机器学习基础

一般化流程

• 定义问题
• 收集数据
• 设计特征
• 训练模型
• 测试模型
• 应用模型

回归

线性回归

一元线性回归

基础

$$\begin{gathered} 1.方程：y=a+bx \\ 2.对于一组x_i数据(n个数据)，(x_1,x_2,....x_n)，对应方程1 \\ {y}_i=a+b{x}_i，这里的一组x_i和y_i就构成了样本数据 \\ 3.均方误差（损失函数）E=\sum _{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2 \\ {\hat{y}}_i为根据参数a和b计算的方程1中的y \\ 而y_i是样本数据实际的y值。 \\ 均方误差（损失）最小化成为我们的目标 \\ 我们可以借此找到方程中a和b两个参数 \\ 所谓的找到也只能是估计。因为： \\ 4.在实际中，线性关系模型没有完全理想化，即： \\ y=a+bx+e \\ 其中，y是因变量，x是自变量，a是截距项，b是斜率项，e是误差项 \\ 完全理想化的时候是e=0，则y=a+bx，此时找到的参数a和b就是真正的参数，而不是估计或预测参数。 \\ 5.为了实现损失最小化，也就是说力求让e\to 0, \\ 可以对E计算偏导数 \\ \text{minimize}E=\sum _{i=1}^n(y_i-(a+b{x}_i){)}^2=\sum _{i=1}^n(y_i-a-b{x}_i{)}^2 \\ 对E分别求a和b的偏导数，并令其为零： \\ \frac{\partial E}{\partial a}=2\sum _{i=1}^n(y_i-a-b{x}_i)(-1)=0 \\ \frac{\partial E}{\partial b}=2\sum _{i=1}^n{x}_i(y_i-a-b{x}_i)(-x_i)=0 \\ 求解方程，得解如下： \\ b=\frac{n\sum x_i{y}_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-(\sum x_i{)}^2} \\ a=\frac{\sum y_i-b\sum x_i}{n} \\ 6.这个到底是如何推导出来的呢？实质是求解一个二元线性方程组 \\ (1)2\sum _{i=1}^n(y_i-a-b{x}_i)(-1)=0=> \\ -2\sum _{i=1}^n(y_i-a-b{x}_i)=0=>\sum _{i=1}^n(y_i-a-b{x}_i)=0 \\ =>\sum _{i=1}^n{y}_i-\sum _{i=1}^{n}a-\sum _{i=1}^{n}b{x}_i=0 \\ =>\sum _{i=1}^{n}a+\sum _{i=1}^{n}b{x}_i=\sum _{i=1}^n{y}_i=>\sum _{i=1}^{n}a+\sum _{i=1}^n{x}_{i}b=\sum _{i=1}^n{y}_i \\ =>\sum _{i=1}^{n}a+b\sum _{i=1}^n{x}_i=\sum _{i=1}^n{y}_i \\ =>na+b\sum _{i=1}^n{x}_i=\sum _{i=1}^n{y}_i \\ 到了这一步，一定明确了，a和b才是自变量！！！！！ \\ (2)\sum _{i=1}^n{x}_i(y_i-(a+b{x}_i))=0=>\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-\sum _{i=1}^n{x}_{i}a-\sum _{i=1}^{n}b{x}_i^2=0 \\ =>\sum _{i=1}^n{x}_{i}a+\sum _{i=1}^{n}b{x}_i^2=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=>\sum _{i=1}^n{x}_{i}a+\sum _{i=1}^n{x}_i^{2}b=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i \\ =>a\sum _{i=1}^n{x}_i+b\sum _{i=1}^n{x}_i^2=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i \\ (3)方程组转换为以下 \\ \{\begin{array}{l}na+b{\sum }_{i=1}^n{x}_i={\sum }_{i=1}^n{y}_i\\ a{\sum }_{i=1}^n{x}_i+b{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2={\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i\end{array} \\ (4)系数行列式\left|\begin{array}{cc}n& {\sum }_{i=1}^n{x}_i\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_i& {\sum }_{i=1}^n{x}_i^2\end{array}\right| \\ 常数项\left|\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^n{y}_i\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i\end{array}\right| \\ (5)\Delta =\left|\begin{array}{cc}n& {\sum }_{i=1}^n{x}_i\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_i& {\sum }_{i=1}^n{x}_i^2\end{array}\right|=n\sum _{i=1}^n{x}_i^2-(\sum _{i=1}^n{x}_i{)}^2 \\ {\Delta }_a=\left|\begin{array}{cc}{\sum }_{i=1}^n{y}_i& {\sum }_{i=1}^n{x}_i\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i& {\sum }_{i=1}^n{x}_i^2\end{array}\right|=\sum _{i=1}^n{y}_i\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\sum _{i=1}^n{x}_i\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i \\ {\Delta }_b=\left|\begin{array}{cc}n& {\sum }_{i=1}^n{y}_i\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_i& {\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i\end{array}\right|=n\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-\sum _{i=1}^n{y}_i\sum _{i=1}^n{x}_i \\ （6）b=\frac{n{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-{\sum }_{i=1}^n{y}_i{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-({\sum }_{i=1}^n{x}_i{)}^2} \\ a=\frac{{\sum }_{i=1}^n{y}_i{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-{\sum }_{i=1}^n{x}_i{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i}{n{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-({\sum }_{i=1}^n{x}_i{)}^2} \\ 另外，na+b\sum _{i=1}^n{x}_i=\sum _{i=1}^n{y}_i=>a=\frac{\sum y_i-b\sum x_i}{n} \\ a和b求解完毕。 \end{gathered}$$
第6步的理论基础可见高等数学精解【1】中的二阶行列式，其实就是利用了克莱姆法则

