【堆（优先队列) 扫描线】218. 天际线问题

news2024/11/14 12:21:15

本文涉及知识点

堆（优先队列) 扫描线

LeetCode218. 天际线问题

城市的天际线是从远处观看该城市中所有建筑物形成的轮廓的外部轮廓。给你所有建筑物的位置和高度，请返回由这些建筑物形成的天际线。
每个建筑物的几何信息由数组 buildings 表示，其中三元组 buildings[i] = [lefti, righti, heighti] 表示：
lefti 是第 i 座建筑物左边缘的 x 坐标。
righti 是第 i 座建筑物右边缘的 x 坐标。
heighti 是第 i 座建筑物的高度。
你可以假设所有的建筑都是完美的长方形，在高度为 0 的绝对平坦的表面上。
天际线应该表示为由 “关键点” 组成的列表，格式 [[x1,y1],[x2,y2],…] ，并按 x 坐标进行排序。关键点是水平线段的左端点。列表中最后一个点是最右侧建筑物的终点，y 坐标始终为 0 ，仅用于标记天际线的终点。此外，任何两个相邻建筑物之间的地面都应被视为天际线轮廓的一部分。
注意：输出天际线中不得有连续的相同高度的水平线。例如 […[2 3], [4 5], [7 5], [11 5], [12 7]…] 是不正确的答案；三条高度为 5 的线应该在最终输出中合并为一个：[…[2 3], [4 5], [12 7], …]

示例 1：

输入：buildings = [[2,9,10],[3,7,15],[5,12,12],[15,20,10],[19,24,8]]
输出：[[2,10],[3,15],[7,12],[12,0],[15,10],[20,8],[24,0]]
解释：
图 A 显示输入的所有建筑物的位置和高度，
图 B 显示由这些建筑物形成的天际线。图 B 中的红点表示输出列表中的关键点。
示例 2：

输入：buildings = [[0,2,3],[2,5,3]]
输出：[[0,3],[5,0]]

提示：

1 <= buildings.length <= 10⁴
0 <= lefti < righti <= 2³¹ - 1
1 <= heighti <= 2³¹ - 1
buildings 按 lefti 非递减排序

懒删除堆+ 扫描线

通过观察示例，我们可以得出如下结论：
性质一：关键点的横坐标一定是建筑的左右边缘。令建筑的左右边缘的集合是xs。
性质二：xs中除以下元素外，全部是关键点：
$\forall$ x,i ,其中 x $\in$ xs。 x in $[lefti,righti] x对应的height 小于等于heighti。
性质三：根据性质二，一个x对应多个height，取最大值。xh记录x及对应高度。
性质四：根据性质三，性质二可以简化为 x in $(lefti,righti)
lh 记录左边界及高度。
rh记录有边界及高度。
xh、lh、rh都按x的升序排序。
有序mulset has代替懒删除堆记录：
lefti < x ,righti > x的高度。如果高度的最大值小于x对应的高度，则是关键点。

关键点的纵坐标y
$\begin{cases} 0 && 不存在lefti小于等于x,righti大于x的建筑\\ 这些建筑的最大高度 && other \\ \end{cases}$
如果两个相邻的关键点高度相同，删除前面的关键点。

