Introduction

• 如今，表征学习变得越来越重要 (e.g. word embedding, embeddings of graphs, embeddings of multi-relational data)，许多复杂数据集也都具有一定的层次结构 (latent hierarchical structures)，但欧氏空间中优化得到的 Embeddings 建模复杂关系的能力受限于 embed 维数
• 为了增强 embed 对表征对象间复杂关系的表征能力，作者提出将具有层次关系的表征对象嵌入到一种双曲空间 – $n$ 维 Poincaré ball 中。此外，作者基于 Riemannian optimization 对 Poincaré ball 中的 embed 进行优化。实验证明 Poincaré embeddings 在编码具有层次特征的数据时，在表征能力和泛化能力上都超过了 Euclidean embeddings，特别是在低维数条件下

Poincaré Embeddings

The Limitations of Euclidean Space for Hierarchical Data

• 对于 hierarchical data，假如树的 branching factor 固定，则随着层数的加深，树的结点数将以指数级速度增长。如果要生成树的每个结点对应的 embed，则需要使得结点间的距离符合树结构，子结点和父结点间的距离应该比较接近，不同分支的叶结点间应彼此远离
• 下图展示了将 branching factor 为 4 的树结构嵌入到二维欧氏空间，可以看到欧氏空间的位置已经不太够用了，如果树结构层数更多，不同分支的各个叶结点离得将更近，这些叶结点在树结构上离得很远，但嵌入在欧氏空间上时距离确会很近。欧氏空间适合嵌入网格结构的数据，如果想要更好地表征更深层次的树结构，就必须使用更高维度的欧氏空间，这可能会导致更大的时间、空间开销甚至模型过拟合
  

Embedding Hierarchies in Hyperbolic Space

• Hyperbolic Space 可以很好地建模 hierarchical data，有研究表明 “any finite tree can be embedded into a finite hyperbolic space such that distances are preserved approximately”.
• 下图展示了将树结构嵌入到 Poincaré disk. 由于靠近单位圆的边界时，距离以指数级速度增长，因此下图中每个相邻节点间的距离实际上都是相等的，并且虽然叶结点看上去比较拥挤，但实际上相隔的距离非常远
  

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Poincaré Embeddings

• 作者假设要表征的数据具有隐性的层次树结构 (并没有直接获取到层次树结构)，然后通过无监督学习的方式将层次数据嵌入到 Poincaré ball 中来让数据的 embed 间的距离反映它们之间的语义相似度。引入层次树的先验结构信息有助于降低模型的时间和空间开销，并且提高模型的泛化能力

Why Poincaré ball model instead of a simple Poincaré disk model?
(1) First, in many datasets such as text corpora, multiple latent hierarchies can co-exist, which can not always be modeled in two dimensions.
(2) Second, a larger embedding dimension can decrease the difficulty for an optimization method to find a good embedding (also for single hierarchies) as it allows for more degrees of freedom during the optimization process.

• 为了便于进行梯度优化，作者使用 Poincaré ball model (Its distance function is differentiable and it has a relatively simple constraint on the representations.). Poincaré ball model 对应黎曼流形 $({\mathcal{B}}^d,g_x)$，其中 B d = { x ∈ R d ∣ ∥ x ∥ < 1 } \mathcal B^d=\{x\in\R^d|\|x\|<1\} Bd={x∈Rd∣∥x∥<1}，$g_x$ 为 Riemannian metric tensor
  其中 $x\in {\mathcal{B}}^d$，$g^E=I_n$ 为 Euclidean metric tensor. $u,v\in {\mathcal{B}}^d$ 间的距离为
  

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Optimization

• 对于具有层次结构的数据 S = { x i } i = 1 n \mathcal S=\{x_i\}_{i=1}^n S={xi​}i=1n​，我们想要找到它们对应的 embed Θ = { θ i } i = 1 n \Theta=\{\theta_i\}_{i=1}^n Θ={θi​}i=1n​，其中 ${\theta }_i\in {\mathcal{B}}^d$，使得 embed 间的 Poincaré distance 能反映它们之间的语义相似程度。为了得到 embed，需要求解如下优化问题：
  (损失函数定义见 “Evaluation/Embedding Taxonomies” 一节)
• 由于 Poincaré Ball 为黎曼流形，因此我们可以通过 stochastic Riemannian optimization methods (RSGD, RSVRG, …) 求解。令 ${\mathcal{T}}_{\theta }\mathcal{B}$ 为点 $\theta \in {\mathcal{B}}^d$ 处的 tangent space，${\nabla }_R\in {\mathcal{T}}_{\theta }\mathcal{B}$ 为 $\mathcal{L}(\theta )$ 的 Riemannian gradient，${\nabla }_E$ 为 $\mathcal{L}(\theta )$ 的 Euclidean gradient，RSGD 的参数更新方式如下：
  $${\theta }_{t+1}={\theta }_t-{\eta }_t{\nabla }_R\mathcal{L}({\theta }_t)$$由于 Poincaré ball 为双曲空间的一种 conformal model，因此相邻向量在 Poincaré ball 中的角度和在欧氏空间里的角度相同 (具有保角性)，但向量长度在两个空间内不一样，因此为了从 Euclidean gradient 推出 Riemannian gradient，需要将 ${\nabla }_E$ 乘上 Poincaré ball metric tensor 的逆 $g_{\theta }^{-1}$ 来进行缩放
  $${\nabla }_R=\frac{(1-\Vert {\theta }_t{\Vert }^2{)}^2}{4}{\nabla }_E$$此外，还需要限制优化时的 embed 位于单位圆内
  其中 $\epsilon =10^{-5}$. 最终的参数更新公式为
  