但是还存在如下这样的简化计算公式，又是如何得到的？
$$\begin{gathered} b=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2} \\ a=\frac{\sum y_i-b\sum x_i}{n}=\bar{y}-b\bar{x} \end{gathered}$$
1.接着上面的基础继续推导
$$\begin{gathered} b=\frac{n{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-{\sum }_{i=1}^n{y}_i{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-({\sum }_{i=1}^n{x}_i{)}^2}=\frac{\frac{1}{n}(n{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-{\sum }_{i=1}^n{y}_i{\sum }_{i=1}^n{x}_i)}{\frac{1}{n}(n{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-({\sum }_{i=1}^n{x}_i{)}^2)} \\ =\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{y}_i{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-\frac{1}{n}({\sum }_{i=1}^n{x}_i{)}^2} \\ =\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-\bar{y}{\sum }_{i=1}^{n}x}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-\bar{x}{\sum }_{i=1}^n{x}_i} \\ =\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-n(\bar{x}{)}^2} \\ a=\frac{\sum y_i-b\sum x_i}{n}=\bar{y}-b\bar{x} \end{gathered}$$
按照上述公式julia计算系数

# 生成随机数据 
using Random 
using Statistics
Random.seed!(123)  
x = rand(30) *50 
y = 5*x .+ randn(30)
  
# 定义线性回归函数  
function linear_regression(x, y)  
    n = length(x)  
    x_mean = mean(x)  
    y_mean = mean(y)  
    b = (sum(x.*y) -n*x_mean*y_mean)/ (sum(x.^2) -n*(x_mean^2))
    a = y_mean - b * x_mean  
    return a, b  
end  
  
# 计算回归系数  
a, b = linear_regression(x, y)  
println("y=$a+$b*x")

y=0.06200648282067789+4.994947056080488*x

$$\begin{gathered} b=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i-n{\bar{x}}^2} \\ =\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-n(\bar{x}{)}^2} \\ a=\frac{\sum y_i-b\sum x_i}{n}=\bar{y}-b\bar{x} \end{gathered}$$

斜率的公式

在线性回归$y={\beta }_0+{\beta }_{1}x$中，斜率（${\beta }_1$）的公式是通过最小二乘法推导出来的，它表示了自变量$x$和因变量$y$之间的线性关系的强度和方向。斜率公式的标准形式为：

$${\beta }_1=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$

其中：

• $n$ 是数据点的数量。
• $x_i$ 和 $y_i$ 是第 $i$ 个数据点的自变量和因变量值。
• $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 分别是 $x$ 和 $y$ 的均值，即 $\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$ 和 $\bar{y}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{y}_i$。

