一 性质
极大似然估计 有一个简单有用的性质：
如果 θ ^ \hat\theta θ^ 是 θ \theta θ的极大似然估计， 则对任一 θ \theta θ的函数 g ( θ ) g(\theta) g(θ), 其极大似然估计为 g ( θ ^ ) g(\hat\theta) g(θ^) .
该性质称为极大似然估计的不变性，它使得一些复杂结构的参数的极大似然估计的获得变得容易了。
二 一些重要结论
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对均匀分布的总体U(0, θ \theta θ)， θ \theta θ的极大似然估计为 θ ^ = m a x \hat \theta=max θ^=max{ x 1 , x 2 , . . . , x n x_1, x_2, ..., x_n x1,x2,...,xn}
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对指数分布的总体E( λ \lambda λ), λ \lambda λ的极大似然估计为 λ ^ \hat\lambda λ^ = 1 / x ‾ 1/ {\overline x } 1/x , 另外 λ \lambda λ的矩估计也为 1 / x ‾ 1/ {\overline x} 1/x,
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对正态总体N( μ , σ 2 \mu, \sigma^2 μ,σ2), 未知参数 θ = ( μ , σ 2 ) \theta=(\mu, \sigma^2) θ=(μ,σ2), μ \mu μ的极大似然估计为 μ ^ = x ‾ \hat\mu= \overline x μ^=x, σ \sigma σ的极大似然估计为 σ ^ 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 = s n 2 \hat\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2 = s_n^2 σ^2=n1i=1∑n(xi−x)2=sn2.
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对泊松分布P( λ \lambda λ), λ \lambda λ的最大似然估计为 λ ^ \hat \lambda λ^ = x ‾ \overline x x, 另外 λ \lambda λ的矩估计也为 x ‾ \overline x x.
形成表格，如下表所示：
三 看例题
例1 设 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1, x_2, ..., x_n x1,x2,...,xn是来看正态总体N ( μ , σ 2 \mu, \sigma^2 μ,σ2), 求标准差 σ \sigma σ 和 概率 P(X ⩾ 3 \geqslant3 ⩾3)的极大似然估计。
解 由上述表格可知 与 极大似然估计的不变性， σ \sigma σ 的极大似然估计为 σ ^ \hat \sigma σ^ = ( 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 ) 1 2 (\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2)^\frac{1}{2} (n1i=1∑n(xi−x)2)21 , 概率 P(X ⩾ 3 \geqslant3 ⩾3) 的极大似然估计为
