人工智能与机器学习原理精解【2】

文章目录

机器学习基础
- 一般化流程
- 回归
- - 线性回归
  - - 一元线性回归
    - - 基础
      - 斜率的公式
      - 克莱姆法则（Cramer's Rule）
      - 一、克莱姆法则的基本内容
        二、克莱姆法则的适用条件
        三、克莱姆法则的优缺点
        四、总结
      - 导数与极值的问题
    - julia实现
  - 最小二乘法原理
  - - - 最小二乘法的原理
      - 线性回归中的最小二乘法
      - 最小二乘法的优点与局限性
      - 最小二乘法算法过程
      - 一、线性回归模型
        二、目标函数
        三、求解算法
        四、算法步骤
        四、计算公式
        五、注意事项
  - 回归理论概述
  - - 回归的基本概念
    - 回归模型的类型
    - 回归模型的评估
  - 线性回归
  - - 基本概念
    - 线性回归模型
    - 参数估计
  - julia实现线性回归
  - - 1. 使用GLM.jl库
    - 2. 使用Flux.jl库
    - 3. 从头开始编写代码
参考文献

机器学习基础

一般化流程

定义问题
收集数据
设计特征
训练模型
测试模型
应用模型

回归

线性回归

一元线性回归

基础

$\\2.对于一组x_i数据(n个数据)，(x_1,x_2,....x_n)，对应方程1 \\y_i=a+bx_i，这里的一组x_i和y_i就构成了样本数据 \\3.均方误差（损失函数）E = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2 \\\hat{y}_i为根据参数a和b计算的方程1中的y \\而y_i是样本数据实际的y值。 \\均方误差（损失）最小化成为我们的目标 \\我们可以借此找到方程中a和b两个参数 \\所谓的找到也只能是估计。因为： \\4.在实际中，线性关系模型没有完全理想化，即： \\y = a + bx + e \\其中，y是因变量，x 是自变量，a是截距项，b是斜率项，e是误差项 \\完全理想化的时候是e=0，则y=a+bx，此时找到的参数a和b就是真正的参数，而不是估计或预测参数。 \\5.为了实现损失最小化，也就是说力求让e\rightarrow 0, \\可以对E计算偏导数 \\\text{minimize} \quad E = \sum_{i=1}^{n} (y_i - (a + bx_i))^2=\sum_{i=1}^{n} (y_i - a- bx_i)^2 \\对 E 分别求 a 和 b的偏导数，并令其为零： \\ \frac{\partial E}{\partial a} = 2\sum_{i=1}^{n}(y_i - a - bx_i)(-1) = 0 \\ \frac{\partial E}{\partial b} = 2\sum_{i=1}^{n}x_i(y_i - a -bx_i)(-x_i)= 0 \\求解方程，得解如下： \\b= \frac{n \sum x_iy_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} \\a = \frac{\sum y_i - b \sum x_i}{n} \\6.这个到底是如何推导出来的呢？实质是求解一个二元线性方程组 \\(1) 2\sum_{i=1}^{n}(y_i - a - bx_i)(-1) = 0=> \\-2\sum_{i=1}^{n}(y_i - a - bx_i) = 0=>\sum_{i=1}^{n}(y_i - a - bx_i) = 0 \\=>\sum_{i=1}^{n}y_i - \sum_{i=1}^{n}a-\sum_{i=1}^{n} bx_i= 0 \\=>\sum_{i=1}^{n}a+\sum_{i=1}^{n} bx_i=\sum_{i=1}^{n}y_i=>\sum_{i=1}^{n}a+\sum_{i=1}^{n} x_ib=\sum_{i=1}^{n}y_i \\=>\sum_{i=1}^{n}a+b\sum_{i=1}^{n}x_i =\sum_{i=1}^{n}y_i \\=>na+b\sum_{i=1}^{n}x_i =\sum_{i=1}^{n}y_i \\到了这一步，一定明确了，a和b才是自变量！！！！！ \\(2)\sum_{i=1}^{n}x_i(y_i - (a +bx_i)) = 0=>\sum_{i=1}^{n}x_iy_i - \sum_{i=1}^{n}x_ia - \sum_{i=1}^{n}bx_i^2 = 0 \\=>\sum_{i=1}^{n}x_ia+\sum_{i=1}^{n}bx_i^2=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i =>\sum_{i=1}^{n}x_ia+\sum_{i=1}^{n}x_i^2b=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i \\=>a\sum_{i=1}^{n}x_i+b\sum_{i=1}^{n}x_i^2=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i \\(3)方程组转换为以下 \\\begin{cases} na+b\sum_{i=1}^{n}x_i =\sum_{i=1}^{n}y_i \\a\sum_{i=1}^{n}x_i+b\sum_{i=1}^{n}x_i^2=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i \end{cases} \\(4)系数行列式 \begin{vmatrix} n & \sum_{i=1}^{n}x_i \\ \sum_{i=1}^{n}x_i & \sum_{i=1}^{n}x_i^2 \end{vmatrix} \\常数项 \begin{vmatrix} \sum_{i=1}^{n}y_i \\\sum_{i=1}^{n}x_iy_i \end{vmatrix} \\(5)\Delta=\begin{vmatrix} n & \sum_{i=1}^{n}x_i \\ \sum_{i=1}^{n}x_i & \sum_{i=1}^{n}x_i^2 \end{vmatrix}=n \sum_{i=1}^{n}x_i^2- (\sum_{i=1}^{n}x_i )^2 \\\Delta_a=\begin{vmatrix} \sum_{i=1}^{n}y_i & \sum_{i=1}^{n}x_i \\ \sum_{i=1}^{n}x_iy_i & \sum_{i=1}^{n}x_i^2 \end{vmatrix}=\sum_{i=1}^{n}y_i \sum_{i=1}^{n}x_i^2- \sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}x_iy_i \\\Delta_b=\begin{vmatrix} n & \sum_{i=1}^{n}y_i \\ \sum_{i=1}^{n}x_i & \sum_{i=1}^{n}x_iy_i \end{vmatrix}=n\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-\sum_{i=1}^{n}y_i\sum_{i=1}^{n}x_i \\（6）b=\frac {n\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-\sum_{i=1}^{n}y_i\sum_{i=1}^{n}x_i} {n \sum_{i=1}^{n}x_i^2- (\sum_{i=1}^{n}x_i )^2} \\a=\frac {\sum_{i=1}^{n}y_i \sum_{i=1}^{n}x_i^2- \sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}x_iy_i} {n \sum_{i=1}^{n}x_i^2- (\sum_{i=1}^{n}x_i )^2} \\另外，na+b\sum_{i=1}^{n}x_i =\sum_{i=1}^{n}y_i=>a= \frac{\sum y_i - b \sum x_i}{n} \\a和b求解完毕。$
第6步的理论基础可见高等数学精解【1】中的二阶行列式，其实就是利用了克莱姆法则