这个公式可以通过对残差平方和 $S({\beta }_0,{\beta }_1)$ 求偏导数并令其为零来推导出来，但在实际应用中，我们通常直接使用这个公式来计算斜率。

斜率 ${\beta }_1$ 的解释是：当 $x$ 增加一个单位时，$y$ 平均增加 ${\beta }_1$ 个单位（在假设其他因素不变的情况下）。如果 ${\beta }_1>0$，则 $x$ 和 $y$ 之间存在正相关关系；如果 ${\beta }_1<0$，则存在负相关关系；如果 ${\beta }_1=0$，则 $x$ 和 $y$ 之间没有线性关系（尽管它们之间可能存在其他类型的关系）。

注意：虽然这个公式是线性回归中斜率的标准计算方法，但它假设了误差项满足某些统计假设（如独立同分布、正态分布等）。在实际应用中，如果这些假设不成立，可能需要采用其他方法或模型来进行分析。

克莱姆法则（Cramer’s Rule）

又译克拉默法则，是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它最早由瑞士数学家加布里埃尔·克莱姆（Gabriel Cramer）于1750年在其著作《线性代数分析导言》中提出并证明。该法则主要适用于变量和方程数目相等的线性方程组，即n元线性方程组，为这类方程组的求解提供了一种特殊的方法。

一、克莱姆法则的基本内容

下面内容来自于文心一言的自动生成内容。
克莱姆法则的基本思想是，如果线性方程组的系数矩阵的行列式不为零，那么方程组有唯一解，并且解可以通过计算行列式的比值来得到。具体来说，对于n元线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$

如果系数矩阵A的行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，且解为：

$$x_i=\frac{D_i}{D},i=1,2,\cdots ,n$$

其中，D是系数矩阵A的行列式，$D_i$是将系数矩阵A的第i列替换为常数项向量b后得到的新矩阵的行列式。

二、克莱姆法则的适用条件

• 方程组和未知数数量相等：克莱姆法则仅适用于变量和方程数目相等的线性方程组，即n元线性方程组。
• 系数矩阵行列式不为零：只有当系数矩阵的行列式不为零时，克莱姆法则才能给出方程组的唯一解。如果行列式为零，则方程组可能无解、有无数解或有唯一解但不能通过克莱姆法则求解。

三、克莱姆法则的优缺点

优点：

• 克莱姆法则给出了方程组解与系数的明确关系，具有理论上的重要性。
• 在某些特殊情况下，如系数矩阵较为简单时，克莱姆法则的求解过程可能相对直观。

缺点：

• 计算量较大：对于n元线性方程组，需要计算n+1个n阶行列式，计算量随n的增加而迅速增加。
• 数值稳定性差：克莱姆法则在数值计算上可能不稳定，特别是对于系数矩阵接近奇异或病态的情况。
• 实际应用受限：由于计算量大和数值稳定性差的问题，克莱姆法则在实际应用中通常不如其他数值方法（如高斯消元法、LU分解等）高效和稳定。

四、总结

克莱姆法则是线性代数中一个重要的定理，它为求解n元线性方程组提供了一种特殊的方法。然而，由于其计算量大和数值稳定性差的问题，克莱姆法则在实际应用中受到了一定的限制。在实际问题中，通常需要根据具体情况选择合适的数值方法来求解线性方程组。

导数与极值的问题

下面内容来自于文心一言的自动生成内容。

• 偏导数为0的点在多变量函数（如二元函数、三元函数等）
  这些点通常被称为驻点、临界点或平稳点，类似于单变量函数中的情况。

对于一个二元函数 $f(x,y)$，其偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 分别表示函数在 $x$ 方向和 $y$ 方向上的变化率。当这两个偏导数在某个点 $(x_0,y_0)$ 处都等于0时，即：

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0,\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0$$

