文章目录
- 1、记忆化搜索
- 2、leetcode509:斐波那契数列
- 3、leetcode322:零钱兑换
1、记忆化搜索
也叫备忘录,即把已经计算过的结果存下来,下次再遇到,就直接取,不用重新计算。目的是以减少重复计算。
以前面提到的斐波那契数列为例,计算F(5),拆成F(4) + F(3),接下来递归的顺序,如上图红色箭头,会先算左侧一支,计算完F(4)后,函数往下接着执行,才计算右侧一支的F(3)
可以发现,计算左侧一支的F(4)时,会得到F(3)的值,存下F(3)的值的话,执行到右侧一支计算F(3)时,直接取就行。
考虑初始化一个数组,数组元素为一个题目中不可能出现的值。然后将F(0)存在数组下标为0的地方,F(3)存数组下标为3的地方,计算一个值时,先在数组中找,找不到时再计算。
2、leetcode509:斐波那契数列
用一个int数组,存储计算过的每个F(x),方便后面使用
public class P509Two {
public int recursion(int n) {
//F(0)和F(1)
if (n < 2) {
return n == 0 ? 0 : 1;
}
int[] dp = new int[n + 1];
dp[1] = 1; //F(1)
// 根据方程式,计算每个值,存入数组,从F(2)一路计算到F(5)
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
}
当然,这儿也是动态规划。至于二者的在这块儿的区别参考前一篇的爬楼梯那题。动态规划,重在状态转移,那些不用的中间值,存不存在你。记忆化搜索则重在存储已计算结果的方式来避免重复计算。
3、leetcode322:零钱兑换
总金额amount恰好等于硬币面值时,最优解为1:
考虑利用等于硬币面值金额的最优解,推出其他金额的最优解。选择一个面值小于 总金额amount 的硬币之后,剩余金额对应的最优解是已知的,选择这些剩余金额最优解中最小的,再加上对应的那张面值小于i 的硬币,就是总金额amount的最优解。
如上,amount = 3,面值小于amount的硬币有面值为1和面值为2的:
- 如果选择面值为1的,剩余3 - 1 = 2,而2的最优解就是1,那amount的最优解就是 1 + 1 = 2
- 如果选择面值为2的,剩余3 - 2 = 1,而1的最优解就是1,那amount的最优解就是 1 + 1 = 2
因此,amount的最优解是2。如此,amount = 已知面值时,也可以这样推出来,比如amount = 2。同理:
amount = 14的剩余金额中,剩余7时,最优解最小,为1,因此14最优解就是 1 + 1 = 2。以amount14为例,初始化一个amount + 1的dp数组:
根据上面的分析,14有五种写法,选择最小值返回即可:
假设硬币面值有c1、c2、c3,那动态规划的状态转移方程式为:
F(amount) = Min(F(amount - c1) + F(amount - c2) + F(amount - c3)) + 1
有点像动态规划-完全平方数那题。实现(动态规划):
public class P322 {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
if (null == coins || coins.length == 0) {
return 0;
}
int[] dp = new int[amount + 1];
// 填充-1
Arrays.fill(dp, -1);
// 金额0的最优解
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= amount; i++) {
// 对于每个金额i,遍历面值集合coins
for (int coin : coins) {
// 如果面值小于等于总金额i,并且剩余金额有最优解
if (coin <= i && dp[i - coin] != -1) {
// 如果总金额i没有计算过,或者,总金额i的最优解比正在计算的最优解大
if (dp[i] == -1 || dp[i] > dp[i - coin] + 1) {
// 更新最优解
dp[i] = dp[i - coin] + 1;
}
}
}
}
return dp[amount];
}
}