虹软科技25届校招笔试算法 A卷

news2024/12/27 9:59:34

1. 第一题

已知字符串 $S$ 只包含 $A, B$ 两种字符，设 $X$ 为 $S$ 中所有 $A$ 的索引的集合， $Y$ 为 $S$ 中所有 $B$ 的索引的集合。若 $S$ 满足以下条件，则称 $S$ 为有序字符串。

$X$ 与 $Y$ 之间存在双射 $f$ ，满足 $\forall i\in X, f(i)>i$ 。

给定有序字符串 $S$ ，按照下述规则计算 $S$ 的分数，设 $P, Q$ 分别为有序字符串

$A B$ 的分数 $= 1$
$PQ$ 的分数 $=$ $P$ 的分数 $+$ $Q$ 的分数
$A PB$ 的分数 $=$ $2\cdot P$ 的分数

输入描述

输入一个仅包含 $A, B$ 的字符串

输出描述

输出一个整数

题解

这道题本来就有些绕，再加上原本的表述不够清晰，所以很容易误解题意，博主这里稍微修改了下表述。

首先来看什么是有序字符串？这里举一个例子。设 $S = AA B AA BBB$ ，从而 $X=\{0,1,3,4\},\,Y=\{2,5,6,7\}$ 。我们可以找到一个双射

$0\to2\\ 1\to 5 \\ 3\to6\\ 4\to 7$

在这个映射下， $2 > 0, 5 > 1, 6 > 3, 7 > 4$ ，因此 $S$ 是有序的。更通俗地来讲，对于 $S$ 中的每一个 $A$ ，我们都要在 $S$ 中找到一个与之配对的 $B$ ，使得 $B$ 的索引大于 $A$ 的索引，这样的 $S$ 才是有序字符串。

由于双射的性质，易知 $∣ X ∣ = ∣ Y ∣$ ，因此如果 $S$ 是有序的，那么它的长度一定是偶数。此外，一定有 $S[0]=A,\,S[-1]=B$ ，即 $S$ 的首字符一定是 $A$ ，尾字符一定是 $B$ ，若不然，假设 $S [0] = B$ ，我们无法在 $S$ 中找到与它配对的 $A$ ，使得 $A$ 的下标小于它，对于 $S [- 1]$ 同理。设 $S$ 的长度为 $2n,\;n=1,2,\cdots$ ，易知 $n = 1$ 时 $S = A B$ ，我们称这样的 $S$ 为基本串（自己瞎起的名hh，方便后面讲）。

现在回到一般情况，设 $S$ 的长度为 $2 n$ ， $X=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\},\,Y=\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$ 。假设 $X, Y$ 均是从左向右统计出来的，从而 $X, Y$ 均是有序数组。容易得出以下结论：

$\Leftrightarrow \forall i,\,a_i<b_i$

充分性显然，必要性用反证法证明。

从题中所给的信息，可以猜测，以下两个事件为对立事件（博主还没有来得及证明，欢迎大家在评论区补充）：

$S$ 可以拆成两个有序字符串 $P, Q$ ，即 $S = PQ$ 。且拆法不会影响到 $S$ 的分数。
$S$ 可以拆成 $A PB$ 的形式，其中 $P$ 是有序的。

很明显可以用递归来做，每次判断当前的 $S$ 属于以上哪一种情况，然后递归进行求解， $A B$ 的分数为 $1$ 可以作为递归终止条件。

以 $S = AA B AA BBB$ 为例。显然 $S$ 不能拆成两个有序字符串，因此将其表示成 $A PB$ 的形式，其中 $P = A B AA BB$ 是一定是有序字符串。如果将 $P$ 拆成 $A RB$ 的形式，由于 $R = B AA B$ 不是有序的，根据之前的猜想， $P$ 一定可以拆成两个有序字符串 $U, V$ ，且拆法不会影响到最终分数。很明显 $U = A B, V = AA BB$ 。于是可以计算 $S$ 的分数： $S = 2 P = 2 (U + V) = 2 (1 + 2) = 6$ 。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

bool is_ordered(const string& s, int l, int r) {
    vector<int> a_indices, b_indices;
    for (int i = l; i < r + 1; i++) {
        if (s[i] == 'A') a_indices.push_back(i);
        else b_indices.push_back(i);
    }
    if (a_indices.size() != b_indices.size()) return false;
    for (int i = 0; i < a_indices.size(); i++) {
        if (a_indices[i] > b_indices[i]) return false;
    }
    return true;
}

// 计算有序字符串s在闭区间[l, r]上的分数
int score(const string& s, int l, int r) {
	// 基本串情形
    if (r - l == 1 && s.substr(l, 2) == "AB") return 1;

    // 看一下成否拆成PQ，分成[l, i], [i + 1, r]
    for (int i = l; i < r; i++) {
        if (is_ordered(s, l, i) && is_ordered(s, i + 1, r)) {
        	// 拆法不会影响分数，直接返回即可
            return score(s, l, i) + score(s, i + 1, r);
        }
    }
	
	// 因为是对立事件，所以直接返回
    return 2 * score(s, l + 1, r - 1);
}

int main() {
    string s;
    cin >> s;

    int ans = score(s, 0, s.size() - 1);
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

后续证明了猜想会在这里补充，也欢迎广大网友补充。

2. 第二题

有红、绿、蓝三种颜色（分别用R、G、B表示）的小球，其数量分别为 $a, b, c$ 。现在想将这些小球排成一列，但不希望相邻的两个小球出现相同颜色，请问有多少种排列方法?

输入描述

第一行为 $a 、 b 、 c$ 对应的三个数字，以空格隔开

输出描述

输出为排列方法的总数

题解

本题较为简单，dfs即可，从左到右枚举并记录上一次放的什么颜色。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int dfs(int a, int b, int c, int last) {
    if (a == 0 && b == 0 && c == 0) return 1;

    int ans = 0;

    if (last != 0 && a > 0) {
        ans += dfs(a - 1, b, c, 0);  // 选择红色
    }

    if (last != 1 && b > 0) {
        ans += dfs(a, b - 1, c, 1);  // 选择绿色
    }

    if (last != 2 && c > 0) {
        ans += dfs(a, b, c - 1, 2);  // 选择蓝色
    }

    return ans;
}

int main() {
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    cout << dfs(a, b, c, -1) << endl;
    return 0;
}

其中 dfs(a, b, c, last) 表示红球有 $a$ 个，绿球有 $b$ 个，蓝球有 $c$ 个，且上一次放置的是 last 颜色的情况下，能够放置的方法总数。初始时没有放置，故 last == -1。

考虑边界条件。例如只有一个红球的情况下，此时放置方案只有一种，因此

$1 = df s (1, 0, 0, - 1) = df s (0, 0, 0, 0)$

故可知边界条件 $df s (0, 0, 0, l a s t) = 1$ 。

3. 论述题

假设有一张宽为 $M$ ，高为 $N$ 的黑白图像，每个元素都是 $0$ 或 $1$ ，其中 $0$ 表示黑色像素， $1$ 表示白色像素，要在该图像中找到一个宽为 $W$ ，高为 $H$ 的矩形子区域（ $W < M, H < N$ 且已知），使得该区域内的白色像素数最多，并计算该区域内的白色像素数。
注意 $O (MN H W)$ 的实现不计分，请用文字描述或者伪代码说明算法过程，并分析时间复杂度。