我们称该点 $(x_0,y_0)$ 为函数 $f(x,y)$ 的一个驻点或临界点。

需要注意的是，与单变量函数类似，偏导数为0的点并不一定是极值点或最值点。它们可能是局部最大值点、局部最小值点、鞍点（即在一个方向上是局部最大值，在另一个方向上是局部最小值）或拐点（在二维空间中，拐点通常与二阶偏导数及其混合偏导数的符号变化有关）。

为了确定一个驻点是否是极值点（以及是局部最大值点还是局部最小值点），通常需要进一步分析该点处的二阶偏导数（即Hessian矩阵）或进行更高阶的测试（如泰勒展开）。然而，即使进行了这些分析，有时也可能无法确定一个驻点的确切性质，特别是当函数在该点附近的行为非常复杂时。

在三维或更高维度的函数中，偏导数为0的点同样称为驻点或临界点，并且需要类似的分析来确定它们的性质。不过，随着维度的增加，分析和计算的复杂性也会显著增加。

• 二次二元函数偏导数

对于二次二元函数 $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f$，其中 $a,b,c,d,e,f$ 是常数，并且 $a\ne 0$ 或 $c\ne 0$ 以确保它是真正的二次函数（否则它可能退化为一次函数或常数函数）。

首先，我们求该函数关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2ax+by+d$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=bx+2cy+e$$

然后，我们令这两个偏导数都等于0，以找到可能的驻点（或临界点）：

$$2ax+by+d=0$$

$$bx+2cy+e=0$$

这是一个包含两个方程的线性方程组，其解（如果存在的话）将是 $x$ 和 $y$ 的值，对应于函数 $f(x,y)$ 的驻点。

为了解这个方程组，我们可以使用消元法、代入法或矩阵方法。这里，我简要说明一下消元法：

1. 从第一个方程中解出 $x$（或 $y$，但这里我们选择解出 $x$）：

$$x=-\frac{by+d}{2a}$$

2. 将这个结果代入第二个方程中，消去 $x$：

$$b\left(-\frac{by+d}{2a}\right)+2cy+e=0$$

3. 解这个关于 $y$ 的一元一次方程，找到 $y$ 的值。

4. 将找到的 $y$ 值代回原方程（或解出的 $x$ 表达式）中，找到对应的 $x$ 值。

注意，方程组可能有唯一解、无穷多解（当且仅当方程组对应的矩阵行列式为0且方程组不矛盾时）或无解（当方程组矛盾时）。在二次二元函数的情况下，通常我们期望找到有限数量的驻点（可能是0个、1个、2个或更多，取决于具体的函数和系数）。

然而，对于二次二元函数来说，还有一个重要的性质是它可以表示为矩阵形式，并且其驻点（如果存在）可以通过求解该矩阵的特征值和特征向量来找到。但这种方法通常更高级，且在这里不展开详述。

最后，需要强调的是，即使找到了驻点，也需要进一步分析（如通过二阶偏导数构成的Hessian矩阵的行列式符号）来确定这些点是否是极值点（局部最大值、局部最小值）或鞍点。

julia实现

# 生成随机数据 
using Random 
using Statistics
Random.seed!(123)  
x = rand(30) *50 
y = 5*x .+ randn(30)
  
# 定义线性回归函数  
function linear_regression(x, y)  
    n = length(x)  
    x_mean = mean(x)  
    y_mean = mean(y)  
    b = sum((x .- x_mean) .* (y .- y_mean)) / sum((x .- x_mean) .^ 2)  
    a = y_mean - b * x_mean  
    return a, b  
end  
  
# 计算回归系数  
a, b = linear_regression(x, y)  
println("y=$a+$b*x")

y=0.06200648282066368+4.9949470560804885*x

最小二乘法原理

下面内容来自文心一言的自动生成
最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。以下是对最小二乘法的详细解释：

最小二乘法的原理

最小二乘法的主要思想是通过确定未知参数（通常是一个参数矩阵），来使得真实值和预测值的误差（也称残差）平方和最小。其计算公式为：

$$\begin{gathered} E=\sum _{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2 \\ 其中，y_i是真实值，{\hat{y}}_i是对应的预测值。 \\ 在线性回归中，我们通常使用均方误差（MeanSquaredError,MSE）作为损失函数， \\ 均方误差可以看作是最小二乘法中的E除以m（m为样本个数）。 \end{gathered}$$

