cdf

累积分布函数 (CDF)

定义：

• 累积分布函数 $F(x)$ 给出随机变量 $X$ 小于或等于某个值 $x$ 的概率。
• 数学定义：$F(x)=P(X\le x)$

性质：

1. 非递减性：累积分布函数是单调非递减的。
2. 值域：CDF 的值域是 $[0,1]$。
3. 边界条件：
   • ${\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$
   • ${\lim }_{x\to \infty }F(x)=1$
4. 右连续性：CDF 是右连续的。

用途：

• 用于计算某个值以下的累积概率。
• 用于绘制分布的累积分布图。

ppf

百分位点函数 (PPF)

定义：

• 百分位点函数（也称逆累积分布函数或量函数） $F^{-1}(p)$给出累积分布函数值为 $p$ 时对应的随机变量 $X$ 的值。
• 数学定义： F − 1 ( p ) = inf ⁡ { x ∈ R : F ( x ) ≥ p } F^{-1}(p) = \inf \{ x \in \mathbb{R} : F(x) \ge p \} F−1(p)=inf{x∈R:F(x)≥p}

性质：

1. 单调性：PPF 是单调非减的。
2. 值域：PPF 的值域是随机变量的取值范围。
3. 边界条件：
   • F − 1 ( 0 ) = inf ⁡ { x ∈ R } F^{-1}(0) = \inf \{ x \in \mathbb{R} \} F−1(0)=inf{x∈R}
   • F − 1 ( 1 ) = sup ⁡ { x ∈ R } F^{-1}(1) = \sup \{ x \in \mathbb{R} \} F−1(1)=sup{x∈R}

用途：

• 用于根据给定的概率计算对应的随机变量值。
• 用于从给定分布中生成随机样本。

区别与联系

累积分布函数（CDF）和百分位点函数（PPF）是概率论和统计学中两个重要的函数，它们之间有着密切的关系，但用途和计算方式不同。

示例

我们可以通过一个具体的示例来展示 CDF 和 PPF 的关系。

以下是使用 scipy 库计算正态分布的 CDF 和 PPF 的示例代码：

import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置正态分布的参数
mu, sigma = 0, 1

# 生成数据点
x = np.linspace(-3, 3, 1000)
p = np.linspace(0, 1, 1000)

# 计算正态分布的 CDF
cdf = stats.norm.cdf(x, loc=mu, scale=sigma)

# 计算正态分布的 PPF
ppf = stats.norm.ppf(p, loc=mu, scale=sigma)

# 绘制 CDF 和 PPF 图像
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6))

# 绘制 CDF
ax1.plot(x, cdf, label='CDF')
ax1.set_title('Cumulative Distribution Function (CDF)')
ax1.set_xlabel('x')
ax1.set_ylabel('Probability')
ax1.grid()
ax1.legend()

# 绘制 PPF
ax2.plot(p, ppf, label='PPF', color='r')
ax2.set_title('Percent Point Function (PPF)')
ax2.set_xlabel('Probability')
ax2.set_ylabel('x')
ax2.grid()
ax2.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

关系和区别

1. 计算方向：

   • CDF 从值到概率：给定一个值 $x$，计算 $P(X\le x)$。
   • PPF 从概率到值：给定一个概率 $p$，计算满足 $P(X\le x)=p$ 的值 $x$。

2. 用途：

   • CDF 用于计算累积概率，用于统计推断和概率计算。
   • PPF 用于计算分位点，用于生成随机样本和概率反推。

3. 关系：

   • PPF 是 CDF 的逆函数：$F^{-1}(F(x))=x$ 和 $F(F^{-1}(p))=p$。

通过理解 CDF 和 PPF 的定义、性质和用途，可以更好地进行概率分布的分析和应用。