第 20 章：应用数学

数学是一种严谨、缜密的科学，学习应用数学知识，可以培养系统架构设计师的抽象思维能力和逻辑推理能力，在从事系统分析工作时思路清晰，在复杂、紊乱的现象中把握住事物的本质，根据已知和未知事物之间的联系推断事物发展趋势和可能的结果。

应用数学虽然涉及的内容很多，但经常考查的知识点却往往集中于运筹方法与数据建模，所以本章将着重介绍这两个方面的内容。

20.1 运筹方法

运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决。前者提供模型，后者提供理论和方法。

运筹学可以根据问题的要求，通过数学上的分析、运算，得出各种各样的结果，最后提出综合性的合理安排，以达到最好的效果。

运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以下几个步骤：确定目标、制订方案、建立模型、制订解法。

20.1.1 网络计划技术

用网络分析的方法编制的计划称为网络计划，它是一种编制大型工程项目进度计划的有效方法。计划借助于网络表示各项工作与所需要的时间，以及各项工作的相互关系。通过网络分析研究工程费用与工期的关系，并找出在编制计划及计划执行过程中的关键路径，这种方法称为关键路径法（Critical Path Method，CPM）。

1．关键路径
在现代管理中，人们常用有向图来描述和分析一项工程的计划和实施过程，一项工程常被分为多个小的子工程，这些子工程称为活动。在有向图中，若以顶点表示活动，弧表示活动之间的先后关系，这样的图简称为 AOV（Activity On Vertex）网；若以顶点表示事件，弧表示活动，权表示完成该活动所需的时间（称为活动历时或持续时间），这样的图称为 AOE（Activity On Edge）网。例如，图 20-1 表示一个具有 10 个活动的某个工程的 AOE 网。图中有 7 个顶点，分别表示事件 1～7，其中 1 表示工程开始状态，7 表示工程结束状态。

因 AOE 网中的某些活动可以并行地进行，所以完成工程的最少时间是从开始顶点到结束顶点的最长路径长度，称从开始顶点到结束顶点的最长路径为关键路径（临界路径），关键路径上的活动为关键活动。

为了找出给定的 AOE 网络的关键活动，从而找出关键路径，先定义几个重要的量：
（1）Ve(j)、Vl(j)：顶点 j 事件最早、最迟发生时间。
（2）e(i)、l(i) ：活动 i 最早、最迟开始时间。
从源点 V1 到某顶点 Vj 的最长路径长度，称为事件 Vj 的最早发生时间，记作 Ve(j)。Ve(j) 也是以 Vj 为起点的出边<Vj,Vk>所表示的活动 ai 的最早开始时间 e(i)。在不推迟整个工程完成的前提下，一个事件 Vj 允许的最迟发生时间，记作 Vl(j)。显然，l(i)=Vl(j)−(ai 所需时间)，其中 j 为 ai 活动的终点。满足条件 l(i)=e(i)的活动为关键活动，关键活动所组成的路径称为关键路径。

求顶点 Vj 的 Ve(j)和 Vl(j)可按以下两步来做：
（1）由源点开始向汇点递推

其中，E1 是网络中以 Vj 为终点的入边集合。
（2）由终点（汇点）开始向源点递推

其中，E2 是网络中以 Vj 为起点的出边集合。
要求一个 AOE 网的关键路径，一般需要根据以上变量列出一张表格，逐个检查。例如，
求图 20-1 所示的 AOE 网的关键路径的表格如表 20-1 所示

因此，图 20-1 的关键活动为 a1，a2，a4，a8 和 a9，其对应的关键路径有两条，分别
为 V1→V2→V5→V7 和 V1→V4→V5→V7，长度都是 10。

2．网络优化
在得到了关键路径后，就相当于得到了项目的计算工期，得到了一个初始的计划方案。但通常还要对初始方案进行调整和完善。根据计划的要求，综合考虑进度、资源、费用等目标，即进行网络优化，确定最优的计划方案。

（1）时间优化。根据对计划进度的要求，缩短工程完成时间。既可以采取技术措施，缩短工程完工时间，也可以采取组织措施，充分利用非关键活动的总时差（最迟开始时间-最早开始时间），合理调配技术力量及人、财、物等资源，缩短关键活动的持续时间。还可以通过改变工作之间的逻辑关系，采用并行的方式来缩短工期。

