第十四届蓝桥杯省赛C++A组F题【买瓜】题解（AC）

news2024/12/22 20:25:45

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70pts

题目要求我们在给定的瓜中选择一些瓜，可以选择将瓜劈成两半，使得最后的总重量恰好等于 m m m。我们的目标是求出至少需要劈多少个瓜。

首先，我们注意到每个瓜的重量最多为 1 0 9 10^9 109，而求和的重量 m m m 也最多为 1 0 9 10^9 109，每个瓜的重量最多只能被分为两份。同时，由于每个瓜可以选择劈或者不劈，所以我们可以使用深度优先搜索（DFS）来遍历所有可能的组合。

在深度优先搜索的过程中，我们需要记录当前考虑到的瓜的序号 u，当前已经选中瓜的总重量 s 以及已经劈开的瓜的数量 cnt。当满足以下条件之一时，当前搜索分支可以提前结束：

  • 当前已选瓜的总重量 s 大于目标重量 m；
  • 已经劈开的瓜的数量 cnt 大于等于目标重量 m，因为劈开的瓜越多，总重量越小，不可能达到 m。

当我们遍历到最后一个瓜时，检查当前选中瓜的总重量 s 是否等于目标重量 m，如果等于，则更新答案 res 为 cnt 和 res 中的较小值。

时间复杂度：

由于每个瓜都有三种选择，所以时间复杂度为 O ( 3 n ) O(3^n) O(3n)，其中 n n n 是瓜的个数。

95pts

由于 70pts 速度过慢，故需要优化，用了两个 DFS 函数（折半搜索），dfs_1 和 dfs_2，先对前一半的瓜进行搜索，将搜索结果存储在哈希表 h 中，然后对后一半的瓜进行搜索，同时在搜索过程中与哈希表 h 中的结果进行匹配，以找到满足条件的组合。

时间复杂度：

由于每个瓜都有三种选择，所以时间复杂度为 O ( 3 n 2 ) O(3^\frac{n}{2}) O(32n​)，其中 n n n 是瓜的个数。同时，由于在搜索过程中进行了剪枝，实际运行时间会小于 O ( 3 n 2 ) O(3^\frac{n}{2}) O(32n​)，又由于哈希表的常数过大，会导致程序缓慢，故无法通过所有数据。

100pts

本题要求从给定的瓜中选择一些瓜，可以对瓜进行劈开，使得最后选出的瓜的总重量恰好为 m m m，求最少需要劈开的瓜的个数。题目可以使用分治和二分查找的思路来解决。

首先，将所有的瓜按照重量进行排序。然后，将瓜分为两部分，前 n / 2 n/2 n/2 个瓜和后 n / 2 n/2 n/2 个瓜。对于每一部分，求出所有可能的瓜的重量组合以及对应的劈开的瓜的个数。接着，将前半部分的所有重量组合排序，方便后续使用二分查找。最后，遍历后半部分的所有重量组合，使用二分查找在前半部分寻找恰好使得总重量为 m m m 的组合，并记录最少需要劈开的瓜的个数。

具体实现如下：

  1. 读入瓜的个数 n 和目标重量 m，将目标重量 m 乘以 2 2 2，将题目转换成求瓜的重量恰好为 2 m 2m 2m 的组合。
  2. 读入每个瓜的重量，将瓜的重量也乘以 2 2 2。
  3. 对瓜的重量进行排序。
  4. 计算分界点 tn，将瓜分为前后两部分，前半部分为 [0, tn)，后半部分为 [tn, n)。
  5. 使用深度优先搜索遍历前半部分的所有组合，记录每种组合的总重量和需要劈开的瓜的个数，保存在数组 alls 中。
  6. 对 alls 数组进行排序，然后去重。
  7. 使用深度优先搜索遍历后半部分的所有组合，对于每种组合，使用二分查找在前半部分寻找恰好使得总重量为 2 m 2m 2m 的组合，并记录最少需要劈开的瓜的个数。
  8. 输出最少需要劈开的瓜的个数，如果不存在这样的组合，则输出 -1。

时间复杂度：

本题的时间复杂度主要取决于深度优先搜索和二分查找的复杂度。在最坏情况下，深度优先搜索需要遍历所有可能的组合，因此时间复杂度为 O ( 3 n 2 ) O(3^\frac{n}{2}) O(32n​)。二分查找的时间复杂度为 O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn)。所以总的时间复杂度为 O ( 3 n 2 log ⁡ 3 n 2 + 3 n 2 ) O(3^\frac{n}{2} \log 3^\frac{n}{2} + 3^\frac{n}{2}) O(32n​log32n​+32n​)。

