一、单管共射放大电路的频率响应

考虑到耦合电容和结电容的影响，图5.4.1(a)所示电路的等效电路如图(b)所示。在分析放大电路的频率响应时，为了方便起见，一般将输入信号的频率范围分为中频、低频和高频三个频段。在中频段，极间电容因容抗很大而视为开路，耦合电容（或旁路电容）因容抗很小而视为短路，故不考虑它们的影响；在低频段，主要考虑耦合电容（或旁路电容）的影响，此时极间电容仍视为开路；在高频段，主要考虑极间电容的影响，此时耦合电容（或旁路电容）仍视为短路；根据上述原则，便可得到放大电路在各频段的等效电路，从而得到各频段的放大倍数。

1、中频电压放大倍数

在中频电压信号 ${\dot{U}}_s$ 作用于电路时，由于 $\frac{1}{\omega C_{\pi }^{\prime }}>>r_{b^{\prime }e}$，$C_{\pi }^{\prime }$ 可视为开路；又由于 $\frac{1}{\omega C}<<R_L$，$C$ 可视为短路；因此，图5.4.1(a)所示电路的中频等效电路如图5.4.2所示。输入电阻 $R_i=R_b//(r_{b{b}^{\prime }}+r_{b^{\prime }e})=R_b//r_{be}$，中频电压放大倍数$${\dot{A}}_{usm}=\frac{{\dot{U}}_o}{{\dot{U}}_s}=\frac{{\dot{U}}_i}{{\dot{U}}_s}\cdot \frac{{\dot{U}}_{b^{\prime }e}}{{\dot{U}}_i}\cdot \frac{{\dot{U}}_o}{{\dot{U}}_{b^{\prime }e}}=\frac{R_i}{R_s+R_i}\cdot \frac{r_{b^{\prime }e}}{r_{be}}\cdot (-g_m{R}_L^{\prime })(\mathrm{5.4.1})$$$$(R_L^{\prime }=R_c//R_L)$$电路空载时的中频电压放大倍数$${\dot{A}}_{usm}=\frac{{\dot{U}}_o}{{\dot{U}}_s}=\frac{R_i}{R_s+R_i}\cdot \frac{r_{b^{\prime }e}}{r_{be}}\cdot (-g_m{R}_c)(\mathrm{5.4.2})$$

2、低频电压放大倍数

考虑到低频电压信号作用时耦合电容 $C$ 的影响，图5.4.1(a)所示电路的低频等效电路如图5.4.3(a)所示。将受控电流源 $g_m{\dot{U}}_{b^{\prime }e}$ 与 $R_c$ 进行等效变换如图(b)所示，${\dot{U}}_o^{\prime }$ 是空载时的输出电压，电容 $C$ 与负载电阻 $R_L$ 组成了如图5.1.1(a)所示的高通电路。低频电压放大倍数为$${\dot{A}}_{usl}=\frac{{\dot{U}}_o}{{\dot{U}}_s}=\frac{{\dot{U}}_o^{\prime }}{{\dot{U}}_s}\cdot \frac{{\dot{U}}_o}{{\dot{U}}_o^{\prime }}$$将式（5.4.2）代入上式$${\dot{A}}_{usl}=\frac{R_i}{R_s+R_i}\cdot \frac{r_{b^{\prime }e}}{r_{be}}\cdot (-g_m{R}_c)\cdot \frac{R_L}{R_c+\frac{1}{j\omega C}+R_L}$$将上式的分子分母同除以 $(R_c+R_L)$ 便可得到$${\dot{A}}_{usl}=\frac{R_i}{R_s+R_i}\cdot \frac{r_{b^{\prime }e}}{r_{be}}\cdot (-g_m{R}_L^{\prime })\cdot \frac{j\omega (R_c+R_L)C}{1+j\omega (R_c+R_L)C}(R_L^{\prime }=R_c//R_L)$$与式（5.4.1）比较，得出$${\dot{A}}_{usl}={\dot{A}}_{usm}\cdot \frac{j\frac{f}{f_L}}{1+j\frac{f}{f_L}}={\dot{A}}_{usm}\cdot \frac{1}{1+\frac{f_L}{jf}}(\mathrm{5.4.3})$$其中 $f_L$ 为下限频率，其表达式为$$f_L=\frac{1}{2\pi (R_c+R_L)C}(\mathrm{5.4.4})$$式（5.4.4）中的 $(R_c+R_L)C$ 正是 $C$ 所在回路的时间常数，它等于从电容 $C$ 两端向外看的等效电阻乘以 $C$。
根据式（5.4.3），单管共射放大电路的对数幅频特性及相频特性的表达式为$$\{\begin{array}{c}20\lg |{\dot{A}}_{usl}|=20\lg |{\dot{A}}_{usm}|+20\lg \frac{\frac{f}{f_L}}{\sqrt{1+(\frac{f}{f_L}{)}^2}}(\mathrm{5.4.5}a)\\ \phi =-180°+(90°-\arctan \frac{f}{f_L})=-90°-\arctan \frac{f}{f_L}(\mathrm{5.2.5}b)\end{array}$$式（5.4.5b）中的 -180° 表示中频段时 ${\dot{U}}_o^{\prime }$ 与 ${\dot{U}}_s$ 反相。因电抗元件引起的相移为附加相移，因而式（5.4.5b）表明低频段最大附加相移为 +90°。