（2）时间-资源优化。在编制网络计划、安排工程进度的同时，就要考虑尽量合理地利用现有资源，并缩短工程周期。但是，由于一项工程所包含的活动繁多，涉及的资源利用情况比较复杂，往往不可能在编制网络计划时，一次性把进度和资源利用都能够作出统筹合理的安排，而是需要进行几次综合平衡之后，才能得到在时间进度及资源利用等方面都比较合理的计划方案。具体的要求和做法是：优先安排关键活动所需要的资源；利用非关键活动的总时差，错开各活动的开始时间，拉平资源需要量的高峰；在确实受到资源限制，或者在考虑综合经济效益的条件下，也可以适当地推迟工程完工时间。

（3）时间-费用优化。在编制网络计划过程中，研究如何使得工程完工时间短、费用少；或者在保证既定工程完工时间的条件下，所需要的费用最少；或者在限制费用的条件下，工程完工时间最短。这就是时间-费用优化所要研究和解决的问题。为完成一项工程，所需要的费用可分为直接费用和间接费用。同时，项目有不可压缩的最短时间，也称为极限时间，它是指为了缩短各活动的持续时间而采取一切可能的技术和组织措施后，可能达到的最短的工作时间和完成项目的最短时间。

在进行时间-费用优化时，需要计算活动的直接费用变动率（简称为直接费用率）：直接费用率 = (极限时间的活动直接费用-正常时间的活动直接费用)/(正常时间-极限时间)

3．综合实例
下面通过一个综合实例，帮助读者理解本节的知识。
假设某信息系统开发工程合同工期为 25 个月，承建单位编制的网络计划图如图 20-2所示。

（1）该网络计划能否满足合同工期要求？为确保工程按期完工，哪些工作应作为重点对象？

（2）当该计划执行 7 个月后，经监理工程师检查发现，工作 C 和 D 已完成，而 E 将拖后 2 个月。当计划执行到第 7 个月后，工作 E 的实际进度是否影响总工期？如果实际进度确定影响到总工期，为保证总工期不延长对原进度计划的调整方案有哪些？

（3）如果承建单位提出采用压缩某些工作持续时间，对原计划进行调整以保证工期不延长，各工作的直接费用率与极限时间如表 20-2 所示。在不改变各工作逻辑关系的前提下，原进度计划的最优调整方案是什么？此时直接费用将增加多少万元？

【解】一般利用所给出的图形找出关键路径和计算工期，从而确定重点工作。

（1）在图 20-2 中，有 2 条虚线弧，它表示虚活动，即不需要任何资源（时间、费用等），只表示逻辑关系的活动。从图 20-2 中可以看出，关键路径为 A→E→H→I→K，长度为 25，也就是说，项目的计算工期为 25 个月，正好等于合同工期，因此，该网络计划能满足合同工期要求。为了确保工程按期完工，A、E、H、I、K 工作应作为重点控制对象，因为它们为关键工作。

（2）分析拖延工作是否在关键路径上，拖延的时间是否超过工作的总时差来衡量与判断是否影响工期。因为工作 E 为关键工作，其总时差为 0。所以，E 拖延 2 个月将影响总工期 2 个月。由于工作 E 拖延了 2 个月，使总工期延长了 2 个月，为了保证总工期不延长，对原计划的调整方法有 2 种，一是改变某些工作之间的逻辑关系，二是缩短某些工作的持续时间。

（3）要调整计划，使之不延长时间，则需要调整关键路径上的工作，即 A、E、H、I、K。但题目已经告诉我们，是从第 7 个月开始，这时 A 已经完成了。因此，只能选择 E、H、I、K。从表 20-2 中可以看出，E 是不可以压缩的。所以，只能压缩 H、I、K。再看表 20-2，压缩直接费用率最小的为工作 K，K 原计划时间为 6 个月，极限时间为4 个月，可以压缩 2 个月，正好可以满足要求。但是要注意，如果 K 压缩 2 个月，则会引起关键路径的变化。图 20-3 是 K 压缩 1 个月后的网络计划图。