线性回归中的最小二乘法

在线性回归问题中，我们通常使用最小二乘法来求解回归系数。对于一维特征的样本，拟合函数可以表示为：

$$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_{1}x$$

损失函数则为：
$$\begin{gathered} J({\theta }_0,{\theta }_1)=\sum _{i=1}^m(y^{(i)}-h_{\theta }(x^{(i)}){)}^2=\sum _{i=1}^m(y^{(i)}-{\theta }_0-{\theta }_1{x}^{(i)}{)}^2 \\ 要使损失函数最小，可以对损失函数求偏导，并令偏导等于0，解出{\theta }_0和{\theta }_1。 \end{gathered}$$
对于多维特征的样本，同样可以采用这种方式来求解。此时，拟合函数和损失函数的形式会更为复杂，但基本原理相同。

最小二乘法的优点与局限性

优点：

1. 原理简单，易于理解和实现。
2. 在线性回归问题中，最小二乘法能够得到唯一的最优解（在参数无约束的情况下）。
3. 适用于大规模数据处理，因为最小二乘法的计算过程相对简单。

局限性：

1. 对异常值较为敏感，因为最小二乘法是通过最小化所有误差的平方和来求解的，所以单个异常值可能会对结果产生较大影响。
2. 在非线性回归问题中，最小二乘法可能无法得到最佳解。此时，需要考虑其他非线性优化方法。

最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。以下是最小二乘法的具体算法，特别是针对线性回归问题的详细解释：

最小二乘法算法过程

一、线性回归模型

在线性回归中，我们假设模型为线性关系，即：

$$y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+ϵ$$

$其中，y是因变量，x是自变量，{\beta }_0是截距项，{\beta }_1是斜率项，ϵ是误差项。$

二、目标函数

$最小二乘法的目标是找到{\beta }_0和{\beta }_1的值，使得真实值y_i和预测值{\hat{y}}_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i之间的误差平方和最小。$即：

$$\text{minimize}S=\sum _{i=1}^n(y_i-({\beta }_0+{\beta }_1{x}_i){)}^2$$

三、求解算法

为了找到最小化 $S$ 的 ${\beta }_0和{\beta }_1$，我们可以使用以下方法：

1. 偏导数为零法

   对 $S$ 分别求 ${\beta }_0$ 和 ${\beta }_1$的偏导数，并令其为零：

   $$\frac{\partial S}{\partial {\beta }_0}=-2\sum _{i=1}^n(y_i-({\beta }_0+{\beta }_1{x}_i))=0$$

   $$\frac{\partial S}{\partial {\beta }_1}=-2\sum _{i=1}^n{x}_i(y_i-({\beta }_0+{\beta }_1{x}_i))=0$$

   解这两个方程，可以得到 ${\beta }_0$和${\beta }_1$ 的值。

2. 矩阵解法

   对于多元线性回归（即有多个自变量的情况），我们可以使用矩阵形式来表示和求解。设$Y$是因变量向量，$X$是设计矩阵（包括自变量和常数项），$\beta$是参数向量，$e$ 是误差向量。则模型可以表示为：

$$Y=X\beta +e$$

$通过最小化误差平方和(e^{T}e)，我们可以得到参数估计(\hat{\beta }=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}Y)$。

四、算法步骤

1. 收集数据：收集自变量 (x) 和因变量 (y) 的观测值。

2. 构建设计矩阵：对于线性回归，设计矩阵 (X) 包括自变量和常数项（用于表示截距项）。

3. 计算参数：使用上述方法（偏导数为零法或矩阵解法）计算回归参数 ${\beta }_0$和${\beta }_1$（或对于多元线性回归，计算$\hat{\beta }$）。

4. 评估模型：使用得到的回归方程进行预测，并评估模型的性能（如使用均方误差等指标）。

在回归分析中，最小二乘法是一种广泛使用的技术，用于估计模型参数，使得模型预测值与真实观测值之间的差的平方和最小。

四、计算公式

以下是一般线性模型（$y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+\cdots +{\beta }_n{x}_n+ϵ$）中使用最小二乘法的基本步骤和计算公式：

