1 abstract & intro

时空数据挖掘问题大多数使用邻接矩阵来建模节点之间的属性关系，这种思路的一个基本假设是：节点信息取决于自身和邻居的历史信息。
- 但这类模型的假设存在着一些问题：
  - 未能充分建模节点之间的依赖关系
    - 两个节点之间没有连边，但是有依赖关系
    - 两个节点虽然是邻居节点，但是没有依赖关系
  - 未能有效学习到时间的依赖关系
    - RNN：迭代传播耗时（无法并行）、存在梯度爆炸/消失的问题
    - CNN：需要迭代很多层，才能得到较大的感受野
——>这篇论文提出graph Wavenet，使用自适应的邻接矩阵，在没有先验知识的情况下建模节点的空间依赖关系；同时使用扩散图卷积+空洞卷积，来解决第二个问题

2 问题定义

给定图G=(V,E)，其中节点集V，边集合E
- 邻接矩阵为 $\mathbf{A} \in \mathbf{R}^{N \times N}$
- 在某一时间步t，输入的节点信号矩阵是 $\mathbf{X}^{(\mathbf{t})} \in \mathbf{R}^{N \times D}$
这篇论文的目标和一般的时空数据预测类似，给定图G和过去S步的图信号数据，预测接下来T步的图信号 $\left[\mathbf{X}^{(t-S): t}, G\right] \stackrel{f}{\rightarrow} \mathbf{X}^{(t+1):(t+T)}$

无向图的扩散图卷积
- - $P=A/rowsum(A)$ ，表示某个点转移到其他点的概率
有向图的扩散图卷积
- - $\mathbf{P}_f=\mathbf{A} / \text { rowsum }(\mathbf{A})$ ，表示某个点转移到其他节点的概率（正向扩散）
  - $\mathbf{P}_b=\mathbf{A}^{\mathbf{T}} / \operatorname{rowsum}\left(\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\right)$ ，表示某个节点从其他节点转移过来的概率（反向扩散）
上面两个主要是DCRNN的思路【论文笔记：DCRNN （Diffusion Convolutional Recurrent Neural Network: Data-Driven Traffic Forecasting）_UQI-LIUWJ的博客-CSDN博客】，本篇论文的highlight是首次引入了自适应图结构的概念，公式如下：
- - E1和E2是随机初始化的两个节点的embedding（以METR-LA为例，METR-LA有207个节点，代码里 E1 、E2维度分别均是（207,10）)
    - 分别表示每个点作为源节点和目标节点之间的空间依赖权重
  - 使用Relu消除自适应邻接矩阵中的弱连接
  - 使用Softmax归一化自适应邻接矩阵
- ——>可以将归一化的自适应邻接矩阵视为隐藏扩散过程的转换矩阵‘

结合预定义的空间依赖关系和自适应的隐藏空间依赖关系，就有了如下的图卷积
- $\mathbf{Z}=\sum_{k=0}^K [\mathbf{P}_f^k \mathbf{X} \mathbf{W}_{k 1}+\mathbf{P}_b^k \mathbf{X} \mathbf{W}_{k 2}+\tilde{\mathbf{A}}_{a p t}^k \mathbf{X} \mathbf{W}_{k 3}]$
如果事先没有预定义的空间依赖关系，那么只使用自适应图卷积
- $\mathbf{Z}=\sum_{k=0}^K \tilde{\mathbf{A}}_{a p t}^k \mathbf{X} \mathbf{W}_k$

使用空洞因果卷积 (dilated causal convolution)来捕获时间趋势

$\mathrm{x} \star \mathbf{f}(t)=\sum_{s=0}^{K-1} \mathrm{f}(s) \mathbf{x}(t-d \times s)$

$\mathbf{h}=g\left(\boldsymbol{\Theta}_1 \star \mathcal{X}+\mathbf{b}\right) \odot \sigma\left(\boldsymbol{\Theta}_2 \star \mathcal{X}+\mathbf{c}\right)$

论文比较了9号节点和47号节点，通过左图可以发现，9号节点这一列有值的要多一些：9号节点和更多的其他节点有影响：通过右图可以发现，确实9号节点在交叉口，47号节点就“偏远”了很多

graph wavenet和真实值更贴切一些

Training的话，Graph WaveNet需要多训练两个embedding E1和E2，所以会稍微慢一些
但是在inference阶段，graph wave是使用空洞卷积来进行预测的，可以一次性预测很多个未来的时间片；而DCRNN和STGCN都是使用RNN的，需要一个一个时间片迭代，故Graph WaveNet会快一些

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