从图 20-3 中可以看出，这时关键路径有 2 条，分别是 A→E→H→I→K 和 A→E→H→I→L。因此，需要把 I 压缩 1 个月，费用为 4.5 万元。
综上所述，应该压缩 K、I 各 1 个月，增加费用为 4.0+4.5=8.5（万元）。

20.1.2 线性规划

线性规划是研究在有限的资源条件下，如何有效地使用这些资源达到预定目标的数学方法。用数学的语言来说，也就是在一组约束条件下寻找目标函数的极值问题。
求极大值（或极小值）的模型表达如下：

在上述条件下，求解 x1,x2,- - - ,xn,使满足下列表达式的 z 取极大值（或极小值）：
z=c1x1+c2x2+ +cnxn

1．图解法解线性规划问题的方法有很多，最常用的有图解法和单纯形法。图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理，下面，通过一个例子来说明图解法的应用。

某工厂在计划期内要安排生产 I、II 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及 A、B 两种原料的消耗，如表 20-3 所示。

该工厂每生产一件产品 I 可获利 2 元，每生产一件产品 II 可获利 3 元，问应该如何
安排计划使该工厂获利最多？

【解】该问题可用以下数学模型来描述，设 x1，x2 分别表示在计划期内产品 I、II 的产量，因为设备的有效台时是 8，这是一个限制产量的条件，所以在确定产品 I、II 的产量时，要考虑不超过设备的有效台时数，即可用不等式表示为：

x1 +2x2≤8
同理，因原料 A、B 的限量，可以得到以下不等式：
4 x1 ≤16
4 x2 ≤12
该工厂的目标是在不超过所有资源限制的条件下，如何确定产量 x1，x2 ，以得到最大的利润。若用 z 表示利润，这时 z =2x1 +3x2 。综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：目标函数
maxz = 2x1 + 3x2
满足约束条件
x1 +2x2 ≤8
4x1 ≤16
4x2 ≤12
x1、x2≥ 0
在以 x1，x2 为坐标轴的直角坐标系中，非负条件 x1， x2 ≥0 是指第一象限。上述每个约束条件都代表一个半平面。例如，约束条件 x1 + 2x2 ≤8 代表以直线 x1 + 2x2 ≤ 8 为边界的左下方的半平面。若同时满足 x1， x2 ≥0， x1 + 2x2 ≤8， 4x1 ≤16 和 4x2 ≤12 的约束条件的点，必然落在由这三个半平面相交组成的区域内，如图 20-4 中的阴影部分所示。阴影区域中的每一个点（包括边界点）都是这个线性规划问题的解（称可行解），因而此区域是本题的线性规划问题的解的集合，称它为可行域。

再分析目标函数 z = 2x1 +3x2 ，在坐标平面上，它可表示以 z 为参数，-2/3 为斜率的一族平行线：

位于同一直线上的点，具有相同的目标函数值，因此称为等值线。当 z 值由小变大时，直线沿其法线方向向右上方移动。当移动到 Q2 点时，使 z 值在可行域边界上实现最大化，这就得到了本题的最优解 Q2，Q2 点的坐标为（4，2）。经过计算，可以得出 z=14。

这说明该厂的最优生产计划方案是：生产 4 件产品 I，2 件产品 II，可得最大利润为 14
元。

2．关于解的讨论
在上述例题中，得到的最优解是唯一的，但对一般线性规划问题而言，求解结果还可能出现以下几种情况：无穷多最优解（多重解），无界解（无最优解），无可行解。当求解结果出现后两种情况时，一般说明线性规划问题的数学模型有错误。无界解源于缺乏必要的约束条件，无可行解源于矛盾的约束条件。

从图解法中直观地看到，当线性规划问题的可行域非空时，它是有界或无界凸多边形。若线性规划问题存在最优解，它一定在可行域的某个顶点得到；若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的任意一点都是最优解，即有无穷多最优解。

3．单纯形法
图解法虽然直观，但当变量数多于三个以上时，它就无能为力了，这时需要使用单纯形法。
单纯形法的基本思路是：根据问题的标准，从可行域中某个可行解（一个顶点）开始，转换到另一个可行解（顶点），并且使目标函数达到最大值时，问题就得到了最优解。限于篇幅，本书不再介绍单纯形法的详细求解过程。