但是还存在如下这样的简化计算公式，又是如何得到的？
$\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \\a= \frac{\sum y_i - b \sum x_i}{n} =\bar y-b\bar x$
1.接着上面的基础继续推导
$b=\frac {n\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-\sum_{i=1}^{n}y_i\sum_{i=1}^{n}x_i} {n \sum_{i=1}^{n}x_i^2- (\sum_{i=1}^{n}x_i )^2}=\frac {\frac1 n (n\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-\sum_{i=1}^{n}y_i\sum_{i=1}^{n}x_i)} {\frac 1 n (n \sum_{i=1}^{n}x_i^2- (\sum_{i=1}^{n}x_i )^2)} \\=\frac {\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-\frac 1 n\sum_{i=1}^{n}y_i\sum_{i=1}^{n}x_i} {\sum_{i=1}^{n}x_i^2- \frac 1 n(\sum_{i=1}^{n}x_i )^2} \\=\frac {\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-\bar y \sum_{i=1}^{n}x} {\sum_{i=1}^{n}x_i^2- \bar x \sum_{i=1}^{n}x_i} \\=\frac {\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-n\bar x \bar y} {\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n (\bar x)^2} \\a= \frac{\sum y_i - b \sum x_i}{n} =\bar y-b\bar x$
按照上述公式julia计算系数

