【Acwing—单源最短路：建图】

news2025/1/16 20:15:13

y总说，图论题的难点不在于打板子，而是建图的过程

个人觉得，建图的过程分成以下阶段：

1.确定结点的意义

2.确定边权的意义

结点一般都很显然，但是边权的意义我们一般把它设成对答案（或需要维护的东西）的贡献

具体看以下的例子：

1.热浪

1129. 热浪 - AcWing题库

题意：

思路：

跑一遍最短路就行，spfa，dij，floyd都行

Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mxn=1e4+10,mxe=1e4+10,mnf=0x3f3f3f3f;
struct ty{
    int to,next,w;
}edge[mxe<<1];
queue<int> q;
int n,m,s,t,u,v,w,tot=0;
int head[mxn],dis[mxn],vis[mxn];
void add(int u,int v,int w){
    edge[tot].w=w;
    edge[tot].to=v;
    edge[tot].next=head[u];
    head[u]=tot++;
}
void init(){
    tot=0;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        head[i]=-1;
        vis[i]=0;
        dis[i]=mnf;
    }
    while(!q.empty()) q.pop();
}
void spfa(){
    dis[s]=0;
    vis[s]=1;
    q.push(s);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=0;
        for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
            if(dis[edge[i].to]>dis[u]+edge[i].w){
                dis[edge[i].to]=dis[u]+edge[i].w;
                if(!vis[edge[i].to]){
                    vis[edge[i].to]=1;
                    q.push(edge[i].to);
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin>>n>>m>>s>>t;
    init();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>u>>v>>w;
        add(u,v,w);
        add(v,u,w);
    }
    spfa();
    if(dis[t]==mnf) cout<<-1<<'\n';
    else cout<<dis[t]<<'\n';
}

2.信使

1128. 信使 - AcWing题库

题意：

这个就是跑一遍最短路，预处理一下dis数组，然后去看dis最大值就行

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mxn=2e2+10,mxe=2e2+10,mnf=0x3f3f3f3f,inf=0xc0c0c0c0;
struct ty{
    int to,next,w;
}edge[mxe<<1];
queue<int> q;
int n,m,x,y,w,tot=0;
int head[mxn],dis[mxn],vis[mxn];
void add(int u,int v,int w){
    edge[tot].w=w;
    edge[tot].to=v;
    edge[tot].next=head[u];
    head[u]=tot++;
}
void init(){
    tot=0;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        vis[i]=0;
        head[i]=-1;
        dis[i]=mnf;
    }
    while(!q.empty()) q.pop();
}
void spfa(){
    dis[1]=0;
    vis[1]=1;
    q.push(1);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=0;
        for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
            if(dis[edge[i].to]>dis[u]+edge[i].w){
                dis[edge[i].to]=dis[u]+edge[i].w;
                if(!vis[edge[i].to]){
                    q.push(edge[i].to);
                    vis[edge[i].to]=1;
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    init();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>x>>y>>w;
        add(x,y,w);
        add(y,x,w);
    }
    spfa();
    int ans=inf;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(dis[i]==mnf){
            cout<<-1<<'\n';
            return 0;
        }
        ans=max(ans,dis[i]);
    }
    cout<<ans<<'\n';
}

 3.香甜的黄油

1127. 香甜的黄油 - AcWing题库

枚举就行，枚举奶油放在哪个点上，每个点都去跑一遍最短路，然后去看奶油放在哪个点上牛牛到奶油的距离之和最小

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mxn=2e3+10,mxe=2e3+10,mnf=0x3f3f3f3f;
struct ty{
    int to,next,w;
}edge[mxe<<1];
struct ty2{
    int x,dis;
    bool operator< (const ty2 &a) const{
        return a.dis<dis;
    }
};
unordered_map<int,int> mp;
priority_queue<ty2> q;
int N,n,m,x,y,w,tot=0;
int head[mxn],dis[mxn],vis[mxn];
void add(int u,int v,int w){
    edge[tot].w=w;
    edge[tot].to=v;
    edge[tot].next=head[u];
    head[u]=tot++;
}
void init(){
    tot=0;
    mp.clear();
    for(int i=0;i<=n;i++){
        head[i]=-1;
        dis[i]=mnf;
        vis[i]=0;
    }
    while(!q.empty()) q.pop();
}
void init2(){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        vis[i]=0;
        dis[i]=mnf;
    }
    while(!q.empty()) q.pop();
}
int dij(int s){
    init2();
    dis[s]=0;
    ty2 u;
    u.dis=dis[s],u.x=s;
    q.push(u);
    while(!q.empty()){
        ty2 u=q.top();
        q.pop();
        if(vis[u.x]) continue;
        vis[u.x]=1;
        for(int i=head[u.x];~i;i=edge[i].next){
            if(vis[edge[i].to]) continue;
            if(dis[edge[i].to]>dis[u.x]+edge[i].w){
                dis[edge[i].to]=dis[u.x]+edge[i].w;
                ty2 tmp;
                tmp.dis=dis[edge[i].to];
                tmp.x=edge[i].to;
                q.push(tmp);
            }
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(mp[i]){
            if(dis[i]==mnf) return mnf;
            res+=dis[i]*mp[i];
        }
    }
    return res;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin>>N>>n>>m;
    init();
    for(int i=1;i<=N;i++) cin>>x,mp[x]++;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>x>>y>>w;
        add(x,y,w);
        add(y,x,w);
    }
    int ans=mnf;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=min(ans,dij(i));
    }
    cout<<ans<<'\n';
}

