汉诺塔与青蛙跳台阶

news2024/10/6 3:12:06

1.汉诺塔

根据汉诺塔 - 维基百科介绍

1.1 背景

最早发明这个问题的人是法国数学家爱德华·卢卡斯。
传说越南河内某间寺院有三根银棒，上串 64 个金盘。寺院里的僧侣依照一个古老的预言，以上述规则移动这些盘子；预言说当这些盘子移动完毕，世界就会灭亡。这个传说叫做梵天寺之塔问题（Tower of Brahma puzzle）。但不知道是卢卡斯自创的这个传说，还是他受他人启发。
若传说属实，僧侣们需要（2的64次方-1）步才能完成这个任务；若他们每秒可完成一个盘子的移动，就需要 5849 亿年才能完成。整个宇宙现在也不过 137 亿年。
这个传说有若干变体：寺院换成修道院、僧侣换成修士等等。寺院的地点众说纷纭，其中一说是位于越南的河内，所以被命名为“河内塔”。另外亦有“金盘是创世时所造”、“僧侣们每天移动一盘”之类的背景设定。

1.2 规则与问题

有三根杆子A，B，C。A杆上有 N 个 (N>1) 穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至 C 杆：

1.每次只能移动一个圆盘；
2.大盘不能叠在小盘上面。

提示：可将圆盘临时置于 B 杆，也可将从 A 杆移出的圆盘重新移回 A 杆，但都必须遵循上述两条规则。
问：如何移？最少要移动多少次？

思路：为了将A柱中的n个圆盘移动到C柱上去，我们可肯定要先把n-1个圆盘移动到B柱上去，因为只有这样做，我们才能将A柱上最大的圆盘移动到C柱上，所以我们第一个目标就是把A柱上的n-1个圆盘通过C移动到B柱上去。完成这一步后，我们就要把B柱上的（圆盘数-1）移动到C柱上，为了达成目的，是不是就要借助A柱来完成。由此递归的逻辑就清晰了，最后我们就要确定递归的退出条件了，当n == 1时，不需要在减了，这一步的操作已经一目了然了，我们只需要把当前认为A柱上的圆盘数移动到C柱即可。

#include <stdio.h>
void Move(char A,char B,char C,int n)
{
	if(n == 1)
	{
		printf("%c->%c\n",A,C);
	}
	else
	{
		Move(A,C,B,n-1);//把A柱上的n-1个圆盘通过C柱移动到B盘
		printf("%c->%c\n",A,C);
		Move(B,A,C,n-1);//把B柱上的n-1个圆盘通过A柱移动到C盘
	}
}
int main()
{
	char A = 'A',B = 'B',C = 'C';//定义三个柱分别为A，B，C
	int n = 0;
	scanf("%d",&n);//要移动多少个圆盘
	Move(A,B,C,n);//
	return 0;
}
//当n==3时的打印结果
/*
A->C
A->B
C->B
A->C
B->A
B->C
A->C
*/

当n == 3时的效果如图
n==3时的汉诺塔

2.青蛙跳台阶

2.1题目

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

青蛙跳台阶

2.2递归方法

思路
现在你要跳上第n阶台阶，你会从哪阶台阶跳上去呢，因为青蛙可以跳1阶也可以跳两阶所以为了跳上第n阶，那么青蛙一定来自n-1阶或n-2阶台阶。同理为了跳上n-1阶台阶，青蛙又一定来自n-2或者n-3阶台阶…以此类推，我们就把问题转化成了一个个更小的子问题了。所以这道题目可以使用递归来解决，在写代码前，我们还要确定递归的终止条件，当青蛙为了跳上1阶台阶我们肯定能知道只有一种可能，要跳上2阶台阶有两种可能，一种是从0阶开始跳，一种是先跳到1阶再跳到2阶，这就是递归终止条件。

#include <stdio.h>
int Jump(int n)
{
	if(n == 1)
		return 1;
	if(n == 2)
		return 2;
	return Jump(n-1)+Jump(n-2);
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d",&n);
	int ret = Jump(n);
}

2.3 动态规划

不觉得这题和斐波那契数列很像吗？斐波那契数列的公式是f(n) = f(n-1)+f(n-2)（n>2）
这里的公式也是如此，不过不同的是数列的第一个值和第二个值不相同。

#include <stdio.h>

int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int a = 1, b = 2;
	int c = 2;
	for (int i = 2; i < n; ++i)
	{
		c = a + b;
		a = b;
		b = c;
	}
	printf("%d\n", c);
	return 0;
}