# 生成随机数据 
using Random 
using Statistics
Random.seed!(123)  
x = rand(30) *50 
y = 5*x .+ randn(30)
  
# 定义线性回归函数  
function linear_regression(x, y)  
    n = length(x)  
    x_mean = mean(x)  
    y_mean = mean(y)  
    b = (sum(x.*y) -n*x_mean*y_mean)/ (sum(x.^2) -n*(x_mean^2))
    a = y_mean - b * x_mean  
    return a, b  
end  
  
# 计算回归系数  
a, b = linear_regression(x, y)  
println("y=$a+$b*x")

y=0.06200648282067789+4.994947056080488*x

$\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} =\frac {\sum_{i=1}^{n} x_iy_i-n\bar x \bar y} {\sum_{i=1}^{n} x_i -n\bar{x}^2} \\=\frac {\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-n \bar x \bar y} {\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n (\bar x)^2} \\a= \frac{\sum y_i - b \sum x_i}{n} =\bar y-b\bar x$
在这里插入图片描述

斜率的公式

在线性回归 $y=\beta_0+\beta_1x$ 中，斜率（ $\beta_1$ ）的公式是通过最小二乘法推导出来的，它表示了自变量 $x$ 和因变量 $y$ 之间的线性关系的强度和方向。斜率公式的标准形式为：

$\beta_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$

其中：

$n$ 是数据点的数量。
$x_i$ 和 $y_i$ 是第 $i$ 个数据点的自变量和因变量值。
$\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 分别是 $x$ 和 $y$ 的均值，即 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ 和 $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i$ 。

这个公式可以通过对残差平方和 $S(\beta_0, \beta_1)$ 求偏导数并令其为零来推导出来，但在实际应用中，我们通常直接使用这个公式来计算斜率。

斜率 $\beta_1$ 的解释是：当 $x$ 增加一个单位时， $y$ 平均增加 $\beta_1$ 个单位（在假设其他因素不变的情况下）。如果 $\beta_1 > 0$ ，则 $x$ 和 $y$ 之间存在正相关关系；如果 $\beta_1 < 0$ ，则存在负相关关系；如果 $\beta_1 = 0$ ，则 $x$ 和 $y$ 之间没有线性关系（尽管它们之间可能存在其他类型的关系）。

注意：虽然这个公式是线性回归中斜率的标准计算方法，但它假设了误差项满足某些统计假设（如独立同分布、正态分布等）。在实际应用中，如果这些假设不成立，可能需要采用其他方法或模型来进行分析。

克莱姆法则（Cramer’s Rule）

又译克拉默法则，是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它最早由瑞士数学家加布里埃尔·克莱姆（Gabriel Cramer）于1750年在其著作《线性代数分析导言》中提出并证明。该法则主要适用于变量和方程数目相等的线性方程组，即n元线性方程组，为这类方程组的求解提供了一种特殊的方法。

一、克莱姆法则的基本内容

下面内容来自于文心一言的自动生成内容。
克莱姆法则的基本思想是，如果线性方程组的系数矩阵的行列式不为零，那么方程组有唯一解，并且解可以通过计算行列式的比值来得到。具体来说，对于n元线性方程组：
$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}$

如果系数矩阵A的行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，且解为：

$x_i = \frac{D_i}{D}, \quad i=1,2,\cdots,n$

其中，D是系数矩阵A的行列式， $D_i$ 是将系数矩阵A的第i列替换为常数项向量b后得到的新矩阵的行列式。

二、克莱姆法则的适用条件

方程组和未知数数量相等：克莱姆法则仅适用于变量和方程数目相等的线性方程组，即n元线性方程组。
系数矩阵行列式不为零：只有当系数矩阵的行列式不为零时，克莱姆法则才能给出方程组的唯一解。如果行列式为零，则方程组可能无解、有无数解或有唯一解但不能通过克莱姆法则求解。

三、克莱姆法则的优缺点

优点：

克莱姆法则给出了方程组解与系数的明确关系，具有理论上的重要性。
在某些特殊情况下，如系数矩阵较为简单时，克莱姆法则的求解过程可能相对直观。

缺点：

计算量较大：对于n元线性方程组，需要计算n+1个n阶行列式，计算量随n的增加而迅速增加。
数值稳定性差：克莱姆法则在数值计算上可能不稳定，特别是对于系数矩阵接近奇异或病态的情况。
实际应用受限：由于计算量大和数值稳定性差的问题，克莱姆法则在实际应用中通常不如其他数值方法（如高斯消元法、LU分解等）高效和稳定。

