，而不需要对数据进行特殊的处理。
无需特征缩放：决策树对数据的尺度不敏感，无需进行特征缩放。

缺点：

容易过拟合：决策树容易生成复杂的模型，对训练数据拟合过度，从而降低对新数据的泛化能力。
不稳定性：小的扰动可能导致完全不同的树结构，因为树的分裂方式可能会对训练数据中的小变化产生较大影响。

5. 决策树回归案例

我们将通过一个具体的案例来展示如何使用决策树回归进行预测，并对结果进行详细分析。

5.1 数据加载与预处理

我们使用加利福尼亚州房价数据集（California Housing Dataset）进行回归预测。

from sklearn.datasets import fetch_california_housing
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score

# 加载加利福尼亚州房价数据集
housing = fetch_california_housing()
X, y = housing.data, housing.target

# 将数据集划分为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

解释：

数据加载：我们选择加利福尼亚州房价数据集，该数据集包含加利福尼亚州的房屋特征数据，用于预测房屋的价格中位数。
数据划分：将数据集划分为训练集和测试集，80% 的数据用于训练，20% 的数据用于测试。

5.2 模型训练与预测

我们使用 DecisionTreeRegressor 进行模型训练，并对测试集进行预测。

# 定义决策树回归模型
dtr = DecisionTreeRegressor(max_depth=5, random_state=42)

# 训练模型
dtr.fit(X_train, y_train)

# 对测试集进行预测
y_pred = dtr.predict(X_test)

解释：

模型定义：DecisionTreeRegressor 是决策树回归的实现。我们设置 max_depth=5 来限制树的最大深度，以防止过拟合。
模型训练：使用训练集数据进行模型训练，构建决策树模型。
模型预测：训练完成后，使用模型对测试集进行预测，得到预测值。

5.3 模型评估与结果分析

我们使用均方误差（MSE）和决定系数（ $R^2$ ）来评估模型的性能。

# 计算均方误差 (MSE) 和决定系数 (R²)
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = r2_score(y_test, y_pred)

print("均方误差 (MSE):", mse)
print("决定系数 (R²):", r2)

输出：

均方误差 (MSE): 0.5245146178314735
决定系数 (R²): 0.5997321244428706

解释：

均方误差 (MSE)：模型的预测误差为 0.524，表明模型对测试集的预测有一定误差。
决定系数 (R²)：模型的 $R^2$ 值为 0.599，说明模型能够解释 59.9% 的目标变量方差，模型拟合效果尚可。

5.4 决策树可视化

我们可以通过可视化决策树的结构，来更好地理解模型的决策过程。

from sklearn.tree import plot_tree
import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(20,10))
plot_tree(dtr, filled=True, feature_names=housing.feature_names, rounded=True)
plt.show()

输出：

可视化解释：

树结构：每个节点显示了用于分裂的数据特征、阈值、节点中的样本数量以及预测的目标值。
颜色深浅：颜色表示了节点中目标值的均值，颜色越深表示预测值越高。

5.5 结果可视化

我们还可以通过绘制预测值与实际值的散点图，来进一步验证模型的表现。

# 绘制预测值与实际值的散点图
plt.scatter(y_test, y_pred, color="blue", alpha=0.5)
plt.plot([y_test.min(), y_test.max()], [y_test.min(), y_test.max()], 'r--', lw=2)
plt.xlabel("Actual")
plt.ylabel("Predicted")
plt.title("Decision Tree Regression: Actual vs Predicted")
plt.show()

输出：

可视化解释：

散点图：横轴表示测试集的实际房价，纵轴表示模型预测的房价。每个点代表一个测试样本的预测结果。

红色虚线：表示理想情况下，预测值应与实际值完全一致的参考线（即 $y = x$ 的线）。
分析：如果大多数散点分布在红色虚线附近，说明模型的预测效果较好。散点分布越集中，表示模型的预测准确性越高。反之，如果散点分布较为分散，特别是在远离红色虚线的区域，说明模型的预测误差较大。

5.6 参数调优

为了进一步提升模型性能，我们可以通过网格搜索（Grid Search）来调优决策树的超参数，如最大深度（max_depth）、最小分裂样本数（min_samples_split）等。

from sklearn.model_selection import GridSearchCV

# 定义参数网格
param_grid = {
    'max_depth': [3, 5, 7, 10],
    'min_samples_split': [2, 5, 10],
    'min_samples_leaf': [1, 2, 4]
}

# 实例化决策树回归模型
dtr = DecisionTreeRegressor(random_state=42)

# 进行网格搜索
grid_search = GridSearchCV(estimator=dtr, param_grid=param_grid, cv=5, scoring='neg_mean_squared_error', n_jobs=-1)
grid_search.fit(X_train, y_train)

# 输出最佳参数
print("最佳参数:", grid_search.best_params_)

解释：

参数选择：通过网格搜索，我们定义了多个超参数的组合，如 max_depth、min_samples_split 和 min_samples_leaf，用于寻找最优的参数设置。
交叉验证：使用 5 折交叉验证（cv=5）来评估每个参数组合的表现，从而选择最优的参数。
输出最佳参数：模型训练完成后，输出最佳的参数组合，这些参数可以用于构建性能更优的模型。