定义

空间复杂度是指算法在运行过程中所需存储空间的度量。它反映了算法在执行时，内存（包括变量、数据结构、程序控制等）占用的大小。空间复杂度通常用大O符号来表示，常见表示形式有 O(1), O(n), O(n^2) 等。

计算方法

计算空间复杂度需要考虑以下几部分：

1. 固定部分：这部分空间需求与输入规模无关，主要包括程序代码所占的空间、常量空间和指令空间等。
2. 可变部分：这部分空间需求与输入规模有关，主要包括数据结构所占的空间和算法执行过程中动态分配的空间。

具体计算步骤如下：

1. 确定变量和常量的空间：计算程序中所有变量和常量的空间占用。
2. 确定数据结构的空间：计算算法中使用的数据结构（如数组、链表等）所占的空间。
3. 确定递归或动态分配的空间：计算递归调用栈或动态内存分配的空间。

常见的空间复杂度

1. O(1) - 常数空间复杂度：

   • 算法所需的存储空间不随输入规模的变化而变化。例如，只使用了几个固定大小的变量。

2. O(n) - 线性空间复杂度：

   • 算法所需的存储空间与输入规模成正比。例如，需要一个大小为 n 的数组。

3. O(n^2) - 平方空间复杂度：

   • 算法所需的存储空间与输入规模的平方成正比。例如，需要一个 n x n 的矩阵。

示例分析

示例1：常数空间复杂度（O(1)）

void example1(int n) {
    int a = 0;
    int b = 1;
    int c;
    c = a + b;
}

• 分析：在这个示例中，所需的空间仅用于存储变量 a, b 和 c，这些变量的数量不随输入规模 n 的变化而变化，因此空间复杂度为 O(1)。

示例2：线性空间复杂度（O(n)）

void example2(int n) {
    int* array = (int*)malloc(n * sizeof(int));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        array[i] = i;
    }
    free(array);
}

• 分析：在这个示例中，需要一个大小为 n 的数组，因此所需的空间随输入规模 n 的变化而变化，空间复杂度为 O(n)。

示例3：平方空间复杂度（O(n^2)）

void example3(int n) {
    int** matrix = (int**)malloc(n * sizeof(int*));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        matrix[i] = (int*)malloc(n * sizeof(int));
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            matrix[i][j] = i + j;
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        free(matrix[i]);
    }
    free(matrix);
}

• 分析：在这个示例中，需要一个 n x n 的二维数组，因此所需的空间随输入规模 n 的平方变化，空间复杂度为 O(n^2)。

示例4：递归调用的空间复杂度

int factorial(int n) {
    if (n <= 1) return 1;
    else return n * factorial(n - 1);
}

• 分析：在这个示例中，递归调用栈的深度为 n，因此所需的空间随输入规模 n 的变化而变化，空间复杂度为 O(n)。

实际应用

理解和计算空间复杂度在编写高效算法和程序时非常重要。以下是一些实际应用：

1. 内存受限环境：在嵌入式系统、移动设备等内存受限的环境中，选择空间复杂度较低的算法可以节省宝贵的内存资源。
2. 大数据处理：在处理大规模数据时，算法的空间复杂度决定了是否能在有限的内存中处理数据。空间复杂度低的算法可以处理更大规模的数据。
3. 递归算法优化：通过理解递归算法的空间复杂度，可以优化递归算法，减少调用栈深度，避免栈溢出。