概述
AVL树的主要特点是在插入或者删除节点后，树会自动保持其平衡性，从而保证了最坏情况下，查找、插入和删除的时间复杂度都是O（log n）。注意AVL树是符合二叉搜索树的规则，即左子树小于根节点数值，右子树大于节点数值
平衡因子
- 平衡因子：一个节点左子树的高度减去右子树高度的值
- BF = 左子树高度 - 右子树高度
- AVL树节点，其平衡因子取值范围只可以在-1\0\1
- BF = 0：左子树高度等于右子树高度，节点平衡
- BF = 1：左子树高度比右子树高度多1，平衡
- BF = -1：右子树高度比左子树高度多1 ，平衡
- 超出上述范围，就会导致不平衡需要进行旋转
旋转
单右旋
左子树的节点高度比右子树高的时候，则单右旋（左子树左侧节点变高的时候---左左右旋）
【注：圆形数字为平衡因子】
- 将失衡节点
y的左子节点x作为新的根节点- 将
x的右子树T2作为y的左子树（因为旋转后，y将成为x的右子节点）- 更新
y和x的高度- 返回新的根节点
x
Node* rightRotate(Node* y) {
Node* x = y->left;
y->left = x->right;
x->right = y;
updateHeight(y);
updateHeight(x);
return x;
}单左旋
右子树的高度比左子树高2时，新节点插入到了较高右子树的右侧（右右插入--左旋）
- 将失衡节点
x的右子节点y作为新的根节点。- 将
y的左子树T2作为x的右子树（因为旋转后，x将成为y的左子节点）。- 更新
x和y的高度。- 返回新的根节点
y
Node* leftRotate(Node* x) {
Node* y = x->right;
x->right = y->left;
y->left = x;
updateHeight(x);
updateHeight(y);
return y;
}左右旋
当新节点插入到较高左子树的右侧，则对该树先进左单选然后再右单旋（左右高，左右旋）
- 当某个节点的左子树高度比右子树高2，且左子树的右子树高度比左子树的左子树高的时候，先对左子树进行一次左旋转，然后再对根节点进行一次右旋
先左旋（用一个具体情况分析）：平衡因子不再标注
再右旋：90头结点进行右旋
右左旋
插入的新节点在较高右子树的左侧：先右单旋再左单旋（右左高--右左旋）
具体事例分析：先右旋 90
【注：数据设计有问题，将右子树下左子树的60改为61，左旋已更正】
再左旋，60左旋
代码实现
height函数：如果节点存在，返回节点的高度；如果节点为空，则返回0
int height(Node* node) {
return node ? node->height : 0;
}更新结节点高度，节点的高度等于左右子树中较高的高度+1
void updateHeight(Node* node) {
node->height = 1 + std::max(height(node->left), height(node->right));
}插入逻辑总结
- 递归插入节点：通过递归方式将新节点插入到适当的位置。如果节点为空，创建并返回一个新节点。
- 更新高度：插入节点后，递归回溯过程中更新每个节点的高度。
- 计算平衡因子：检查插入节点后树的平衡状态。
- 旋转调整：根据平衡因子进行适当的旋转：
- 左左情况：右旋。
- 右右情况：左旋。
- 左右情况：先左旋再右旋。
- 右左情况：先右旋再左旋。
- 返回节点：递归返回调整后的树的根节
Node* insert(Node* node, int key) {
if (!node) return new Node(key);
if (key < node->key)
node->left = insert(node->left, key);
else if (key > node->key)
node->right = insert(node->right, key);
else
return node; // 相同的key不插入
updateHeight(node);
int balance = getBalance(node);
// 根据平衡因子调整树
if (balance > 1 && key < node->left->key) // 左左情况
return rightRotate(node);
if (balance < -1 && key > node->right->key) // 右右情况
return leftRotate(node);
if (balance > 1 && key > node->left->key) { // 左右情况
node->left = leftRotate(node->left);
return rightRotate(node);
}
if (balance < -1 && key < node->right->key) { // 右左情况
node->right = rightRotate(node->right);
return leftRotate(node);
}
return node; // 返回未变的节点
}inOrder：升序打印AVL树中所有的节点
- 递归遍历左子树。
- 打印当前节点的值。
- 递归遍历右子树
void inOrder(Node* root) {
if (root) {
inOrder(root->left);
std::cout << root->key << " ";
inOrder(root->right);
}
}全代码
#include <iostream>
// AVL树节点定义
struct Node {
int key; // 节点值
Node* left; // 左子树
Node* right; // 右子树
int height; // 节点高度
Node(int k) : key(k), left(nullptr), right(nullptr), height(1) {} // 构造函数
};
// 获取节点高度
int height(Node* node) {
return node ? node->height : 0;
}
// 更新节点高度
void updateHeight(Node* node) {
node->height = 1 + std::max(height(node->left), height(node->right));
}
// 计算平衡因子
int getBalance(Node* node) {
return node ? height(node->left) - height(node->right) : 0;
}
// 右旋操作
Node* rightRotate(Node* y) {
Node* x = y->left;
y->left = x->right;
x->right = y;
updateHeight(y);
updateHeight(x);
return x;
}
// 左旋操作
Node* leftRotate(Node* x) {
Node* y = x->right;
x->right = y->left;
y->left = x;
updateHeight(x);
updateHeight(y);
return y;
}
// 插入节点并保持AVL树平衡
Node* insert(Node* node, int key) {
if (!node) return new Node(key);
if (key < node->key)
node->left = insert(node->left, key);
else if (key > node->key)
node->right = insert(node->right, key);
else
return node; // 相同的key不插入
updateHeight(node);
int balance = getBalance(node);
// 根据平衡因子调整树
if (balance > 1 && key < node->left->key) // 左左情况
return rightRotate(node);
if (balance < -1 && key > node->right->key) // 右右情况
return leftRotate(node);
if (balance > 1 && key > node->left->key) { // 左右情况
node->left = leftRotate(node->left);
return rightRotate(node);
}
if (balance < -1 && key < node->right->key) { // 右左情况
node->right = rightRotate(node->right);
return leftRotate(node);
}
return node; // 返回未变的节点
}
// 中序遍历
void inOrder(Node* root) {
if (root) {
inOrder(root->left);
std::cout << root->key << " ";
inOrder(root->right);
}
}
int main() {
Node* root = nullptr;
// 插入节点
root = insert(root, 10);
root = insert(root, 20);
root = insert(root, 30);
root = insert(root, 40);
root = insert(root, 50);
root = insert(root, 25);
// 打印中序遍历结果
std::cout << "中序遍历结果：" << std::endl;
inOrder(root);
return 0;
}
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