⏰ 时间：2024/08/16
🔄 输入输出：ACM格式
⏳ 时长：1.5h

本试卷还有选择题部分，但这部分比较简单就不再展示。

1. 第一题

题目描述

小明正在神奇苹果园里工作。这个苹果园里一共有 $n$ 棵神奇苹果树，编号从 $1$ 到 $n$，其中编号为 $i$ 的苹果树初始有着 $a_i$ 个苹果，且保证 $a_i>0$。每天小明需要选择其中一棵还有苹果的苹果树上采摘，小明会将其上所有苹果都采摘下来，使得该树上苹果数量归零。采摘完成后，其他所有苹果树会受到惊吓，从而立刻使得它们树上的苹果数量翻倍。小明想要以最优方式采摘，使得最后能收集到的苹果数量最多。请你帮小明找到这样的方案。初始时在第 $1$ 天，第 $i$ 棵树上有 $a_i$ 个苹果，小明应当选择一颗采摘，而后其余苹果树的苹果数量翻倍，再到第 $2$ 天循环往复直到第 $n$ 天小明采摘完最后一颗非空苹果树。

输入描述

第一行一个整数 $n$，表示苹果树数量。
第二行 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots a_n$，$a_i$ 表示编号为的苹果树初始苹果数量。对于100%的数据，$1\le n\le 50000$，$1\le a_i\le 1000000$。

输出描述

输出一个整数表示答案。因为结果可能较大，请输出结果模100000007的余数。

题解

本题的「采摘完成」指代有些不明确。到底是把一棵树全部采摘完才算采摘完成，还是摘完一个苹果就算采摘完成？（实际上是前者）

显然用贪心算法。要使得最后的苹果数量尽可能地多，应当在一开始采摘苹果数量最小的苹果树，然后采摘次小的，以此类推。我们可以先读入数组然后将其从小到大排个序，设排序后的数组为 { a i } \{a_i\} {ai​}，那么本题在不求余数的前提下答案为

$$Ans=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i\cdot 2^i$$

由于本题涉及到大数，故用python求解起来会比较方便。但注意到 $n$ 的范围可以达到 $50000$，对于python来讲直接计算 $2^{50000}$ 不现实（最多计算到 $2^{14284}$，因为整数长度超过4300无法输出）。只需注意到以下性质

$$(a_i\cdot 2^i)modx=(a_i\cdot 2^{i}modx)modx$$

n = int(input())
apples = list(map(int, input().split()))

apples.sort()

res = 0
MOD = 100000007

power_of_two = [1] * n
for i in range(1, n):
    power_of_two[i] = (power_of_two[i - 1] * 2) % MOD

for i in range(n):
    res = (res + apples[i] * power_of_two[i]) % MOD

print(res)

2. 第二题

题目描述

小明正在帮一个工厂规划生产计划。小明已经知道未来 $n$ 天工厂会有的情况，初始时机器热量为 $0$，如果第 $i$ 天启动生产，那么热量会增加 $a_i$，产生 $b_i$ 的收益。若第 $i$ 天没有生产，则热量会减少 $c_i$。小明知道他应该保证在任何情况下热量都不大于阈值 $T$，否则机器会损坏。小明想知道在最佳规划下，工厂最大能获得多少收益。注意热量最低为 $0$，再降温将无效。

输入描述

第一行两个整数 $n$ 和 $T$，表示工厂规划天数和热量阈值。
第二行 $3n$ 个整数 $a_1,b_1,c_1,\cdots ,a_n,b_n,c_n$，含义如题面。
对于100%的数据，$1\le n\le 3000,1\le T\le 100,0\le a_i,c_i\le T,0\le b\le 100000$。

输出描述

输出一个整数表示答案。

题解

用动态规划求解。

设 $dp[i][j]$ 为第 $i$ 天结束时热量为 $j$ 时能获得的最大收益。于是可知本题答案为 ${\max }_{j}dp[n][j]$ 且 $dp[0][0]=0$（因为第 0 天，热量为 0 且收益为 0）。

显然遍历方向是 $i$ 从小到大，$j$ 也从小到大。

第 $i$ 天，我们既可以选择生产也可以选择不生产，于是有两个转移方程：

$$\begin{gathered} dp[i][j+a[i]]=max(dp[i][j+a[i]],dp[i-1][j]+b[i]) \\ dp[i][max(j-c[i],0)]=max(dp[i][max(j-c[i],0)],dp[i-1][j]) \end{gathered}$$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    int n, T;
    cin >> n >> T;
    vector<int> a(n + 1), b(n + 1), c(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
    }

    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(T + 1, -1));
    dp[0][0] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= T; j++) {
            if (dp[i - 1][j] == -1) continue;
            if (j + a[i] <= T) {
                dp[i][j + a[i]] = max(dp[i][j + a[i]], dp[i - 1][j] + b[i]);
            }
            int new_j = max(j - c[i], 0);
            dp[i][new_j] = max(dp[i][new_j], dp[i - 1][j]);
        }
    }

    int ans = *max_element(dp[n].begin(), dp[n].end());
    cout << ans << endl;
    
    return 0;
}