有序二叉树

• 关于有序二叉树的详解以及 $Java$代码实现详见：二叉排序树详解并通过Java代码实现。
• 每个节点最多有两个孩子节点。
• 任一节点的值大于其左孩子的值，小于其右孩子的值。
• 有序二叉树在查找和排序方面具有比较好的性能。
• 有序二叉树性能不稳定，查找的复杂度介于 $O(logn)-O(n)$ 之间。

平衡二叉树

• 对于构造有序二叉树时出现的一些特殊的情况，例如每个节点的值都比上一个插入的值要大，那么构造出来的二叉树就会像一个链表一样向一边不断延伸。这种情况下我们对数据进行查找的复杂度就又会变成 $O(n)$。
• 为了使有序二叉树稳定，我们引入平衡二叉树，平衡二叉树在有序二叉树的基础之上，左右子树的高度差不会超过$1$。这样就确保了在进行数据查找是接近 $O(logn)$ 的复杂度。
• 数据在插入的过程中是无序的，为了解决这一问题，我们引入了四种算法：RR、LL、RL、LR。通过节点的旋转来使二叉树平衡。

构造平衡二叉树

RR

LL

RL

LR

平衡二叉树的优缺点：

• 优点：左右孩子节点平衡，查找消耗的时间复杂度无限接近 $O(logn)$。
• 缺点：过于复杂，构建过程会消耗计算机的性能。

2-3-4树

• 2-3-4树中存在着3种类型的节点：

节点名称	特征
2节点	存放一个数据，分出两个叉
3节点	存放两个数据，分出三个叉
4节点	存放三个数据，分出四个叉

• 2-3-4树的构造过程中，优先生成小节点，节点值多了存不下，就把中间的往上面挤，如果中间存放了两个数据，就把靠后的那个数据往上挤生成一个新的节点。

红黑树

• 红黑树由2-3-4 树转换而来，2节点转化为黑色节点，3节点转化为一个黑色节点下挂一个红色节点，4节点转化为一个黑色节点下挂两个红色节点。

• 红黑树的特点：

1. 每个节点不是红色就是黑色。
2. 根节点一定是黑色。
3. 如果一个节点是红色，那个它的子节点一定是黑色。
4. 从根节点到任意叶子节点上黑色节点数目是相同的。
5. 最长路径（红黑交替）最多是最短路径（全黑）的两倍。

• 因此红黑树的性能介于排序二叉树和平衡二叉树之间，时间复杂度是可以接受的。

B树

• 几阶B树就表示每个节点分出几个叉。例如：$M$阶B树最多分出$M$个叉，每个节点最多存放$M-1$个数据。

节点名称	特征
2节点	存放一个$key$和$value$，分出两个叉
3节点	存放两个$key$和$value$，分出三个叉
4节点	存放三个$key$和$value$，分出四个叉
5节点	存放四个$key$和$value$，分出五个叉

• 五阶B树构建示意图：
  

B+树

• B+树的非叶子节点仅具有索引作用，也就是说，非叶子节点只能存放 $key$ 值，不存放 $value$ 值，所有的 $value$ 值都在叶子节点。
• 这样的存储方式能确保一页存储更多的数据，整个树的高度会更低。
• B+树的叶子节点构成一个有序链表，因此对整棵树的遍历只需要遍历叶子节点即可。
• 四阶B+树构建示意图：
  

B树、B+树、红黑树的应用

	应用	备注
B树	磁盘中的数据存储	因为磁盘文件较多，如果用红黑树是二叉树，会导致树高度偏高，查找性能会比较差。
红黑树	应用于内存的数据存储	红黑树的查找性能接近于 $O(logn)$，内存中的文件并不多，但对性能的要求较高。
B+树	一般用于数据库中数据存储	因为叶子节点之间有连接，方便进行范围查找。（$key$ 值表示主键，$value$ 值表示存储数据的地址）