摘要

本文全面回顾了深度学习中激活函数的发展历程，从早期的Sigmoid和Tanh函数，到广泛应用的ReLU系列，再到近期提出的Swish、Mish和GeLU等新型激活函数。深入分析了各类激活函数的数学表达、特点优势、局限性以及在典型模型中的应用情况。通过系统的对比分析，本文探讨了激活函数的设计原则、性能评估标准以及未来可能的发展方向，为深度学习模型的优化和设计提供理论指导。

1. 引言

激活函数是神经网络中的关键组件，它在神经元的输出端引入非线性特性，使得神经网络能够学习和表示复杂的非线性映射。没有激活函数，无论多么深的神经网络本质上都只能表示线性变换，这大大限制了网络的表达能力。
随着深度学习的快速发展，激活函数的设计和选择已成为影响模型性能的重要因素。不同的激活函数具有不同的特性，如梯度流动性、计算复杂度、非线性程度等，这些特性直接影响着神经网络的训练效率、收敛速度和最终性能。
本文旨在全面回顾激活函数的演变历程，深入分析各类激活函数的特性，并探讨其在现代深度学习模型中的应用。我们将从以下几个方面展开讨论：

1. 经典激活函数：包括Sigmoid、Tanh等早期常用的激活函数。
2. ReLU及其变体：包括ReLU、Leaky ReLU、PReLU、ELU等。
3. 新型激活函数：如Swish、Mish、GeLU等近期提出的函数。
4. 特殊用途的激活函数：如Softmax、Maxout等。
5. 激活函数的比较与选择：讨论不同场景下激活函数的选择策略。
6. 未来展望：探讨激活函数研究的可能发展方向。

通过这一系统的回顾和分析，希望能为研究者和实践者提供一个全面的参考，帮助他们在深度学习模型设计中更好地选择和使用激活函数。

2. 经典激活函数

2.1 Sigmoid函数

Sigmoid函数是最早被广泛使用的激活函数之一，其数学表达式为：
$\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$

特点与优点：

1. 输出范围有界：Sigmoid函数的输出范围在(0, 1)之间，这使其特别适合于处理概率问题。
2. 平滑可导：函数在整个定义域内都是平滑且可导的，这有利于梯度下降算法的应用。
3. 解释性强：输出可以被解释为概率，特别适用于二分类问题的输出层。

缺点与限制：

1. 梯度消失问题：当输入值很大或很小时，梯度接近于零，这会导致深层网络中的梯度消失问题。
2. 输出非零中心：Sigmoid的输出均为正值，这可能会导致后一层神经元的输入总是正的，影响模型的收敛速度。
3. 计算复杂度：涉及指数运算，计算复杂度相对较高。

适用场景：

1. 早期的浅层神经网络。
2. 二分类问题的输出层。
3. 需要将输出限制在(0, 1)范围内的场景。

与其他函数的对比：

相比于后来出现的ReLU等函数，Sigmoid在深度网络中的应用受到了很大限制，主要是因为其梯度消失问题。然而，在某些特定任务（如二分类）中，Sigmoid仍然是一个有效的选择。

2.2 Tanh函数

Tanh（双曲正切）函数可视为Sigmoid函数的改进版本，其数学表达式为：
$\tanh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

特点与优点：

1. 零中心输出：Tanh函数的输出范围在(-1, 1)之间，解决了Sigmoid的非零中心问题。
2. 梯度更强：在输入接近零的区域，Tanh函数的梯度比Sigmoid函数更大，有助于加快学习速度。
3. 平滑可导：与Sigmoid类似，Tanh也是平滑且可导的。

缺点与限制：

1. 梯度消失问题：虽然比Sigmoid有所改善，但Tanh在输入值较大或较小时仍然存在梯度消失的问题。
2. 计算复杂度：与Sigmoid类似，Tanh也涉及指数运算，计算复杂度较高。

适用场景：

1. 在需要零中心化输出的场景中优于Sigmoid。
2. 在循环神经网络（RNN）和长短时记忆网络（LSTM）中经常使用。
3. 在一些归一化输出很重要的场景中使用。