四、总结

克莱姆法则是线性代数中一个重要的定理，它为求解n元线性方程组提供了一种特殊的方法。然而，由于其计算量大和数值稳定性差的问题，克莱姆法则在实际应用中受到了一定的限制。在实际问题中，通常需要根据具体情况选择合适的数值方法来求解线性方程组。

导数与极值的问题

下面内容来自于文心一言的自动生成内容。

偏导数为0的点在多变量函数（如二元函数、三元函数等）
这些点通常被称为驻点、临界点或平稳点，类似于单变量函数中的情况。

对于一个二元函数 $f (x, y)$ ，其偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 分别表示函数在 $x$ 方向和 $y$ 方向上的变化率。当这两个偏导数在某个点 $x_0, y_0)$ 处都等于0时，即：

$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0$

我们称该点 $x_0, y_0)$ 为函数 $f (x, y)$ 的一个驻点或临界点。

需要注意的是，与单变量函数类似，偏导数为0的点并不一定是极值点或最值点。它们可能是局部最大值点、局部最小值点、鞍点（即在一个方向上是局部最大值，在另一个方向上是局部最小值）或拐点（在二维空间中，拐点通常与二阶偏导数及其混合偏导数的符号变化有关）。

为了确定一个驻点是否是极值点（以及是局部最大值点还是局部最小值点），通常需要进一步分析该点处的二阶偏导数（即Hessian矩阵）或进行更高阶的测试（如泰勒展开）。然而，即使进行了这些分析，有时也可能无法确定一个驻点的确切性质，特别是当函数在该点附近的行为非常复杂时。

在三维或更高维度的函数中，偏导数为0的点同样称为驻点或临界点，并且需要类似的分析来确定它们的性质。不过，随着维度的增加，分析和计算的复杂性也会显著增加。

二次二元函数偏导数

对于二次二元函数 $f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f$ ，其中 $a, b, c, d, e, f$ 是常数，并且 $\neq 0$ 或 $\neq 0$ 以确保它是真正的二次函数（否则它可能退化为一次函数或常数函数）。

首先，我们求该函数关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数：

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2ax + by + d$

$\frac{\partial f}{\partial y} = bx + 2cy + e$

然后，我们令这两个偏导数都等于0，以找到可能的驻点（或临界点）：

$2 a x + b y + d = 0$

$b x + 2 cy + e = 0$

这是一个包含两个方程的线性方程组，其解（如果存在的话）将是 $x$ 和 $y$ 的值，对应于函数 $f (x, y)$ 的驻点。

为了解这个方程组，我们可以使用消元法、代入法或矩阵方法。这里，我简要说明一下消元法：

从第一个方程中解出 $x$ （或 $y$ ，但这里我们选择解出 $x$ ）：

$-\frac{by + d}{2a}$

将这个结果代入第二个方程中，消去 $x$ ：

$b\left(-\frac{by + d}{2a}\right) + 2cy + e = 0$

解这个关于 $y$ 的一元一次方程，找到 $y$ 的值。
将找到的 $y$ 值代回原方程（或解出的 $x$ 表达式）中，找到对应的 $x$ 值。

注意，方程组可能有唯一解、无穷多解（当且仅当方程组对应的矩阵行列式为0且方程组不矛盾时）或无解（当方程组矛盾时）。在二次二元函数的情况下，通常我们期望找到有限数量的驻点（可能是0个、1个、2个或更多，取决于具体的函数和系数）。

然而，对于二次二元函数来说，还有一个重要的性质是它可以表示为矩阵形式，并且其驻点（如果存在）可以通过求解该矩阵的特征值和特征向量来找到。但这种方法通常更高级，且在这里不展开详述。