代码

核心代码

  class Solution {
  public:
	  vector<vector<int>> getSkyline(vector<vector<int>>& buildings) {
		  vector<pair<int, int>> tmp,xh, lh, rh;
		  for (const auto& v : buildings) {
			  lh.emplace_back(make_pair(v[0], v[2]));
			  rh.emplace_back(make_pair(v[1], v[2]));
		  }
		  tmp = lh;
		  tmp.insert(tmp.end(), rh.begin(), rh.end());
		  sort(tmp.begin(), tmp.end());
		  sort(rh.begin(), rh.end());		 
		  for (const auto& [x, h] : tmp) {
			  if (xh.size() && (xh.back().first == x)) {
				  xh.back().second = h;
			  }
			  else {
				  xh.emplace_back(make_pair(x, h));
			  }
		  }
		  multiset<int> has;
		  int il = 0, ir = 0;
		  vector<vector<int>> ret;
		  for (const auto& [x, h] : xh) {			 
			  while ((il < lh.size() )&& (lh[il].first < x)) {
				  has.emplace(lh[il++].second);
			  }
			  while ((ir < rh.size()) && (rh[ir].first <= x)) {
				  has.erase(has.find(rh[ir].second));
				  ir++;
			  }
			  if (has.empty() || (*has.rbegin() < h)) {
				  ret.emplace_back(vector<int>{ x,-1 });
			  }
			  while ((il < lh.size()) && (lh[il].first <= x)) {
				  has.emplace(lh[il++].second);
			  }
			  ret.back()[1] = has.empty()?0: *has.rbegin();	 
		  }		
		  vector < vector<int>> ret2 = { ret[0] };
		  for (int i = 1; i < ret.size(); i++) {
			  if (ret2.back()[1] != ret[i][1]) {
				  ret2.emplace_back(ret[i]);
			  }
		  }
		  return ret2;
	  }
  };

单元测试

template<class T1, class T2>
void AssertEx(const T1& t1, const T2& t2)
{
	Assert::AreEqual(t1, t2);
}

template<class T>
void AssertEx(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	Assert::AreEqual(v1.size(), v2.size());
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert::AreEqual(v1[i], v2[i]);
	}
}

template<class T>
void AssertV2(vector<vector<T>> vv1, vector<vector<T>> vv2)
{
	sort(vv1.begin(), vv1.end());
	sort(vv2.begin(), vv2.end());
	Assert::AreEqual(vv1.size(), vv2.size());
	for (int i = 0; i < vv1.size(); i++)
	{
		AssertEx(vv1[i], vv2[i]);
	}
}

namespace UnitTest
{	
	vector<vector<int>> buildings;
	TEST_CLASS(UnitTest)
	{
	public:
		TEST_METHOD(TestMethod00)
		{
			buildings = { {2,9,10},{3,7,15},{5,12,12},{15,20,10},{19,24,8} };
			auto res = Solution().getSkyline(buildings);
			AssertV2(vector<vector<int>>{ {2, 10}, { 3,15 }, { 7,12 }, { 12,0 }, { 15,10 }, { 20,8 }, { 24,0 }}, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod01)
		{
			buildings = { {0,2,3},{2,5,3} }		;
			auto res = Solution().getSkyline(buildings);
			AssertV2(vector<vector<int>>{ {0, 3}, { 5,0 }}, res);
		}
		
	};
}

简化思路

所有x都是关键点，除非y和前一个x相同。
y = max(所有左边界 <= x，右边界大于x的建筑高度)，所有没有符合的建筑y为0。

class Solution {
public:
	vector<vector<int>> getSkyline(vector<vector<int>>& buildings) {
		vector<pair<int, int>> tmp, xh, lh, rh;
		for (const auto& v : buildings) {
			lh.emplace_back(make_pair(v[0], v[2]));
			rh.emplace_back(make_pair(v[1], v[2]));
		}
		tmp = lh;
		tmp.insert(tmp.end(), rh.begin(), rh.end());
		sort(tmp.begin(), tmp.end());
		sort(rh.begin(), rh.end());
		for (const auto& [x, h] : tmp) {
			if (xh.size() && (xh.back().first == x)) {
				xh.back().second = h;
			}
			else {
				xh.emplace_back(make_pair(x, h));
			}
		}
		multiset<int> has;
		int il = 0, ir = 0;
		vector<vector<int>> ret;
		for (const auto& [x, h] : xh) {
			while ((il < lh.size()) && (lh[il].first <= x)) {
				has.emplace(lh[il++].second);
			}
			while ((ir < rh.size()) && (rh[ir].first <= x)) {
				has.erase(has.find(rh[ir].second));
				ir++;
			}
			int y = has.empty() ? 0 : *has.rbegin();
			if (ret.empty() || (ret.back()[1] != y)) {
				ret.emplace_back(vector<int>{x, y});
			}
		}
		return ret;
	}
};

扩展阅读

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