手写哈希表

由于部分平台数据较强，可能无法通过 100 % 100\% 100% 的数据，文末补充手写哈希表的做法，实测可通过 100 % 100\% 100% 数据。

AC_Code

  • C++（70%）
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 35;

int n, m, tn;
int w[N];
int res = 50;

void dfs(int u, LL s, int cnt)
{
    if (s > m || cnt >= m)
        return;
    if (s == m)
    {
        res = cnt;
        return;
    }
    if (u == n)
        return;
    
    dfs(u + 1, s, cnt);
    dfs(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
    dfs(u + 1, s + w[u], cnt);
}

int main()
{
    cin >> n >> m, m *= 2;
    for (int i = 0; i < n; ++ i )
        cin >> w[i], w[i] *= 2;
    
    dfs(0, 0, 0);
    
    cout << (res == 50? -1: res) << endl;
    
    return 0;
}
  • Java（70%）
import java.util.Scanner;
import java.util.Arrays;

public class Main {
    private static final int N = 35;

    private static int n, m;
    private static int[] w = new int[N];
    private static int res = 50;

    public static void dfs(int u, long s, int cnt) {
        if (s > m || cnt >= m) {
            return;
        }
        if (s == m) {
            res = cnt;
            return;
        }
        if (u == n) {
            return;
        }

        dfs(u + 1, s, cnt);
        dfs(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
        dfs(u + 1, s + w[u], cnt);
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);

        n = in.nextInt();
        m = in.nextInt();
        m *= 2;

        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            w[i] = in.nextInt();
            w[i] *= 2;
        }

        dfs(0, 0, 0);

        System.out.println((res == 50 ? -1 : res));
    }
}
  • Python（65%）
from sys import stdin

N = 35

def dfs(u, s, cnt):
    if s > m or cnt >= m:
        return
    if s == m:
        global res
        res = cnt
        return
    if u == n:
        return

    dfs(u + 1, s, cnt)
    dfs(u + 1, s + w[u] // 2, cnt + 1)
    dfs(u + 1, s + w[u], cnt)

n, m = map(int, stdin.readline().split())
m *= 2
w = [int(x) * 2 for x in stdin.readline().split()]

res = 50

dfs(0, 0, 0)

print(-1 if res == 50 else res)
  • C++（95%）
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 35;

int n, m, tn;
int w[N];
int res = 50;
unordered_map<int, int> h;

void dfs_1(int u, LL s, int cnt)
{
    if (s > m)
        return;
    if (u == tn)
    {
        if (h.count(s))
            h[s] = min(h[s], cnt);
        else
            h[s] = cnt;
        return;
    }
    
    dfs_1(u + 1, s, cnt);
    dfs_1(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
    dfs_1(u + 1, s + w[u], cnt);
}

void dfs_2(int u, LL s, int cnt)
{
    if (s > m || cnt > res)
        return;
    if (u == n)
    {   
        if (h.count(m - s))
            res = min(res, h[m - s] + cnt);
        return;
    }
    
    dfs_2(u + 1, s, cnt);
    dfs_2(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
    dfs_2(u + 1, s + w[u], cnt);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    
    cin >> n >> m, m *= 2;
    for (int i = 0; i < n; ++ i )
        cin >> w[i], w[i] *= 2;
    
    sort(w, w + n);
    
    tn = max(0, n / 2 - 2);
    
    dfs_1(0, 0, 0);
    dfs_2(tn, 0, 0);
    
    cout << (res == 50? -1: res) << endl;
    
    return 0;
}
  • Java（95%）
import java.util.HashMap;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    private static final int N = 35;

    private static int n, m, tn;
    private static int[] w = new int[N];
    private static int res = 50;
    private static HashMap<Integer, Integer> h = new HashMap<>();

    public static void dfs_1(int u, long s, int cnt) {
        if (s > m) {
            return;
        }
        if (u == tn) {
            h.put((int)s, h.getOrDefault((int)s, cnt));
            return;
        }

        dfs_1(u + 1, s, cnt);
        dfs_1(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
        dfs_1(u + 1, s + w[u], cnt);
    }

    public static void dfs_2(int u, long s, int cnt) {
        if (s > m || cnt > res) {
            return;
        }
        if (u == n) {
            if (h.containsKey((int)(m - s))) {
                res = Math.min(res, h.get((int)(m - s)) + cnt);
            }
            return;
        }

        dfs_2(u + 1, s, cnt);
        dfs_2(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
        dfs_2(u + 1, s + w[u], cnt);
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);

        n = in.nextInt();
        m = in.nextInt();
        m *= 2;