最后，需要强调的是，即使找到了驻点，也需要进一步分析（如通过二阶偏导数构成的Hessian矩阵的行列式符号）来确定这些点是否是极值点（局部最大值、局部最小值）或鞍点。

julia实现

# 生成随机数据 
using Random 
using Statistics
Random.seed!(123)  
x = rand(30) *50 
y = 5*x .+ randn(30)
  
# 定义线性回归函数  
function linear_regression(x, y)  
    n = length(x)  
    x_mean = mean(x)  
    y_mean = mean(y)  
    b = sum((x .- x_mean) .* (y .- y_mean)) / sum((x .- x_mean) .^ 2)  
    a = y_mean - b * x_mean  
    return a, b  
end  
  
# 计算回归系数  
a, b = linear_regression(x, y)  
println("y=$a+$b*x")

y=0.06200648282066368+4.9949470560804885*x

最小二乘法原理

下面内容来自文心一言的自动生成
最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。以下是对最小二乘法的详细解释：

最小二乘法的原理

最小二乘法的主要思想是通过确定未知参数（通常是一个参数矩阵），来使得真实值和预测值的误差（也称残差）平方和最小。其计算公式为：

$\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2 \\其中，y_i是真实值，\hat{y}_i是对应的预测值。 \\在线性回归中，我们通常使用均方误差（Mean Squared Error, MSE）作为损失函数， \\均方误差可以看作是最小二乘法中的 E 除以 m（m为样本个数）。$

线性回归中的最小二乘法

在线性回归问题中，我们通常使用最小二乘法来求解回归系数。对于一维特征的样本，拟合函数可以表示为：

$h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1x$

损失函数则为：
$J(\theta_0, \theta_1) = \sum_{i=1}^{m}(y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)}))^2 = \sum_{i=1}^{m}(y^{(i)} - \theta_0 - \theta_1x^{(i)})^2 \\要使损失函数最小，可以对损失函数求偏导，并令偏导等于0，解出 \theta_0 和 \theta_1。$
对于多维特征的样本，同样可以采用这种方式来求解。此时，拟合函数和损失函数的形式会更为复杂，但基本原理相同。

最小二乘法的优点与局限性

优点：

原理简单，易于理解和实现。
在线性回归问题中，最小二乘法能够得到唯一的最优解（在参数无约束的情况下）。
适用于大规模数据处理，因为最小二乘法的计算过程相对简单。

局限性：

对异常值较为敏感，因为最小二乘法是通过最小化所有误差的平方和来求解的，所以单个异常值可能会对结果产生较大影响。
在非线性回归问题中，最小二乘法可能无法得到最佳解。此时，需要考虑其他非线性优化方法。

最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。以下是最小二乘法的具体算法，特别是针对线性回归问题的详细解释：

最小二乘法算法过程

一、线性回归模型

在线性回归中，我们假设模型为线性关系，即：

$\beta_0 + \beta_1x + \epsilon$

$是自变量，\beta_0是截距项，\beta_1是斜率项，\epsilon是误差项。$

二、目标函数

$最小二乘法的目标是找到\beta_0和 \beta_1的值，使得真实值 y_i和预测值\hat{y}_i = \beta_0 + \beta_1x_i之间的误差平方和最小。$ 即：

$\text{minimize} \quad S = \sum_{i=1}^{n} (y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i))^2$

三、求解算法

为了找到最小化 $S$ 的 $\beta_0 和 \beta_1$ ，我们可以使用以下方法：

偏导数为零法

对 $S$ 分别求 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 的偏导数，并令其为零：

$\frac{\partial S}{\partial \beta_0} = -2\sum_{i=1}^{n}(y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i)) = 0$

$\frac{\partial S}{\partial \beta_1} = -2\sum_{i=1}^{n}x_i(y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i)) = 0$

解这两个方程，可以得到 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 的值。
矩阵解法

对于多元线性回归（即有多个自变量的情况），我们可以使用矩阵形式来表示和求解。设 $Y$ 是因变量向量， $X$ 是设计矩阵（包括自变量和常数项）， $\beta$ 是参数向量， $e$ 是误差向量。则模型可以表示为：

$X\beta + e$

$(e^Te)，我们可以得到参数估计 (\hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^TY)$ 。