3、高频电压放大倍数

考虑到高频信号作用时 $C_{\pi }^{\prime }$ 的影响，图5.4.1(a)所示电路的高频等效电路如图5.4.4(a)所示。利用戴维南定理，从 $C_{\pi }^{\prime }$ 两端向左看，电路可等效成图(b)所示电路，$R$ 和 $C_{\pi }^{\prime }$ 构成低通电路。通过图($c$)所示电路可以求出 $b^{\prime }$ - e 间的开路电压及等效内阻 $R$ 的表达式。$${\dot{U}}_s^{\prime }=\frac{r_{b^{\prime }e}}{r_{be}}\cdot {\dot{U}}_i=\frac{r_{b^{\prime }e}}{r_{be}}\cdot \frac{R_i}{R_s+R_i}\cdot {\dot{U}}_s(\mathrm{5.4.6})$$$$R=r_{b^{\prime }e}//(r_{b{b}^{\prime }}+R_s//R_b)(\mathrm{5.4.7})$$因为 $b^{\prime }$ - e 间电压 ${\dot{U}}_{b^{\prime }e}$ 与输出电压 ${\dot{U}}_o$ 的关系没变，所以高频电压放大倍数$${\dot{A}}_{ush}=\frac{{\dot{U}}_o}{{\dot{U}}_s}=\frac{{\dot{U}}_s^{\prime }}{{\dot{U}}_s}\cdot \frac{{\dot{U}}_{b^{\prime }e}}{{\dot{U}}_s^{\prime }}\cdot \frac{{\dot{U}}_o}{{\dot{U}}_{b^{\prime }e}}=\frac{R_i}{R_s+R_i}\cdot \frac{r_{b^{\prime }e}}{r_{be}}\cdot \frac{\frac{1}{j\omega R{C}_{\pi }^{\prime }}}{1+\frac{1}{j\omega R{C}_{\pi }^{\prime }}}\cdot (-g_m{R}_L^{\prime })$$将上式与式（5.4.1）比较，可得$${\dot{A}}_{ush}={\dot{A}}_{usm}\cdot \frac{1}{1+j\omega R{C}_{\pi }^{\prime }}$$令 $f_H=\frac{1}{2\pi R{C}_{\pi }^{\prime }}$，$R{C}_{\pi }^{\prime }$ 是 $C_{\pi }^{\prime }$ 所在回路的时间常数，因而$${\dot{A}}_{ush}={\dot{A}}_{usm}\cdot \frac{1}{1+j\frac{f}{f_H}}(\mathrm{5.4.8})$$${\dot{A}}_{ush}$ 的对数幅频特性与相频特性的表达式为$$\{\begin{array}{c}20\lg |{\dot{A}}_{ush}|=20\lg |{\dot{A}}_{usm}|-20\lg \sqrt{1+(\frac{f}{f_H}{)}^2}(\mathrm{5.4.9}a)\\ \phi =-180°-\arctan \frac{f}{f_H}(\mathrm{5.2.5}b)\end{array}$$式（5.4.9b）表明，在高频段，由 $C_{\pi }^{\prime }$ 引起的最大附加相移为 -90°。