改进与对比：

Tanh函数可以看作是Sigmoid函数的改进版本，主要改进在于输出的零中心化。这一特性使得Tanh在许多情况下比Sigmoid表现更好，特别是在深度网络中。然而，与后来出现的ReLU等函数相比，Tanh仍然存在梯度消失的问题，在非常深的网络中可能会影响模型的性能。
Sigmoid和Tanh这两个经典的激活函数在深度学习早期发挥了重要作用，它们的特性和局限性也推动了后续激活函数的发展。虽然在很多场景下已经被更新的激活函数所替代，但在特定的任务和网络结构中，它们仍然有其独特的应用价值。

3. ReLU及其变体

3.1 ReLU (Rectified Linear Unit)

ReLU函数的提出是激活函数发展的一个重要里程碑。其数学表达式简单：
$\text{ReLU}(x)=\max (0,x)$

特点与优点：

1. 计算简单：ReLU的计算复杂度远低于Sigmoid和Tanh，有利于加速网络训练。
2. 缓解梯度消失：对于正输入，ReLU的梯度恒为1，有效缓解了深层网络中的梯度消失问题。
3. 稀疏激活：ReLU可以使一部分神经元的输出为0，导致网络的稀疏表达，这在某些任务中是有益的。
4. 生物学解释：ReLU的单侧抑制特性与生物神经元的行为相似。

缺点与限制：

1. "死亡ReLU"问题：当输入为负时，梯度为零，可能导致神经元永久失活。
2. 非零中心输出：ReLU的输出均为非负值，这可能会影响下一层的学习过程。

适用场景：

1. 深度卷积神经网络（如ResNet, VGG）中广泛使用。
2. 适用于大多数前馈神经网络。

与其他函数的对比：

相比Sigmoid和Tanh，ReLU在深度网络中表现出显著优势，主要体现在训练速度和缓解梯度消失方面。然而，"死亡ReLU"问题促使研究者们提出了多种改进版本。

3.2 Leaky ReLU

为了解决ReLU的"死亡"问题，Leaky ReLU被提出：
$\text{Leaky ReLU}(x)=\{\begin{array}{ll}x,& \text{if }x>0\\ \alpha x,& \text{if }x\le 0\end{array}$
其中，$\alpha$ 是一个小的正常数，通常取0.01。

特点与优点：

1. 缓解"死亡ReLU"问题：在输入为负时仍然保留一个小的梯度，避免神经元完全失活。
2. 保留ReLU的优点：在正半轴保持线性，计算简单，有助于缓解梯度消失。

缺点与限制：

1. 引入超参数：$\alpha$值的选择需要调优，增加了模型复杂度。
2. 非零中心输出：与ReLU类似，输出仍然不是零中心的。

适用场景：

1. 在ReLU表现不佳的场景中作为替代选择。
2. 在需要保留一些负值信息的任务中使用。

3.3 PReLU (Parametric ReLU)

PReLU是Leaky ReLU的一个变体，其中负半轴的斜率是可学习的参数：
$\text{PReLU}(x)=\{\begin{array}{ll}x,& \text{if }x>0\\ \alpha x,& \text{if }x\le 0\end{array}$
这里的 $\alpha$ 是通过反向传播学习得到的参数。

特点与优点：

1. 自适应学习：可以根据数据自动学习最适合的负半轴斜率。
2. 性能潜力：在某些任务中，PReLU可以获得比ReLU和Leaky ReLU更好的性能。

缺点与限制：

1. 增加模型复杂度：引入额外的可学习参数，增加了模型的复杂度。
2. 可能过拟合：在某些情况下，可能导致过拟合，特别是在小数据集上。

适用场景：

1. 大规模数据集上的深度学习任务。
2. 需要自适应激活函数的场景。

3.4 ELU (Exponential Linear Unit)

ELU试图结合ReLU的优点和负值输入的处理，其数学表达式为：
$\text{ELU}(x)=$