四、算法步骤

收集数据：收集自变量 (x) 和因变量 (y) 的观测值。
构建设计矩阵：对于线性回归，设计矩阵 (X) 包括自变量和常数项（用于表示截距项）。
计算参数：使用上述方法（偏导数为零法或矩阵解法）计算回归参数 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ （或对于多元线性回归，计算 $\hat{\beta}$ ）。
评估模型：使用得到的回归方程进行预测，并评估模型的性能（如使用均方误差等指标）。

在回归分析中，最小二乘法是一种广泛使用的技术，用于估计模型参数，使得模型预测值与真实观测值之间的差的平方和最小。

四、计算公式

以下是一般线性模型（ $\beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \cdots + \beta_nx_n + \epsilon$ ）中使用最小二乘法的基本步骤和计算公式：

1. 目标函数

我们的目标是找到一组参数 $\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_n$ ，使得目标函数（也称为残差平方和）最小化：

$S(\beta) = \sum_{i=1}^{m} \left( y_i - (\beta_0 + \beta_1x_{i1} + \beta_2x_{i2} + \cdots + \beta_nx_{in}) \right)^2$

其中， $m$ 是观测值的数量， $y_i$ 是第 $i$ 个观测的响应变量， $x_{ij}$ 是第 $i$ 个观测的第 $j$ 个预测变量（或自变量）， $\beta_j$ 是对应的系数（或参数）。

1. 正规方程

为了找到使 $S(\beta)$ 最小的 $\beta$ 值，我们可以对 $S(\beta)$ 关于每个 $\beta_j$ 求偏导，并令其为0。这将产生一组线性方程（称为正规方程或法方程）：

$\frac{\partial S(\beta)}{\partial \beta_j} = 0$

解这组方程，我们可以得到 $\beta$ 的估计值。对于简单的线性模型（ $\beta_0 + \beta_1x + \epsilon$ ），正规方程简化为：

$\beta_1 = \frac{n \sum x_iy_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}$

$\beta_0 = \frac{\sum y_i - \beta_1 \sum x_i}{n}$

其中， $n$ 是数据点的数量， $x_i$ 和 $y_i$ 分别是第 $i$ 个观测的自变量和因变量值。

1. 矩阵形式

对于更一般的线性模型，我们可以将问题转化为矩阵形式来求解。定义设计矩阵 $X$ （其中行对应观测，列对应预测变量，包括常数项1用于截距），响应向量 $y$ ，和参数向量 $\beta$ ，正规方程可以表示为：

$X^TX\beta = X^Ty$

解这个方程，我们得到：

$\beta = (X^TX)^{-1}X^Ty$

这是最小二乘解的矩阵形式，它可以直接通过线性代数方法求解。

注意

1.当 $X^TX$ 是可逆的（即，设计矩阵 $X$ 的列是线性独立的），上述方程有唯一解。
2. 在实际应用中，可能会遇到 $X^TX$ 不可逆的情况（如，预测变量之间存在多重共线性），此时需要使用正则化技术（如岭回归或LASSO）或其他方法来处理。
3. 最小二乘法假设误差项 $\epsilon$ 是独立同分布的，并且具有零均值和常数方差。这些假设对于最小二乘估计的性质至关重要。

五、注意事项

异常值处理：最小二乘法对异常值较为敏感，因此在应用前需要进行异常值检测和处理。
多重共线性：当自变量之间存在高度相关性时，可能会导致回归系数不稳定或难以解释。此时需要进行多重共线性检验和处理。
非线性关系：如果数据之间存在非线性关系，则线性回归模型可能无法很好地拟合数据。此时需要考虑使用非线性回归模型或其他方法。
模型假设检验：在应用最小二乘法进行线性回归时，需要检验模型的假设条件（如误差项的正态性、独立性等）是否满足。

回归理论概述

下面内容来自文心一言的自动生成
机器学习中的回归是一种预测数值型目标变量的监督学习算法。与分类问题不同

回归问题的目标是预测一个连续的值，而不是一个离散的类别标签。
回归模型通过学习输入变量（也称为特征或自变量）与输出变量（也称为目标变量或因变量）之间的关系来工作。