        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            w[i] = in.nextInt();
            w[i] *= 2;
        }

        Arrays.sort(w, 0, n);

        tn = Math.max(0, n / 2 - 2);

        dfs_1(0, 0, 0);
        dfs_2(tn, 0, 0);

        System.out.println((res == 50 ? -1 : res));
    }
}
  • Python（80%）
from itertools import combinations

def dfs_1(u, s, cnt):
    if s > m:
        return
    if u == tn:
        if s in h:
            h[s] = min(h[s], cnt)
        else:
            h[s] = cnt
        return

    dfs_1(u + 1, s, cnt)
    dfs_1(u + 1, s + w[u] // 2, cnt + 1)
    dfs_1(u + 1, s + w[u], cnt)

def dfs_2(u, s, cnt):
    global res  # 声明 res 为全局变量
    if s > m or cnt > res:
        return
    if u == n:
        if m - s in h:
            res = min(res, h[m - s] + cnt)
        return

    dfs_2(u + 1, s, cnt)
    dfs_2(u + 1, s + w[u] // 2, cnt + 1)
    dfs_2(u + 1, s + w[u], cnt)

n, m = map(int, input().split())
m *= 2
w = list(map(int, input().split()))
w = [x * 2 for x in w]

w.sort()

tn = max(0, n // 2 - 2)

h = {}
res = 50

dfs_1(0, 0, 0)
dfs_2(tn, 0, 0)

print(-1 if res == 50 else res)
  • C++（100%）
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 35;

int n, m, tn, t;
int w[N];
int res = 50;
PII alls[1 << 21];

void dfs_1(int u, LL s, int cnt)
{
    if (s > m)
        return;
    if (u == tn)
    {
        alls[t ++] = {s, cnt};
        return;
    }
    
    dfs_1(u + 1, s, cnt);
    dfs_1(u + 1, s + w[u], cnt);
    dfs_1(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
}

void dfs_2(int u, LL s, int cnt)
{
    if (s > m || cnt >= res)
        return;
    if (u == n)
    {   
        int l = 0, r = t - 1;
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (alls[mid].x + s >= m)
                r = mid;
            else
                l = mid + 1;
        }
        
        if (alls[l].x + s == m)
            res = min(res, alls[l].y + cnt);
        
        return;
    }
    
    dfs_2(u + 1, s, cnt);
    dfs_2(u + 1, s + w[u], cnt);
    dfs_2(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    
    cin >> n >> m, m *= 2;
    for (int i = 0; i < n; ++ i )
        cin >> w[i], w[i] *= 2;
    
    sort(w, w + n);
    
    tn = max(0, n / 2 - 2);
    
    dfs_1(0, 0, 0);
    
    sort(alls, alls + t);
    int k = 1;
    for (int i = 1; i < t; ++ i )
        if (alls[i].x != alls[i - 1].x)
            alls[k ++] = alls[i];
    t = k;
    
    dfs_2(tn, 0, 0);
    
    cout << (res == 50? -1: res) << endl;
    
    return 0;
}
  • Java（100%）
import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    private static final int N = 35;

    private int n, m, tn, t;
    private int[] w = new int[N];
    private int res = 50;
    private Pair[] alls = new Pair[1 << 21];

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        Main main = new Main();
        main.solve();
    }

    private void solve() throws IOException {
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter out = new PrintWriter(new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out)));

        String[] input = in.readLine().split(" ");
        n = Integer.parseInt(input[0]);
        m = Integer.parseInt(input[1]) * 2;

        input = in.readLine().split(" ");
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            w[i] = Integer.parseInt(input[i]) * 2;
        }

        Arrays.sort(w, 0, n);

        tn = Math.max(0, n / 2 - 2);

        dfs_1(0, 0, 0);

