二、特殊矩阵的压缩存储

1.💡 压缩矩阵：指为多个值相同的元素分配一个存储空间，对零元素不分配存储空间。其目的是节省存储空间
2. 💡特殊矩阵：值具有许多相同矩阵元素或零元素，并且这些相同矩阵元素或零元素的分布有一定规律性的矩阵。常见特殊矩阵有对称矩阵、上（下）三角矩阵、对角矩阵等。
3. 💡特殊矩阵的压缩存储方法：找到特殊矩阵中值相同的矩阵元素的分布规律，把那些呈现规律性分布的、值相同的多个矩阵元素压缩到一个存储空间中。

1️⃣ 对称矩阵

1. 对称矩阵是什么❓
   上三角区的元素==下三角区元素,A[i][j]==A[j][i]
   

2. 对称矩阵为何不能用二维矩阵存储❓
   对于n阶对称矩阵，上三角元素的所有元素和下三角区对应的元素相同，若扔采用二维数组存放，则会浪费一半的空间，对此将对称矩阵存放在一维数组中。

3. 那么如何将二维数组存储于一维数组❓

   💤思考1：有多少个二维元素A[0...n-1][0...n-1]存于一维元素中❓

    
   由于上三角区==下三角区，只需要在一维数组中存储主对角线+下三角区
   

   第 1 行(A[0])：1  个元素
   第 2 行(A[1])：2  个元素
   第 3 行(A[2])：3  个元素
   ......
   第 n 行(A[n-1])：n个元素（❗由于数组从0开始，A[0]占了一行，所以A[n]是第n-1行）
   
   共：1+2+3+...+n=[1+n]*n/2=(n+1)*n/2
   

   ✅答案：一维数组共需存储$\frac{(n+1)\ast n}{2}$个元素

   💤思考2：按行排列，二维数组A[0…n-1][0…n-1]与一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]对应的关系❓

    
   👀看图做题：

   1. 求A[1][1]在一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]的位置：

      A[1][1]位于第2行的第2列
      	第1行：共1个元素
      	第2行：有2个元素
      求和：1+2=3
      B的下标从0开始，所以3-1=2，即A[1][1]`在一维数组B[2]中
      

   2. 求A[2][1]在一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]的位置：

      A[2][1]位于第3行的第2列
      	第1行：共1个元素
      	第2行：共2个元素
      	第3行：有2个元素
      求和：1+2+3=5
      B的下标从0开始，所以5-1=4，即A[2][1]`在一维数组B[4]中
      

   3. 求A[i][j]在一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]的位置：

      A[i][j]位于第i+1行的第j+1列
      	第 1 行：共 1 个元素
      	第 2 行：共 2 个元素
      	第 3 行：共 3 个元素
      	...
      	第 i 行：共 i 个元素
      	第i+1行：有j+1个元素
      求和：1+2+3+...+i+(j+1)=(i+1)*i/2+(j+1)
      B的下标从0开始，所以(i+1)*i/2+(j+1)-1=(i+1)*i/2+j，即A[i][j]`在一维数组B[(i+1)*i/2+j]中
      

   ✅答案：按行排序，二位数组A[i][j]与一维数组B[$\frac{(i+1)\ast i}{2}+j$]对应

   💤思考3：按列排列，二维数组A[0…n-1][0…n-1]与一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]对应的关系❓

    
   
   👀看图做题：

   1. 求A[1][1]在一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]的位置：

      A[1][1]位于第2行的第2列
      	第1列：共n-1个元素
      	第2列：有1个元素
      求和：n-1+1=n
      B的下标从0开始，所以n-1=(n-1)，即A[1][1]`在一维数组B[n-1]中
      

   2. 求A[2][1]在一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]的位置：

      A[2][1]位于第3行的第2列
      	第1列：共n-1个元素
      	第2列：共2个元素
      求和：n-1+2=n+1
      B的下标从0开始，所以n+1-1=n，即A[2][1]`在一维数组B[n]中
      

   3. 求A[i][j]在一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]的位置：

      A[i][j]位于第i+1行的第j+1列
      	第 1 列：共 n-1 个元素
      	第 2 列：共 n-2 个元素
      	第 3 列：共 n-3 个元素
      	...
      	第 j 列：共 n-j 个元素
      	第j+1列：有i+1-j个元素
      求和：(n-1)+(n-2)+(n-3)+...+(n-j)+(i+1-j)=(n-1+n-j)*j/2+i+1-j=(2n-1-j)*j/2+i+1-j
      B的下标从0开始，所以(2n-1-j)*j/2+i+1-j-1=(2n-1-j)*j/2+i-j，即A[i][j]在一维数组B[(2n-1-j)*j/2+i-j]中
      

   ✅答案：按列排序，二位数组A[i][j]与一维数组B[$\frac{((2n-1-j)\ast j}{2}+i-j$]对应

   💤思考4：思考二、三都是以下三角区为例，那么上三角区如何存储❓

   
   由图可知，上三角区与下三角区的关系为：A[i][j]==A[j][i]
   所以：

   • 💡上按行==下按列，二位数组A[i][j]与一维数组B[$\frac{((2n-1-i)\ast i}{2}+j-i$]对应
   • 💡上按列==上按排，二位数组A[i][j]与一维数组B[$\frac{(j+1)\ast j}{2}+i$]对应

2️⃣ 三角矩阵

1. 三角矩阵是什么❓
   三角矩阵可以分为上三角矩阵和下三角矩阵

   • 💡下三角矩阵：上三角区所有元素均为一个常量
   • 💡上三角矩阵：下三角区所有元素均为一个常量
     

2. 三角矩阵如何存储❓

   💤思考5：有多少个二维元素A[0...n-1][0...n-1]存于一维元素中❓

   以下三角矩阵为例:
    