回归的基本概念

输入变量（X）：影响目标变量的因素，可以是单个或多个。
输出变量（Y）：需要预测的数值，也称为响应变量或目标变量。
训练集：包含输入变量和对应输出变量的数据集，用于训练回归模型。
测试集：用于评估训练好的回归模型性能的数据集，不包含在训练过程中。

回归模型的类型

线性回归：
- 最简单的回归形式，假设输入变量和目标变量之间存在线性关系。
- 模型可以表示为： $\beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_nX_n + \epsilon$ ，其中 $\beta_i$ 是系数， $\epsilon$ 是误差项。
- 可通过最小二乘法等方法求解系数。
多项式回归：
- 当线性关系不足以描述数据时，可以使用多项式回归。
- 通过在回归方程中引入输入变量的幂次项来建模非线性关系。
岭回归（Ridge Regression）：
- 一种用于处理多重共线性数据的技术，通过向损失函数中添加L2正则化项来减少模型复杂度。
套索回归（Lasso Regression）：
- 类似于岭回归，但使用L1正则化项，可以自动进行特征选择，将不重要特征的系数收缩到0。
弹性网回归（Elastic Net Regression）：
- 岭回归和套索回归的结合，同时包含L1和L2正则化项。
决策树回归：
- 使用决策树模型进行回归预测，通过递归地将数据集分割成更小的子集来拟合模型。
随机森林回归：
- 基于多棵决策树的集成学习方法，通过平均或多数投票的方式提高预测的准确性和稳定性。
梯度提升回归树（GBRT, Gradient Boosting Regression Trees）：
- 通过构建多个弱学习器（通常是决策树），并将它们组合成一个强学习器来进行预测。

回归模型的评估

均方误差（MSE, Mean Squared Error）：预测值与真实值之差的平方的平均值，常用于评估回归模型的性能。
均方根误差（RMSE, Root Mean Squared Error）：MSE的平方根，与数据单位相同，更易于解释。
平均绝对误差（MAE, Mean Absolute Error）：预测值与真实值之差的绝对值的平均值，对异常值不如MSE敏感。
R²分数（R-squared）：表示模型预测值与实际观测值之间的拟合程度，最佳值为1，值越小表示模型性能越差。

回归模型的选择和评估取决于具体问题的性质、数据的特性以及模型的假设条件。在实际应用中，通常需要通过交叉验证等方法来选择最优的模型。

线性回归

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线性回归是机器学习中最基础也是应用最广泛的算法之一。它主要用于预测一个或多个自变量（特征）与因变量（目标）之间的线性关系。线性回归模型假设目标变量是输入特征的线性组合，并可能包括一个常数项（截距项）。

基本概念

自变量（X）：也称为特征或输入变量，是我们要用来预测因变量的值。在线性回归中，可以有一个或多个自变量。
因变量（Y）：也称为目标变量或输出变量，是我们想要预测的值。
线性关系：指的是自变量和因变量之间存在一种直线关系，即当自变量变化时，因变量也按照一定比例变化，但这种变化是线性的。

线性回归模型

线性回归模型的一般形式可以表示为：

$\beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \dots + \beta_nX_n + \epsilon$

其中：

$Y$ 是因变量（目标变量）。
$X_1, X_2, \dots, X_n$ 是自变量（特征）。
$\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_n$ 是模型的参数，也称为系数。 $\beta_0$ 是截距项，表示当所有自变量都为零时，因变量的预期值。 $\beta_1, \dots, \beta_n$ 表示各自变量对因变量的影响程度。
$\epsilon$ 是误差项，表示模型预测值与实际值之间的差异，通常假设它遵循正态分布，且均值为0。

参数估计

在线性回归中，我们需要通过数据来估计模型的参数 $\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_n$ 。最常用的参数估计方法是最小二乘法（Least Squares Method）。最小二乘法通过最小化误差项的平方和来找到最佳的参数估计值，即求解以下优化问题：

$\text{minimize} \quad \sum_{i=1}^{m} (y_i - (\beta_0 + \beta_1x_{i1} + \dots + \beta_nx_{in}))^2$