• 1. 目标函数

我们的目标是找到一组参数${\beta }_0,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$，使得目标函数（也称为残差平方和）最小化：

$$S(\beta )=\sum _{i=1}^m{\left(y_i-({\beta }_0+{\beta }_1{x}_{i1}+{\beta }_2{x}_{i2}+\cdots +{\beta }_n{x}_{in})\right)}^2$$

其中，$m$是观测值的数量，$y_i$是第$i$个观测的响应变量，$x_{ij}$是第$i$个观测的第$j$个预测变量（或自变量），${\beta }_j$是对应的系数（或参数）。

• 2. 正规方程

为了找到使$S(\beta )$最小的$\beta$值，我们可以对$S(\beta )$关于每个${\beta }_j$求偏导，并令其为0。这将产生一组线性方程（称为正规方程或法方程）：

$$\frac{\partial S(\beta )}{\partial {\beta }_j}=0$$

解这组方程，我们可以得到$\beta$的估计值。对于简单的线性模型（$y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+ϵ$），正规方程简化为：

$${\beta }_1=\frac{n\sum x_i{y}_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-(\sum x_i{)}^2}$$

$${\beta }_0=\frac{\sum y_i-{\beta }_1\sum x_i}{n}$$

其中，$n$是数据点的数量，$x_i$和$y_i$分别是第$i$个观测的自变量和因变量值。

• 3. 矩阵形式

对于更一般的线性模型，我们可以将问题转化为矩阵形式来求解。定义设计矩阵$X$（其中行对应观测，列对应预测变量，包括常数项1用于截距），响应向量$y$，和参数向量$\beta$，正规方程可以表示为：

$$X^{T}X\beta =X^{T}y$$

解这个方程，我们得到：

$$\beta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$$

这是最小二乘解的矩阵形式，它可以直接通过线性代数方法求解。

• 注意

1.当$X^{T}X$是可逆的（即，设计矩阵$X$的列是线性独立的），上述方程有唯一解。
2. 在实际应用中，可能会遇到$X^{T}X$不可逆的情况（如，预测变量之间存在多重共线性），此时需要使用正则化技术（如岭回归或LASSO）或其他方法来处理。
3. 最小二乘法假设误差项$ϵ$是独立同分布的，并且具有零均值和常数方差。这些假设对于最小二乘估计的性质至关重要。

五、注意事项

1. 异常值处理：最小二乘法对异常值较为敏感，因此在应用前需要进行异常值检测和处理。

2. 多重共线性：当自变量之间存在高度相关性时，可能会导致回归系数不稳定或难以解释。此时需要进行多重共线性检验和处理。

3. 非线性关系：如果数据之间存在非线性关系，则线性回归模型可能无法很好地拟合数据。此时需要考虑使用非线性回归模型或其他方法。

4. 模型假设检验：在应用最小二乘法进行线性回归时，需要检验模型的假设条件（如误差项的正态性、独立性等）是否满足。

回归理论概述

下面内容来自文心一言的自动生成
机器学习中的回归是一种预测数值型目标变量的监督学习算法。与分类问题不同

• 回归问题的目标是预测一个连续的值，而不是一个离散的类别标签。
• 回归模型通过学习输入变量（也称为特征或自变量）与输出变量（也称为目标变量或因变量）之间的关系来工作。

回归的基本概念

• 输入变量（X）：影响目标变量的因素，可以是单个或多个。
• 输出变量（Y）：需要预测的数值，也称为响应变量或目标变量。
• 训练集：包含输入变量和对应输出变量的数据集，用于训练回归模型。
• 测试集：用于评估训练好的回归模型性能的数据集，不包含在训练过程中。

回归模型的类型

1. 线性回归：

   • 最简单的回归形式，假设输入变量和目标变量之间存在线性关系。
   • 模型可以表示为：$Y={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+...+{\beta }_n{X}_n+ϵ$，其中 ${\beta }_i$ 是系数，$ϵ$ 是误差项。
   • 可通过最小二乘法等方法求解系数。

