1 复杂度分析

1.1 时间复杂度

​ 时间复杂度用来表示算法运行时间的长短，用来定性的描述程序的运行时间。要了解时间复杂度，我们需要先了解程序执行的次数。

1.1.1 循环执行次数

（1）

for (int i=0; i<n; i++)
{
  printf("%d\n", i);
}
//该代码段内，for() 语句将被执行 n+1 次，而不是 n 次，当 i=n-1 时，循环正常运行，当 i=n 时，for() 仍需要判断 i<n 条件是否成立，不成立，跳出 for() 循环，最后一次判断导致 for() 语句的执行次数是 n+1 次，而不是 n 次。

//printf()只有在符合 i<n 条件时，才会执行printf语句，所以执行次数为n，而不是n+1。

（2）

for (int i=0; i<n; i++)
{   
	for (int j=0; j<n; j++)
	{
    printf("i:%d,j:%d\n", i ,j);
	}  
} 
//该代码段内，for(i=0, i<n, i++)外部循环语句将执行 n+1 次。for(j=0 , j<n, j++)将被执行 n(n+1) 次。

//printf()将执行 n*n 次。

（3）

for (i=1; i<=n; i++)
{   
	for (j=1; j<=i; j++)
	{
		for (k=1; k<=j; k++)   
    {
      printf("i:%d, j:%d, k:%d \n", i, j , k);  
    }
	}  
} 
//该代码段内，从内到外思考 printf() 的循环次数，内部第一层循环执行 j 次，第二层循环，执行次数是 j 分别取值 0~i 的求和。可得 printf() 的执行次数为：

$$\sum _{i=1}^{i=n}\sum _{j=1}^{j=i}j=1/6n(n+1)(2n+1)$$

这里有些小伙伴会疑惑，为什么就成累加了呢？我们只考虑内部的 j 和 k 两层循环，带入具体的值想一下：

​ 假设 j 的最大值是5，j 会从 1 一直累加到 5 ，那么 j = 1 时，k <= 1，此时printf会被执行一次，之后内部循环就不满足循环条件退出了，而外部循环中的 j 就被累加到了 2 ，此时 k <= 2，此时printf会被执行两次，然后跳出循环，以此类推，执行的次数就是 1+ 2 + 3+ 4 + 5。

（4）

for (i=1; i<=n; i=i*2)
{
  printf("Hello World\n");
}

//该代码段内，i=i*2 我们设执行次数为k，所以跳出循环的判断条件可以简化表示为：

$$2^k-1>n即k=lo{g}_2(n+1)$$

1.1.2 大O(n)表示法

（1）对于以上四个循环例子，当 n 趋于无限大时，执行次数的系数和常数项可以忽略不计，因此，以上四个例子的 printf() 语句的时间复杂度用 O(n) 可以表示为：

1. $$O(n)$$

2. $$O(n^2)$$

3. $$O(n^3)$$

4. $$O(lo{g}_2(n))$$

（2）常见的时间复杂度，以及当 n 区域无穷大时的效率：

（3）在用 O(n) 描述算法的时间复杂度时，我们往往一般说的是平均时间复杂度，除此之外，我们还需要考虑，最差时间复杂度，和最好时间复杂度。

1.2 空间复杂度

​ 即算法占用内存空间的大小。与时间复杂度不同，我们通常只关注最差空间复杂度。因为内存空间是硬性要求，我们必须确保在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。

空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只需将统计对象从 “操作数量” 转为 “使用空间大小” 我们举几个例子。

1. $$O(1)：与循环无关的变量$$

2. $$O(lo{g}_2(n))：例如递归树，分治算法$$

3. $$O(n)：例如数组，链表，栈，队列$$

4. $$O(n^2)：例如二维数组$$

5. $$O(lo{g}_2(n))：例如二叉树$$