4、波特图

综上所述，若考虑耦合电容及结电容的影响，对于频率从零到无穷大的输入电压，电压放大倍数的表达式应为$${\dot{A}}_{us}={\dot{A}}_{usm}\cdot \frac{j\frac{f}{f_L}}{\left(1+j\frac{f}{f_L}\right)\left(1+j\frac{f}{f_H}\right)}={\dot{A}}_{usm}\cdot \frac{1}{\left(1+\frac{f_L}{jf}\right)\left(1+j\frac{f}{f_H}\right)}(\mathrm{5.4.10})$$当 $f_L<<f<<f_H$ 时，$f_L/f$ 趋于零，$f/f_H$ 也趋于零，因而式（5.4.10）近似为 ${\dot{A}}_{us}\approx {\dot{A}}_{usm}$，即 ${\dot{A}}_{us}$ 为中频电压放大倍数，其表达式为式（5.4.1）。当 $f$ 接近 $f_L$ 时，必有 $f<<f_H$，$f/f_H$ 趋于零，因而式（5.4.10）近似为 ${\dot{A}}_{us}\approx {\dot{A}}_{usl}$，即 ${\dot{A}}_{us}$ 为低频电压放大倍数，其表达式为式（5.4.3）。当 $f$ 接近 $f_H$ 时，必有 $f>>f_L$，$f_L/f$ 趋于零，因而式（5.4.10）近似为 ${\dot{A}}_{us}\approx {\dot{A}}_{ush}$，即 ${\dot{A}}_{us}$ 为高频电压放大倍数，其表达式为式（5.4.8）。根据式（5.4.10），或者式（5.4.1）、（5.4.5）、（5.4.9），可画出图5.4.1(a)所示单管放大电路的折线化波特图，如图5.4.5所示。从以上分析可知，式（5.4.10）可以全面表示任何频段的电压放大倍数，而且上限频率和下限频率均可表示为 $\frac{1}{2\pi \tau }$，$\tau$ 分别是极间电容 $C_{\pi }^{\prime }$ 和耦合电容 $C$ 所在回路的时间常数，$\tau$ 是从电容两端向外看的总等效电阻与相应的电容之积。可见，求解上、下限截止频率的关键是正确求出回路的等效电阻。

【例5.4.1】在图5.4.1(a)所示电路中，已知 $V_{CC}=15\text{V}$，$R_s=1\text{kΩ}$，$R_b=20\text{kΩ}$，$R_c=R_L=5\text{k}\Omega$，$C=5\text{μF}$；晶体管的 $U_{BEQ}=0.7\text{V}$，$r_{b{b}^{\prime }}=100\Omega$，$\beta =100$，$f_{\beta }=0.5\text{MΩ}$，$C_{ob}=5\text{pF}$。试估算电路的截止频率 $f_H$ 和 $f_L$，并画出 ${\dot{A}}_{us}$ 的波特图。解： （1）求解 Q 点$$I_{BQ}=\frac{V_{CC}-U_{BEQ}}{R_b}-\frac{U_{BEQ}}{R_s}=0.015\text{mA}$$$$I_{CQ}=\beta I_{BQ}=1.5\text{mA}$$$$U_{CEQ}=V_{CC}-I_{CQ}{R}_c=7.5\text{V}$$可见，放大电路的 Q 点合适。
（2）求解混合 $\pi$ 模型中的参数$$r_{b^{\prime }e}=(1+\beta )\frac{U_T}{I_{EQ}}=\frac{U_T}{I_{BQ}}\approx 1733\Omega$$$$C_{\pi }=\frac{1}{2\pi r_{b^{\prime }e}{f}_{\beta }}-C_{\mu }\approx \frac{1}{2\pi r_{b^{\prime }e}{f}_{\beta }}-C_{ob}\approx 178\text{pF}$$$$g_m\approx \frac{I_{EQ}}{U_T}\approx 0.0577\text{S}$$$$\dot{K}=\frac{{\dot{U}}_{ce}}{{\dot{U}}_{b^{\prime }e}}=-g_m(R_c//R_L)\approx -144$$$$C_{\pi }^{\prime }=C_{\pi }+(1-\dot{K})C_{\mu }\approx 903\text{pF}$$
（3）求解中频电压放大倍数
$$r_{be}=r_{b{b}^{\prime }}+r_{b^{\prime }e}\approx 1.83\text{k}\Omega$$$$R_i=R_b//r_{be}\approx 1.68\text{k}\Omega$$$${\dot{A}}_{usm}=\frac{{\dot{U}}_o}{{\dot{U}}_s}=\frac{R_i}{R_s+R_i}\cdot \frac{r_{b^{\prime }e}}{r_{be}}\cdot (-g_m{R}_c//R_L)\approx -85$$（4）求解 $f_H$ 和 $f_L$$$f_H=\frac{1}{2\pi [r_{b^{\prime }e}//(r_{b{b}^{\prime }}+R_s//R_b)]C_{\pi }^{\prime }}$$因为 $R_s<<R_b$，所以$$f_H\approx \frac{1}{2\pi [r_{b^{\prime }e}//(r_{b{b}^{\prime }}+R_s)]C_{\pi }^{\prime }}\approx 260489\text{Hz}\approx 260\text{kHz}$$$$f_L=\frac{1}{2\pi (R_c+R_L)C}\approx 3.2\text{Hz}$$（5）画出 ${\dot{A}}_{us}$ 的波特图
根据以上计算结果可得$${\dot{A}}_{us}={\dot{A}}_{usm}\cdot \frac{j\frac{f}{f_L}}{(1+j\frac{f}{f_L})(1+j\frac{f}{f_H})}\approx \frac{-85\cdot (j\frac{f}{3.2})}{(1+j\frac{f}{3.2})(1+j\frac{f}{260\times 10^3})}$$$20\lg |{\dot{A}}_{usm}|\approx 38.6\text{dB}$，画出 ${\dot{A}}_{us}$ 的波特图如图5.4.6所示。