2. 多项式回归：

   • 当线性关系不足以描述数据时，可以使用多项式回归。
   • 通过在回归方程中引入输入变量的幂次项来建模非线性关系。

3. 岭回归（Ridge Regression）：

   • 一种用于处理多重共线性数据的技术，通过向损失函数中添加L2正则化项来减少模型复杂度。

4. 套索回归（Lasso Regression）：

   • 类似于岭回归，但使用L1正则化项，可以自动进行特征选择，将不重要特征的系数收缩到0。

5. 弹性网回归（Elastic Net Regression）：

   • 岭回归和套索回归的结合，同时包含L1和L2正则化项。

6. 决策树回归：

   • 使用决策树模型进行回归预测，通过递归地将数据集分割成更小的子集来拟合模型。

7. 随机森林回归：

   • 基于多棵决策树的集成学习方法，通过平均或多数投票的方式提高预测的准确性和稳定性。

8. 梯度提升回归树（GBRT, Gradient Boosting Regression Trees）：

   • 通过构建多个弱学习器（通常是决策树），并将它们组合成一个强学习器来进行预测。

回归模型的评估

• 均方误差（MSE, Mean Squared Error）：预测值与真实值之差的平方的平均值，常用于评估回归模型的性能。
• 均方根误差（RMSE, Root Mean Squared Error）：MSE的平方根，与数据单位相同，更易于解释。
• 平均绝对误差（MAE, Mean Absolute Error）：预测值与真实值之差的绝对值的平均值，对异常值不如MSE敏感。
• R²分数（R-squared）：表示模型预测值与实际观测值之间的拟合程度，最佳值为1，值越小表示模型性能越差。

回归模型的选择和评估取决于具体问题的性质、数据的特性以及模型的假设条件。在实际应用中，通常需要通过交叉验证等方法来选择最优的模型。

线性回归

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线性回归是机器学习中最基础也是应用最广泛的算法之一。它主要用于预测一个或多个自变量（特征）与因变量（目标）之间的线性关系。线性回归模型假设目标变量是输入特征的线性组合，并可能包括一个常数项（截距项）。

基本概念

• 自变量（X）：也称为特征或输入变量，是我们要用来预测因变量的值。在线性回归中，可以有一个或多个自变量。
• 因变量（Y）：也称为目标变量或输出变量，是我们想要预测的值。
• 线性关系：指的是自变量和因变量之间存在一种直线关系，即当自变量变化时，因变量也按照一定比例变化，但这种变化是线性的。

线性回归模型

线性回归模型的一般形式可以表示为：

$$Y={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+\cdots +{\beta }_n{X}_n+ϵ$$

其中：

• $Y$ 是因变量（目标变量）。
• $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是自变量（特征）。
• ${\beta }_0,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$ 是模型的参数，也称为系数。${\beta }_0$ 是截距项，表示当所有自变量都为零时，因变量的预期值。${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$ 表示各自变量对因变量的影响程度。
• $ϵ$ 是误差项，表示模型预测值与实际值之间的差异，通常假设它遵循正态分布，且均值为0。

参数估计

在线性回归中，我们需要通过数据来估计模型的参数 ${\beta }_0,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$。最常用的参数估计方法是最小二乘法（Least Squares Method）。最小二乘法通过最小化误差项的平方和来找到最佳的参数估计值，即求解以下优化问题：

$$\text{minimize}\sum _{i=1}^m(y_i-({\beta }_0+{\beta }_1{x}_{i1}+\cdots +{\beta }_n{x}_{in}){)}^2$$

其中 $m$ 是样本数量，$y_i$ 是第 $i$ 个样本的实际目标值，$x_{ij}$ 是第 $i$ 个样本的第 $j$ 个特征值。

julia实现线性回归

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在Julia中实现线性回归，可以通过多种方式完成，包括但不限于使用专门的库（如Flux.jl、GLM.jl等）或从头开始编写代码。以下是几种常见的方法：