4．线性规划的适用性
线性规划模型用在原材料单一、生产过程稳定不变、分解型生产类型的企业是十分有效的，例如，石油化工厂等。对于产品结构简单，工艺路线短，或者零件加工企业，有较大的应用价值。需要注意的是，对于机电类企业用线性规划模型只适用于作年度的总生产计划，而不宜用来作月度计划。这主要与工件在设备上的排序有关，计划期太短，很难安排过来。

一般来说，一个经济管理问题符合以下条件时，才能建立线性规划的模型：
（1）要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数。
（2）存在着多种方案。
（3）要求达到的目标是在一定约束条件下实现的，这些约束条件可用线性等式或不等式描述。

20.1.3 决策论

决策就是决定的意思，大至国家经济、政治，小到个人生活，凡是在有选择的地方就有决策。关于决策的重要性，诺贝尔奖金获得者西蒙有一句名言“管理就是决策”。这就是说，管理的核心是决策。

1．决策过程和模型构造决策行为的模型主要有两种，分别为面向结果的方法和面向过程的方法。面向决策结果的方法程序比较简单，其过程为“确定目标→收集信息→提出方案→方案选择→决策”。面向决策过程的方法一般包括“预决策→决策→决策后”三个阶段，其中决策阶段又可分为分部决策和最终决策两个子阶段。

任何决策问题都由以下要素构成决策模型：
（1）决策者。可以是个人、委员会或某个组织，一般指领导者或领导集体。
（2）可供选择的方案（替代方案）、行动或策略。
（3）衡量选择方案的准则。包括目的、目标、属性、正确性的标准，在决策时有单一准则和多准则。
（4）事件：不为决策者所控制的、客观存在的、将发生的状态。
（5）每一事件的发生将会产生的某种结果。例如，获得收益或损失。
（6）决策者的价值观。例如，决策者对货币额或不同风险程度的主观价值观念。

2．不确定型决策
不确定型决策（非确定型决策）是指决策者对环境情况一无所知，决策者根据自己的主观倾向进行决策。根据决策者的主观态度不同，可分为 5 种准则，分别为悲观主义准则、乐观主义准则、折中主义准则、等可能准则和后悔值准则。下面通过一个例题，具体介绍这些准则的含义和求解方法。

某公司需要根据下一年度宏观经济的增长趋势预测决定投资策略。宏观经济增长趋势有不景气、不变和景气 3 种，投资策略有积极、稳健和保守 3 种，各种状态的收益如表 20-4 所示。

【解】在本题中，由于下一年度宏观经济的各种增长趋势的概率是未知的，所以是一个不确定型决策问题。

（1）乐观主义准则。乐观主义准则也称为最大最大准则（maxmax 准则），其决策的原则是“大中取大”。持这种准则思想的决策者对事物总抱有乐观和冒险的态度，他决不放弃任何获得最好结果的机会，争取以“好中之好”的态度来选择决策方案。决策者在决策表中各个方案对各个状态的结果中选出最大者，记在表的最右列，再从该列中选出最大者。在表20-4 中，积极方案的最大结果为 500，稳健方案的最大结果为 300，保守方案的最大结果为 400。三者的最大值为 500，因此，选择其对应的积极投资方案。

（2）悲观主义准则。悲观主义准则也称为最大最小准则（maxmin 准则），其决策的原则是“小中取大”。这种决策方法的思想是对事物抱有悲观和保守的态度，在各种最坏的可能结果中选择最好的。决策时从决策表中各方案对各个状态的结果中选出最小者，记在表的最右列，再从该列中选出最大者。在表 20-4 中，积极方案的最小结果为 50，稳健方案的最小结果为 150，保守方案的最小结果为 200。三者的最大值为 200，因此，选择其对应的保守投资方案。