二、单管共源放大电路的频率响应

对于图5.4.7(a)所示共源放大电路，考虑到极间电容和耦合电容的影响，其动态等效电路如图(b)所示。在中频段，$C_{gs}^{\prime }$ 开路，$C$ 短路，因而中频电压放大倍数$${\dot{A}}_{usm}=\frac{{\dot{U}}_o}{{\dot{U}}_i}=\frac{-g_m{\dot{U}}_{gs}(R_d//R_L)}{{\dot{U}}_{gs}}=-g_m{R}_L^{\prime }(\mathrm{5.4.11})$$在高频段，$C$ 短路，考虑 $C_{gs}^{\prime }$ 的影响，它所在回路的时间常数 $\tau =R_g{C}_{gs}^{\prime }$，因而上限截止频率为$$f_H=\frac{1}{2\pi R_g{C}_{gs}^{\prime }}(\mathrm{5.4.12})$$在低频段，$C_{gs}^{\prime }$ 开路，考虑 $C$ 的影响，它所在回路的时间常数 $\tau =(R_d+R_L)C$，因而下限截止频率$$f_L=\frac{1}{2\pi (R_d+R_L)C}(\mathrm{5.4.13})$$写出 ${\dot{A}}_u$ 的表达式$${\dot{A}}_u={\dot{A}}_{um}\cdot \frac{j\frac{f}{f_L}}{(1+j\frac{f}{f_L})(1+j\frac{f}{f_H})}(\mathrm{5.4.14})$$式（5.4.14）与式（5.4.10）形式上相同，若画出 ${\dot{A}}_u$ 的波特图，则与图5.4.5相似。