1. 使用GLM.jl库

GLM.jl是Julia中用于广义线性模型（Generalized Linear Models）的一个包，它支持线性回归等多种模型。以下是使用GLM.jl进行线性回归的基本步骤：

1. 安装GLM.jl：首先，需要确保GLM.jl包已经安装在你的Julia环境中。如果未安装，可以通过Julia的包管理器进行安装。

2. 准备数据：准备输入特征（X）和目标变量（y）。这些数据可以是Julia中的向量或矩阵。

3. 定义模型：使用GLM.jl的lm函数或fit函数来定义线性回归模型。lm函数通常与@formula宏一起使用，以定义模型公式（如y ~ x）。

4. 拟合模型：调用lm或fit函数来拟合模型，并获取模型对象。

5. 分析模型：使用GLM.jl提供的函数（如coef、r2等）来分析模型结果，如获取回归系数、R方值等。

6. 使用GLM.jl库

GLM.jl是Julia中用于广义线性模型（Generalized Linear Models）的一个包，它支持线性回归等多种模型。以下是使用GLM.jl进行线性回归的基本步骤：

安装GLM.jl：首先，需要确保GLM.jl包已经安装在你的Julia环境中。如果未安装，可以通过Julia的包管理器进行安装。

准备数据：准备输入特征（X）和目标变量（y）。这些数据可以是Julia中的向量或矩阵。

定义模型：使用GLM.jl的lm函数或fit函数来定义线性回归模型。lm函数通常与@formula宏一起使用，以定义模型公式（如y ~ x）。

拟合模型：调用lm或fit函数来拟合模型，并获取模型对象。

分析模型：使用GLM.jl提供的函数（如coef、r2等）来分析模型结果，如获取回归系数、R方值等。

using GLM, DataFrames

# 构造样本数据
x = [0.5, 1.0, 1.5, 2.0]
y = [1.0, 2.0, 2.5, 3.5]
df = DataFrame(x=x, y=y)

# 进行线性回归拟合
model = lm(@formula(y ~ x), df)

# 打印模型信息
println("R-squared: $(r2(model))")
println("Estimation coefficients: ")
println(coef(model))

2. 使用Flux.jl库

Flux.jl是Julia中的一个深度学习框架，它支持构建和训练包括线性回归在内的各种神经网络模型。以下是使用Flux.jl实现线性回归的基本步骤：

1. 安装Flux.jl：确保Flux.jl包已安装在Julia环境中。

2. 导入所需包：使用using Flux等语句导入Flux.jl及其相关函数。

3. 准备数据集：准备输入特征和目标变量。

4. 定义模型：使用Flux.jl的Chain和Dense层来定义线性回归模型。

5. 定义损失函数和优化器：定义用于训练模型的损失函数（如均方误差MSE）和优化器（如梯度下降）。

6. 训练模型：使用Flux.jl提供的训练函数（如Flux.train!）来训练模型。

7. 进行预测：使用训练好的模型进行预测。

using Flux
using Flux: @epochs, mse

# 准备数据集
X = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0]' # 注意这里使用了转置，使其成为列向量
y = [2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0]'

# 定义模型
model = Chain(Dense(1, 1))

# 定义损失函数
loss(x, y) = mse(model(x), y)

# 定义优化器
optimizer = Descent(0.1)

# 训练模型
@epochs 1000 Flux.train!(loss, params(model), [(X, y)], optimizer)

# 进行预测
prediction = model(X)

3. 从头开始编写代码

如果不使用任何外部库，也可以从头开始编写代码来实现线性回归。这通常涉及使用最小二乘法来求解回归系数。

# 生成随机数据
Random.seed!(123)
x = rand(100)
y = 2*x .+ randn(100)

# 定义线性回归函数

function linear_regression(x, y)
    n = length(x)
    x_mean = mean(x)
    y_mean = mean(y)
    b = sum((x .- x_mean) .* (y .- y_mean)) / sum((x .- x_mean) .^ 2)
    a = y_mean - b * x_mean
    return a, b
end

# 计算回归系数
a, b = linear

参考文献

• 《机器学习精讲 基础、算法与应用》
• 文心一言