（3）折中主义准则。折中主义准则也称为赫尔威斯（Harwicz）准则，这种决策方法的特点是对事物既不乐观冒险，也不悲观保守，而是从中折中平衡一下，用一个系数 α（称为折中系数）来表示，并规定 0≤α≤1，用以下公式计算结果：cvi=α×max{aij}+(1−α)×min{aij} 即用每个决策方案在各个自然状态下的最大效益值乘以 α，再加上最小效益值乘以 1−α。然后再比较 cvi，从中选择最大者。显然，折中主义准则的结果取决于α的选择。α接近于1，则偏向于乐观；α接近于 0，则偏向于悲观。

（4）等可能准则。等可能准则也称为拉普拉斯（Laplace）准则。当决策者无法事先确定每个自然状态出现的概率时，就可以把每个状态出现的概率定为 1/n（n 是自然状态数），然后按照最大期望值准则决策。也就是说，把一个不确定型决策转换为风险决策。

（5）后悔值准则。后悔值（遗憾值）准则也称为萨维奇（Savage）准则、最小机会损失准则。决策者在制定决策之后，如果不能符合理想情况，必然有后悔的感觉。这种方法的特点是每个自然状态的最大收益值（损失矩阵取为最小值），作为该自然状态的理想目标，并将该状态的其他值与最大值相减所得的差作为未达到理想目标的后悔值。这样，从收益矩阵就可以计算出后悔值矩阵。最后按照最大后悔值达到最小的方法进行决策，因此，也称为最小最大后悔值（minmax）。在本题中，根据表 20-4 可以得出后悔值矩阵。如表 20-5 所示为各种状态的后悔值。

在表 20-5 中，积极方案的最大后悔值为 350，稳健方案的最大后悔值为 250，保守方案的最大后悔值为 300。三者的最小值为 250，因此，选择其对应的稳健投资方案。

4．风险决策
风险决策是指决策者对客观情况不甚了解，但对将发生各事件的概率是已知的。在风险决策中，一般采用期望值作为决策准则，常用的有最大期望收益决策准则（Expected Monetary Value，EMV）和最小机会损失决策准则（Expected Opportunity Loss，EOL）。

（1）最大期望收益决策准则。决策矩阵的各元素代表“策略-事件”对的收益值，各事件发生的概率为 pj ，先计算各策略的期望收利益值 ∑pjaij’，i=1,2, ,n，然后从这些期望收益值中选取最大者，以它对应的策略为决策者应选择的决策策略。

（2）最小机会损失决策准则。决策矩阵的各元素代表“策略-事件”对的损失值，各事件发生的概率为 pj ，先计算各策略的期望损失值 1.png 然后从这些期望收益值中选取最小者，以它对应的策略为决策者应选择的决策策略。 当 EMV 为最大时，EOL 便为最小。因此，在决策时用这两个决策准则所得的结果是一致的。

某电子商务公司要从 A 地向 B 地的用户发送一批价值为 90 000 元的货物。从 A 地到 B 地有水、陆两条路线。走陆路时比较安全，其运输成本为 10 000 元；走水路时一般情况下的运输成本只要 7000 元，不过一旦遇到暴风雨天气，则会造成相当于这批货物总价值的 10%的损失。根据历年情况，这期间出现暴风雨天气的概率为 1/4，那么该电子商务公司该如何选择呢？

【解】这是一个风险决策问题，其决策树如图 20-5 所示。

根据图 20-5，走水路时，成本为 7000 元的概率为 75%，成本为 16 000 元的概率为25%，因此，走水路的期望成本为(7 000×75%)+(16 000×25%) =9250（元）；走陆路时，其成本为(10 000×75%)+(10 000×25%)=10 000（元）。所以，走水路的期望成本小于走陆路的成本，应该选择走水路。

20.1.4 对策论

对策论也称为竞赛论或博弈论，是研究具有竞争（或斗争）性质现象的数学理论和方法。大到国际间的谈判、各种政治力量的较量，小到日常生活中的“诡计”，都是对策论的研究对象。

具有竞争或对抗性质的行为称为对策行为。在这类行为中，参加竞争的各方各自具有不同的目标和利益。为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案。对策论就是研究对策行为中竞争各方是否存在最合理的行动方案，以及如何找到这个合理的行动方案的数学理论和方法。在此我们不必研究高深的理论，仅以一个实例来说明这类考题如何解决，因为这类试题往往是 “一通百通”的。