     三角矩阵与对称矩阵的存储方式相似，不同之处在于，）存储完下三角区和主对角线后，紧接着存储上三角区的常量一次
   

   由对称矩阵可知，下三角区+主对角线的元素=(n+1)*n /2个元素
   三角矩阵多了一个常量：所以共有(n+1)*n /2+1个元素
   

   ✅答案：一维数组共需存储$\frac{(n+1)\ast n}{2}+1$个元素

   💤思考6：下三角矩阵如何存储❓

   1. 按行存储
      
      👀看图知：

      • 💡三角矩阵的下三角区+主对角线与对阵矩阵存储相同，可直接使用思考二的结论.
      • 💡三角矩阵的上三角区的常量存于一维数组的最后，所以位置固定：$\frac{(n+1)\ast n}{2}$
         

      ✅答案：按行排序，二维数组A[i][j]与B[k]相对应，其中$k=\{\begin{array}{l}\frac{(i+1)\ast i}{2}+j(下和主元素)\\ \\ \frac{(n+1)\ast n}{2}+1(上元素)\end{array}$

   2. 按列存储
      
      👀看图知：

      • 💡三角矩阵的下三角区+主对角线与对阵矩阵存储相同，可直接使用思考三的结论.
      • 💡三角矩阵的上三角区的常量存于一维数组的最后，所以位置固定：$\frac{(n+1)\ast n}{2}$
         

      ✅答案：按行排序，二维数组A[i][j]与B[k]相对应，其中$k=\{\begin{array}{l}\frac{((2n-1-j)\ast j}{2}+i-j(下和主元素)\\ \\ \frac{(n+1)\ast n}{2}+1(上元素)\end{array}$

   💤思考7：上三角矩阵如何存储❓

   1. 按行存储
      
      👀图知：

      • 💡三角矩阵的上三角区+主对角线与对阵矩阵存储相同，可直接使用思考四的结论.
      • 💡三角矩阵的下三角区的常量存于一维数组的最后，所以位置固定：$\frac{(n+1)\ast n}{2}$
         

      ✅答案：按行排序，二维数组A[i][j]与B[k]相对应，其中$k=\{\begin{array}{l}\frac{((2n-1-i)\ast i}{2}+j-i(上和主元素)\\ \\ \frac{(n+1)\ast n}{2}+1(下元素)\end{array}$
       

   2. 按列存储
      👀知：

      • 💡三角矩阵的上三角区+主对角线与对阵矩阵存储相同，可直接使用思考四的结论.
      • 💡三角矩阵的下三角区的常量存于一维数组的最后，所以位置固定：$\frac{(n+1)\ast n}{2}$
         

      ✅答案：按行排序，二维数组A[i][j]与B[k]相对应，其中$k=\{\begin{array}{l}\frac{(j+1)\ast j}{2}+i(上和主元素)\\ \\ \frac{(n+1)\ast n}{2}+1(下元素)\end{array}$

3️⃣三对角矩阵

1. 三对角矩阵是什么❓

   • 💡三对角矩阵又称带状矩阵
   • 💡对于n阶方阵A中的任一元素$a_{i}j$，当$|i-j|>1$时，有$a_{i}j=0(0⩽i,j⩽n-1)$
     

2. 三对角矩阵如何存储❓

   💤思考8：有多少个二维元素A[0...n-1][0...n-1]存于一维元素中❓

     由上图可知，除了第一行和最后一行为两个元素，其他每行都为三个元素，共有3*n-2个元素
    
   ✅答案：一维数组共需存储$3\ast n-2$个元素

   💤思考9：按行排序，二维数组A[0...n-1][0...n-1]与一维数组B[0...3n-3]对应的关系❓

     
   A[i][j]在一维数组B[0...3n-3]的位置：

   A[i][j]位于第i+1行的第j+1列
   	第 1 行：共 2 个元素
   	第 2 行：共 3 个元素
   	第 3 行：共 3 个元素
   	...
   	第 i 行：共 3 个元素
   	第i+1行：有j-i+2个元素
   求和：2+3+3+...+3+j-i+2=(3i-1)+j-i+2=2i+j+1
   B的下标从0开始，所以2i+j+1-1=2i+j，即A[i][j]在一维数组B[2i+j]中
   

   ✅答案：按行排序，二位数组A[i][j]与一维数组B[2i+j]对应

   💤思考10：按列排序，二维数组A[0...n-1][0...n-1]与一维数组B[0...3n-3]对应的关系❓

     
   A[i][j]在一维数组B[0...3n-3]的位置：

   A[i][j]位于第i+1行的第j+1列
   	第 1 列：共 2 个元素
   	第 2 列：共 3 个元素
   	第 3 列：共 3 个元素
   	...
   	第 j 列：共 3 个元素
   	第j+1列：有i-j+2个元素
   求和：2+3+3+...+3+i-j+2=(3j-1)+i-j+2=2j+i+1
   B的下标从0开始，所以2j+i+1-1=2j+i，即A[i][j]在一维数组B[2j+i]中
   

   ✅答案：按列排序，二位数组A[i][j]与一维数组B[2j+i]对应

三、稀疏矩阵

1. 什么样的矩阵是稀疏矩阵❓
   💡非零元素远远少于矩阵元素个数
   例：100*100矩阵中，只有100个非零元素。
2. 存储方式有哪些❓

   1. 三元组
      

   2. 十字链表法
      

参考资料

《王道：23数据结构考研复习指导》