其中 $m$ 是样本数量， $y_i$ 是第 $i$ 个样本的实际目标值， $x_{ij}$ 是第 $i$ 个样本的第 $j$ 个特征值。

julia实现线性回归

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在Julia中实现线性回归，可以通过多种方式完成，包括但不限于使用专门的库（如Flux.jl、GLM.jl等）或从头开始编写代码。以下是几种常见的方法：

1. 使用GLM.jl库

GLM.jl是Julia中用于广义线性模型（Generalized Linear Models）的一个包，它支持线性回归等多种模型。以下是使用GLM.jl进行线性回归的基本步骤：

安装GLM.jl：首先，需要确保GLM.jl包已经安装在你的Julia环境中。如果未安装，可以通过Julia的包管理器进行安装。
准备数据：准备输入特征（X）和目标变量（y）。这些数据可以是Julia中的向量或矩阵。
定义模型：使用GLM.jl的lm函数或fit函数来定义线性回归模型。lm函数通常与@formula宏一起使用，以定义模型公式（如y ~ x）。
拟合模型：调用lm或fit函数来拟合模型，并获取模型对象。
分析模型：使用GLM.jl提供的函数（如coef、r2等）来分析模型结果，如获取回归系数、R方值等。
使用GLM.jl库

GLM.jl是Julia中用于广义线性模型（Generalized Linear Models）的一个包，它支持线性回归等多种模型。以下是使用GLM.jl进行线性回归的基本步骤：

安装GLM.jl：首先，需要确保GLM.jl包已经安装在你的Julia环境中。如果未安装，可以通过Julia的包管理器进行安装。

准备数据：准备输入特征（X）和目标变量（y）。这些数据可以是Julia中的向量或矩阵。

定义模型：使用GLM.jl的lm函数或fit函数来定义线性回归模型。lm函数通常与@formula宏一起使用，以定义模型公式（如y ~ x）。

拟合模型：调用lm或fit函数来拟合模型，并获取模型对象。

分析模型：使用GLM.jl提供的函数（如coef、r2等）来分析模型结果，如获取回归系数、R方值等。

using GLM, DataFrames

# 构造样本数据
x = [0.5, 1.0, 1.5, 2.0]
y = [1.0, 2.0, 2.5, 3.5]
df = DataFrame(x=x, y=y)

# 进行线性回归拟合
model = lm(@formula(y ~ x), df)

# 打印模型信息
println("R-squared: $(r2(model))")
println("Estimation coefficients: ")
println(coef(model))

2. 使用Flux.jl库

Flux.jl是Julia中的一个深度学习框架，它支持构建和训练包括线性回归在内的各种神经网络模型。以下是使用Flux.jl实现线性回归的基本步骤：

安装Flux.jl：确保Flux.jl包已安装在Julia环境中。
导入所需包：使用using Flux等语句导入Flux.jl及其相关函数。
准备数据集：准备输入特征和目标变量。
定义模型：使用Flux.jl的Chain和Dense层来定义线性回归模型。
定义损失函数和优化器：定义用于训练模型的损失函数（如均方误差MSE）和优化器（如梯度下降）。
训练模型：使用Flux.jl提供的训练函数（如Flux.train!）来训练模型。
进行预测：使用训练好的模型进行预测。

using Flux
using Flux: @epochs, mse

# 准备数据集
X = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0]' # 注意这里使用了转置，使其成为列向量
y = [2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0]'

# 定义模型
model = Chain(Dense(1, 1))

# 定义损失函数
loss(x, y) = mse(model(x), y)

# 定义优化器
optimizer = Descent(0.1)

# 训练模型
@epochs 1000 Flux.train!(loss, params(model), [(X, y)], optimizer)

# 进行预测
prediction = model(X)

3. 从头开始编写代码

如果不使用任何外部库，也可以从头开始编写代码来实现线性回归。这通常涉及使用最小二乘法来求解回归系数。

# 生成随机数据
Random.seed!(123)
x = rand(100)
y = 2*x .+ randn(100)

# 定义线性回归函数

function linear_regression(x, y)
    n = length(x)
    x_mean = mean(x)
    y_mean = mean(y)
    b = sum((x .- x_mean) .* (y .- y_mean)) / sum((x .- x_mean) .^ 2)
    a = y_mean - b * x_mean
    return a, b
end

# 计算回归系数
a, b = linear