关于保角性 (conformal)：
(1) A metric $\tilde{g}$ is said to be conformal to another metric $g$ if it defines the same angles, i.e.
for all $x\in M$， u , v ∈ T x M \ { 0 } u,v\in T_xM \backslash \{0\} u,v∈Tx​M\{0}.
(2) Poincaré ball 中的 metric tensor $g_x^{\mathbb{D}}$ 为
其中 $g^E=I_n$ 为 Euclidean metric tensor，它们满足
因此 Poincaré ball model 具有保角性
(3) 这也等价于存在 smooth function $\lambda :M\to \mathbb{R}$，i.e.，conformal factor，使得对所有 $x\in M$，都有 ${\tilde{g}}_x={\lambda }_x^2{g}_x$

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Training Details

• 作者还使用了一些 tricks 来提升模型性能：(1) 用均匀分布 $\mathcal{U}(-0.001,0.001)$ 来随机初始化 embed，这可以让所有 embed 在初始化时靠近 ${\mathcal{B}}^d$ 的原点。(2) 为了得到一个较好的 initial angular layout，作者设置了 initial “burn-in” phase，在 10 个 epochs 内使用 $\eta /10$ 的学习率进行训练。结合均匀分布的位置初始化策略，这可以提升 angular layout 的质量，同时又不会让 embed 过于靠近边界

Evaluation

Embedding Taxonomies

• 作者在 transitive closure of the WORDNET noun hierarchy 上进行了实验，用于测试 Poincaré embeddings 对具有 clear latent hierarchical structure 的数据的嵌入能力。该数据集 $\mathcal{D}=\{(u,v)\}$ 包含 82,115 nouns 之间的 743,241 hypernymy relations，损失函数采用
  $$\begin{array}{rl}\mathcal{L}(\Theta )& =-\sum _{\begin{array}{c}(u,v)\in \mathcal{D}\end{array}}\log \frac{e^{-d(u,v)}}{e^{-d(u,v)}+{\sum }_{v^{\prime }\in \mathcal{N}(u)}{e}^{-d(u,v^{\prime })}}\end{array}$$其中 N ( u ) = { v ′ ∣ ( u , v ′ ) ∉ D } ∪ { u } \mathcal N(u)=\{v'|(u,v')\notin\mathcal D\}\cup\{u\} N(u)={v′∣(u,v′)∈/D}∪{u} 为 $u$ 的负样本集合，训练时给每个正样本随机采样 10 个负样本，整个优化过程十分类似于 Word2vec’s Skip-Gram loss with negative sampling
• Reconstruction. 为了直接检验 embed 的表征质量，作者直接从 embed 重建数据，得到重建数据属于所有名词的概率，利用概率进行排序，其中 ground-truth 的 Rank 可以作为 metric. 作者将所有样本 ground-truth Rank 的均值以及它们的 mAP 作为测试指标
• Link Prediction. 为了检验 embed 的泛化能力，作者将数据集划分为训练、验证和测试集来进行 link prediction，可以得到正样本对间的距离 $d(u,v)$ 在所有负样本对距离 { d ( u , v ′ ) ∣ u , v ′ ∉ D } \{d(u,v')|u,v'\notin\mathcal D\} {d(u,v′)∣u,v′∈/D} 中的 Rank. 作者将所有正样本对 Rank 的均值以及它们的 mAP 作为测试指标

Euclidean: $d(u,v)=\Vert u-v{\Vert }^2$
Translational: $d(u,v)=\Vert u-v+r{\Vert }^2$. For this score function, we also learn the global translation vector $r$ during training.

• 下图为 mammals 子树对应的 Two-dimensional Poincaré embeddings 的可视化，蓝边为 Ground-truth “is-a” relations. A Poincaré embedding with $d=5$ achieves mean rank 1.26 and MAP 0.927 on this subtree.
  

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Network Embeddings

• 作者在 4 个 social networks 数据集上进行了 link prediction 实验，存在边的概率值采用下式计算：
  其中 $r,t>0$ 为超参

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Lexical Entailment

References

• paper: Nickel, Maximillian, and Douwe Kiela. “Poincaré embeddings for learning hierarchical representations.” Advances in neural information processing systems 30 (2017).
• code: https://github.com/facebookresearch/poincare-embeddings
• Implementation by Gensim: https://radimrehurek.com/gensim/models/poincare.html and a jupyter notebook tutorial: https://nbviewer.org/github/RaRe-Technologies/gensim/blob/develop/docs/notebooks/Poincare%20Tutorial.ipynb
• Implemented by “Hyperbolic Entailment Cones for Learning Hierarchical Embeddings”: https://github.com/dalab/hyperbolic_cones
• Hyperbolic Geometry and Poincaré Embeddings
• Implementing Poincaré Embeddings