三、放大电路频率响应的改善和增益带宽积

为了改善单管放大电路的低频特性，需加大耦合电容及其回路电阻，以增大回路时间常数，从而降低下限频率。然而这种改善是很有限的，因此在信号频率很低的使用场合，应考虑采用直接耦合方式。
为了改善单管放大电路的高频特性，需减小 $b^{\prime }$ - e 间等效电容 $C_{\pi }^{\prime }$ 或 g - s 间等效电容 $C_{gs}^{\prime }$ 及其回路电阻，以减小回路时间常数，从而增大上限频率。
根据式（5.2.2），$C_{\pi }^{\prime }=C_{\pi }+(1+|\dot{K}|)C_{\mu }\approx C_{\pi }+(1+g_m{R}_L^{\prime })C_{\mu }$；而根据使（5.4.1），中频电压放大倍数 ${\dot{A}}_{usm}=\frac{R_i}{R_s+R_i}\cdot \frac{r_{b^{\prime }e}}{r_{be}}\cdot (-g_m{R}_L^{\prime })$； 因此，为减小 $C_{\pi }^{\prime }$ 需减小 $g_m{R}_L^{\prime }$，而减小 $g_m{R}_L^{\prime }$ 必然使 $|{\dot{A}}_{usm}|$ 减小。可见，$f_H$ 的提高与 $|{\dot{A}}_{usm}|$ 的增大是相互矛盾的。
对于大多数放大电路，$f_H>>f_L$，因而通频带 $f_{bw}=f_H-f_L\approx f_H$。也就是说，$f_H$ 与 $|{\dot{A}}_{usm}|$ 的矛盾就是带宽与增益的矛盾，即增益提高时，必使带宽变窄，增益减小时，必使带宽变宽。为了综合考虑这两方面的性能，引入一个新的参数“增益带宽积”。
根据式（5.4.1）和式（5.4.7），图5.4.1(a)所示单管共射放大电路的增益带宽积$$|{\dot{A}}_{usm}{f}_{bw}|\approx |{\dot{A}}_{usm}{f}_H|=\frac{R_i}{R_s+R_i}\cdot \frac{r_{b^{\prime }e}}{r_{be}}\cdot g_m{R}_L^{\prime }\cdot \frac{1}{2\pi [r_{b^{\prime }e}//(r_{b{b}^{\prime }}+R_s//R_b)]C_{\pi }^{\prime }}$$为使问题简单化，设电路中 $R_b>>r_{be}$，则 $R_i\approx r_{be}$；设 $R_b>>R_s$，则 $R_b//R_s\approx R_s$；设 $(1+g_m{R}_L^{\prime })C_{\mu }>>C_{\pi }$，且 $g_m{R}_L^{\prime }>>1$，则 $C_{\pi }^{\prime }\approx g_m{R}_L^{\prime }{C}_{\mu }$。在假设条件均成立的条件下，上式将变换成$$|{\dot{A}}_{usm}{f}_{bw}|\approx \frac{r_{be}}{R_s+r_{be}}\cdot \frac{r_{b^{\prime }e}}{r_{be}}\cdot g_m{R}_L^{\prime }\cdot \frac{1}{2\pi [r_{b^{\prime }e}//(r_{b{b}^{\prime }}+R_s)]g_m{R}_L^{\prime }{C}_{\mu }}$$$$=\frac{r_{b^{\prime }e}}{R_s+r_{be}}\cdot \frac{1}{2\pi \cdot \frac{r_{b^{\prime }e}\cdot (r_{b{b}^{\prime }}+R_s)}{r_{b^{\prime }e}+(r_{b{b}^{\prime }}+R_s)}\cdot C_{\mu }}$$整理可得$$|{\dot{A}}_{usm}{f}_{bw}|\approx \frac{1}{2\pi (r_{b{b}^{\prime }}+R_s)C_{\mu }}(\mathrm{5.4.15})$$上式表明，当晶体管选定后，$r_{b{b}^{\prime }}$ 和 $C_{\mu }$（约为 $C_{ob}$）就随之确定，因而增益带宽积也就答题确定，即增益增大多少倍，带宽几乎就变窄多少倍，这个结论具有普遍性。
从另一角度看，为了改善电路的高频特性，展宽频带，首先应选用 $r_{b{b}^{\prime }}$ 和 $C_{ob}$ 均小的高频管，与此同时还要尽量减小 $C_{\pi }^{\prime }$ 所在回路的总等效电阻。另外，还可考虑采用共基电路。
根据式（5.3.1）、（5.4.11）和（5.4.12），图5.4.7(a)所示场效应管共源放大电路的增益带宽积$$|{\dot{A}}_{um}{f}_{bw}|\approx |{\dot{A}}_{um}{f}_H|=g_m{R}_L^{\prime }\cdot \frac{1}{2\pi R_g[C_{gs}+(1+g_m{R}_L^{\prime })C_{gd}]}$$若 $g_m{R}_L^{\prime }>>1$，且 $(1+g_m{R}_L^{\prime })C_{gd}>>C_{gs}$，则$$|{\dot{A}}_{um}{f}_{bw}|\approx g_m{R}_L^{\prime }\cdot \frac{1}{2\pi R_g{g}_m{R}_L^{\prime }{C}_{gd}}=\frac{1}{2\pi R_g{C}_{gd}}(\mathrm{5.4.16})$$可见，场效应管选定后，增益带宽积也近似为常量。因此改善高频特性的根本办法是选择 $C_{gd}$ 小的管子并减小 $R_g$ 的阻值。
应当指出，并不是在所有的应用场合都需要宽频带的放大电路，例如正弦波振荡电路中的放大电路就应具有选频特性，它仅对某单一频率的信号进行放大，而其余频率的信号均被衰减，而且衰减愈快，电路的选频特性愈好，振荡的波形将愈好。应当说，在信号频率范围已知的情况下，放大电路只需具有与信号频段相对应的通频带即可，而且这样做将有利于抵抗外部的干扰信号。盲目追求宽频带不但无益，而且还将牺牲放大电路的增益。