        Arrays.sort(alls, 0, t, Comparator.comparingInt(Pair::getX));

        int k = 1;
        for (int i = 1; i < t; ++i) {
            if (alls[i].x != alls[i - 1].x) {
                alls[k++] = alls[i];
            }
        }
        t = k;

        dfs_2(tn, 0, 0);

        out.println(res == 50 ? -1 : res);
        out.flush();
    }

    private void dfs_1(int u, long s, int cnt) {
        if (s > m)
            return;
        if (u == tn) {
            alls[t++] = new Pair((int) s, cnt);
            return;
        }

        dfs_1(u + 1, s, cnt);
        dfs_1(u + 1, s + w[u], cnt);
        dfs_1(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
    }

    private void dfs_2(int u, long s, int cnt) {
        if (s > m || cnt >= res)
            return;
        if (u == n) {
            int l = 0, r = t - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r >> 1;
                if (alls[mid].x + s >= m)
                    r = mid;
                else
                    l = mid + 1;
            }

            if (alls[l].x + s == m)
                res = Math.min(res, alls[l].y + cnt);

            return;
        }

        dfs_2(u + 1, s, cnt);
        dfs_2(u + 1, s + w[u], cnt);
        dfs_2(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
    }

    static class Pair {
        int x, y;

        Pair(int x, int y) {
            this.x = x;
            this.y = y;
        }

        int getX() {
            return x;
        }
    }
}
  • Python（100%）
import sys
from typing import List, Tuple

N = 35

n, m, tn, t = 0, 0, 0, 0
w = [0] * N
res = 50
alls: List[Tuple[int, int]] = [(0, 0)] * (1 << 21)


def dfs_1(u: int, s: int, cnt: int):
    global t, alls
    if s > m:
        return
    if u == tn:
        alls[t] = (s, cnt)
        t += 1
        return

    dfs_1(u + 1, s, cnt)
    dfs_1(u + 1, s + w[u], cnt)
    dfs_1(u + 1, s + w[u] // 2, cnt + 1)


def dfs_2(u: int, s: int, cnt: int):
    global res, alls
    if s > m or cnt >= res:
        return
    if u == n:
        l, r = 0, t - 1
        while l < r:
            mid = (l + r) // 2
            if alls[mid][0] + s >= m:
                r = mid
            else:
                l = mid + 1

        if alls[l][0] + s == m:
            res = min(res, alls[l][1] + cnt)

        return

    dfs_2(u + 1, s, cnt)
    dfs_2(u + 1, s + w[u], cnt)
    dfs_2(u + 1, s + w[u] // 2, cnt + 1)


def main():
    global n, m, tn, t, w, alls, res

    n, m = map(int, sys.stdin.readline().strip().split())
    m *= 2
    w = list(map(int, sys.stdin.readline().strip().split()))
    w = [x * 2 for x in w]

    w.sort()

    tn = max(0, n // 2 - 2)

    dfs_1(0, 0, 0)

    alls = sorted(alls[:t], key=lambda x: x[0])

    k = 1
    for i in range(1, t):
        if alls[i][0] != alls[i - 1][0]:
            alls[k] = alls[i]
            k += 1
    t = k

    dfs_2(tn, 0, 0)

    print(-1 if res == 50 else res)


if __name__ == "__main__":
    main()
  • C++（手写哈希表 100%）
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 35, M = 1e7 + 7, null = 2e9 + 7;

int n, m, tn, t;
int w[N];
int res = N;
PII h[M];

int find(int s)
{
    int k = s % M;
    
    while (h[k].x != s && h[k].x != null)
    {
        k ++;
        if (k == M)
            k = 0;
    }
    
    return k;
}

void dfs_1(int u, LL s, int cnt)
{
    if (s > m)
        return;
    if (u == tn)
    {
        int k = find(s);
        h[k] = {s, min(h[k].y, cnt)};
        return;
    }
    
    dfs_1(u + 1, s, cnt);
    dfs_1(u + 1, s + w[u], cnt);
    dfs_1(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
}

void dfs_2(int u, LL s, int cnt)
{
    if (s > m || cnt >= res)
        return;
    if (u == n)
    {   
        int tar = m - s;
        int k = find(tar);
        if (h[k].x != null)
            res = min(res, cnt + h[k].y);
        return;
    }
    
    dfs_2(u + 1, s, cnt);
    dfs_2(u + 1, s + w[u], cnt);
    dfs_2(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    
    cin >> n >> m, m <<= 1;
    for (int i = 0; i < n; ++ i )
        cin >> w[i], w[i] <<= 1;
    
    for (int i = 1; i < M; ++ i )
        h[i] = {null, null};
    
    sort(w, w + n);
    
    tn = max(0, n / 2 - 1);
    
    dfs_1(0, 0, 0);
    
    dfs_2(tn, 0, 0);
    
    cout << (res == N? -1: res) << '\n';
    
    return 0;
}

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