例：甲、乙两个独立的网站主要靠广告收入来支撑发展，目前都采用较高的价格销售广告。这两个网站都想通过降价争夺更多的客户和更丰厚的利润。假设这两个网站在现有策略下各可以获得 1000 万元的利润。如果一方单独降价，就能扩大市场份额，可以获得1500 万元利润，此时，另一方的市场份额就会缩小，利润将下降到 200 万元。 如果这两个网站同时降价，则他们都将只能得到 700 万元利润。那么，这两个网站的主管各自经过独立的理性分析后，决定采取什么策略呢？
【解】这是一个比较简单但又常见的对策问题，可以表示为图 20-6 所示的赢得矩阵。

由图 20-6 可以看出，假设乙网站采用高价策略，那么甲网站采用高价策略得 1000 万元，采用低价策略得 1500 万元。因此，甲网站应该采用低价策略；如果乙网站采用低价策略，那么甲网站采用高价策略得 200 万元，采用低价策略得 700 万元，因此，甲网站也应该采用低价策略。采用同样的方法，也可分析乙网站的情况，也就是说，不管甲网站采取什么样的策略，乙网站都应该选择低价策略。因此，这个博弈的最终结果一定是两个网站都采用低价策略，各得到 700 万元的利润。

这个对策是一个非合作对策问题，且两个局中人都肯定对方会按照个体行为理性原则决策，因此，虽然双方采用低价策略的均衡对双方都不是理想的结果，但因为两个局中人都无法信任对方，都必须防备对方利用自己的信任（如果有的话）谋取利益，所以双方都会坚持采用低价，各自得到 700 万元的利润，各得 1000 万元利润的结构是无法实现的。即使两个网站都完全清楚上述利害关系，也无法改变这种结局。

20.2 数学建模

在前面几节的讨论中，多处提到了“数学模型”，但并未对其进行解释。那么，什么是数学模型，怎么建立数学模型呢？作为本章的结束，本节主要介绍数学建模相关知识。

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象和简化，建立能近似刻画并解决实际问题的模型的一种强有力的数学手段。

1．数学模型
数学模型是客观世界中的实际事物的一种数学简化，它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，例如，录音、录像、比喻等。为了使描述更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。模型的一般数学形式可用下列表达式描述。
目标的评价准则：

约束条件：
其中， xi 为可控变量， yi 为已知参数； ξk 为随机因素。
目标的评价准则一般要求达到最佳（最小或最大）、适中、满意等。准则可以是单一的，也可以是多个的。约束条件可以没有也可有多个。

当 g 是等式时，即为平衡条件。当模型中无随机因素时，称它为确定性模型，否则为随机模型。随机模型的评价准则可用期望值、方差表示，也可用某种概率分布来表示；当可控变量只取离散值时，称为离散模型，否则称为连续模型。也可按使用的数学工具，将模型分为代数方程模型、微分方程模型、概率统计模型、逻辑模型等；若用求解方法来命名时，有直接最优化模型、数字模拟模型、启发式模型等；也有按用途来命名的，例如，分配模型、运输模型、更新模型、排队模型、存储模型等；还可以用研究对象来命名，例如，能源模型、教育模型、军事对策模型、宏观经济模型等。

2．数学建模的过程
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚而扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。

虽然面临的各种实际问题不一样，但数学建模的基本过程基本上是一致的，可以遵循以下过程。

（1）模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
（2）模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

（3）模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。只要能够把问题描述清楚，尽量使用简单的数学工具。

（4）模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数作出计算（估计）。

（5）模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。

（6）模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。

（7）模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

3．数学建模的方法
构造模型是一种创造性劳动，成功的模型往往是科学与艺术的结晶，一般的建模方法和思路有以下 4 种：
（1）直接分析法：根据对问题内在机理的认识，直接构造出模型。

（2）类比法：根据类似问题的模型构造新模型。

（3）数据分析法：通过试验，获得与问题密切相关的大量数据，用统计分析方法进行建模。

（4）构想法：对将来可能发生的情况给出逻辑上合理的设想和描述，然后用已有的方法构造模型，并不断修正完善，直至用户比较满意为止。