 4.最小花费

1126. 最小花费 - AcWing题库

题意：

思路：

转化为A*w1*w2*....*wn=B，即求w1*w2*....*wn最小值，其中wi为扣除的百分比

那么我们可以建图：

结点表示人

边权表示扣除的百分比

建完图后，可以发现我们要求的就是边权最小积

那么我们怎么从最小和转换到最小积：取对数就好了

lg(w1*w2*....*wn)=lgw1+lgw2+....+lgwn

因为lg函数始终是单调递增的，因此要求w1*w2*....*wn的最小值，就求lg(w1*w2*....*wn)的最小值

即求lgw1+lgw2+....+lgwn的最小值

即求lgwi的最小值

因此我们可以按照wi的大小去跑一遍最短路，然后跑的时候dist的值维护边权积就可以了

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mxn=2e3+10,mxe=1e5+10,mnf=0x3f3f3f3f;
struct ty{
    int to,next;
    double w;
}edge[mxe<<1];
queue<int> q;
int n,m,x,y,w,tot=0,s,t;
int head[mxn],vis[mxn];
double dis[mxn];
void add(int u,int v,double w){
    edge[tot].w=w;
    edge[tot].to=v;
    edge[tot].next=head[u];
    head[u]=tot++;
}
void init(){
    tot=0;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        head[i]=-1;
        vis[i]=0;
    }
    while(!q.empty()) q.pop();
}
double spfa(int u,int v){
    dis[u]=1;
    q.push(u);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=0;
        for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
            if(dis[edge[i].to]<dis[u]*(1.0-edge[i].w)){
                dis[edge[i].to]=dis[u]*(1.0-edge[i].w);
                if(!vis[edge[i].to]){
                    vis[edge[i].to]=1;
                    q.push(edge[i].to);
                }
            }
        }
    }
    return dis[t];
}
int main(){
    //ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    init();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        add(x,y,1.0*w/100);
        add(y,x,1.0*w/100);
    }
    scanf("%d%d",&s,&t);
    printf("%.8f\n",100/spfa(s,t));
}

5.最优乘车

920. 最优乘车 - AcWing题库

题意：

 思路：

换乘次数=坐车次数-1

因此我们只需要维护坐车次数就行

首先先建图：

结点就是公交车站

边权意义就设成坐车次数

那么在同一线路上的车站之间的坐车次数都为1，因此同一线路上的车站之间都连一条边权为1的边

不同线路的车站之间的坐车次数就可以根据跑最短路来求了

时间复杂度为O(M*(N-1)*N/2)

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mxn=5e2+10,mxe=5e2+10,mnf=0x3f3f3f3f;
struct ty{
    int to,next,w;
}edge[mxe<<1];
queue<int> q;
string s;
int m,n,len=0,p,tot=0;
int a[mxn],head[mxn],dis[mxn],vis[mxn];
void add(int u,int v,int w){
    edge[tot].w=w;
    edge[tot].to=v;
    edge[tot].next=head[u];
    head[u]=tot++;
}
void init(){
    tot=0;len=0;
    s.clear();
    for(int i=0;i<=n;i++){
        head[i]=-1;
        dis[i]=mnf;
    }
    while(!q.empty()) q.pop();
}
void spfa(){
    dis[1]=0;
    vis[1]=1;
    q.push(1);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=0;
        for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
            if(dis[edge[i].to]>dis[u]+edge[i].w){
                dis[edge[i].to]=dis[u]+edge[i].w;
                if(!vis[edge[i].to]){
                    vis[edge[i].to]=1;
                    q.push(edge[i].to);
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin>>m>>n;
    init();
    getline(cin,s);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        len=0;
        getline(cin,s);
        stringstream ssin(s);
        while(ssin>>p) a[++len]=p; 
        for(int i=1;i<=len;i++){
            for(int j=i+1;j<=len;j++){
                add(a[i],a[j],1);
                add(a[j],a[i],1);
            }
        }
    }
    spfa();
    if(dis[n]==mnf) cout<<"NO"<<'\n';
    else cout<<dis[n]<<'\n';
}

总结：

建图的过程分成以下阶段：

1.确定结点的意义

2.确定边权的意义

结点一般都很显然，但是边权的意义我们一般把它设成对答案（或需要维护的东西）的贡献

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