【PL理论深化】(8) Ocaml 语言：元组和列表 | 访问元组中的元素 | 列表中的 head 和 tail

💬 写在前面：本章我们将探讨 OCaml 中的元组（tuple）和列表（list），它们是函数式编程语言中最常用的数据结构。
目录

0x00 元组（Tuple）

0x01 访问元组中的元素

0x02 列表（list）

0x03 列表的 head 和 tail

0x04 基本列表操作符

0x00 元组（Tuple）

元组 (tuple) 是值的 有序集合 (in-order set) ，例如：

元组 (1, "one") 包含了一个整数和一个字符串，其类型可以表示为 int * string。

元组 (2, "two", true) 包含了一个整数, 一个字符串和一个布尔值，其类型为 int * string * bool。

# let x = (1, "one");;
val x : int * string = (1, "one")
# let y = (2, "two", true);;
val y : int * string * bool = (2, "two", true)

0x01 访问元组中的元素

要访问元组的每个元素，可以使用模式匹配。

例如，可以定义如下函数 $fst$ 和 $snd$ ，用于获取由两个元素组成的元组的第一个和第二个元素。

# let fst p = match p with (x,_) -> x;;
val fst : ’a * ’b -> ’a = <fun>
# let snd p = match p with (_,x) -> x;;
val snd : ’a * ’b -> ’b = <fun>

或者可以直接在函数的参数中使用元组模式，如下所示：

# let fst (x,_) = x;;
val fst : ’a * ’b -> ’a = <fun>
# let snd (_,x) = x;;
val snd : ’a * ’b -> ’b = <fun>

类型 'a * 'b -> 'a 表示函数 fst 接受一个由任意类型 ${}'a$ 和 ${}'b$ 组成的元组作为输入，

并返回类型为 ${}'a$ 的值。通过函数的类型，我们可以推断出函数的大致作用。

不仅在函数参数中，还可以在 let 表达式中使用元组模式。例如，看下面的代码：

# let p = (1, true);;
val p : int * bool = (1, true)
# let (x,y) = p;;
val x : int = 1
val y : bool = true

$p$ 代表元组 $(1, true)$ ，并将其分解为 $x$ 和 $y$ 。

0x02 列表（list）

列表 (List) 是具有相同类型的元素序列。

例如，由数字 1, 2, 3 组成的列表表示为 $[1,2,3]$ ，其类型是 int list ：

# [1; 2; 3];;
- : int list = [1; 2; 3]

在 OCaml 中，列表中的每个元素用分号 ; 分隔。将每个元素用逗号 ,

分隔的列表 $[1, 2, 3]$ 被识别为包含元组 $(1,2,3)$ 作为其元素的列表 $[(1,2,3)]$ ，

因此需要注意这一点：

# [1,2,3];;
- : (int * int * int) list = [(1, 2, 3)]
# [(1,2,3)];;
- : (int * int * int) list = [(1, 2, 3)]

空列表在 OCaml 中用 $[\, ]$ 表示，其类型是 'a list，表示多态类型：

# [];;
- : ’a list = []

在 OCaml 中，列表的所有元素必须是相同的类型。

例如， $[1;true]$ 在 OCaml 中不是一个列表：

# [1; true];;
Error: This expression has type bool but an expression
was expected of type int

这种限制也源于静态类型系统。

例如，在具有动态类型系统 (如 Python) 的语言中，列表可以包含不同类型的值。

另外，列表是有序元素的序列。因此，下面这两个列表是不同的列表。

# [1;2;3] = [2;3;1];;
- : bool = false

0x03 列表的 head 和 tail

列表的第一个元素称为 head，除第一个元素外剩余的列表称为 tail，即头和尾。

举个例子，对于列表：

$[1; 2;3;4;5;6;7;8] \in \left \langle list \right \rangle$

头是 $1$ ，尾是 $2,3,4,5,6,7,8$ 。

一般来说，对于类型为 t 的列表，头的类型是 t，尾的类型是 t list 。

列表的元素可以是任意类型的值，当然，每个元素的类型必须相同。

# [1;2;3;4;5];;
- : int list = [1; 2; 3; 4; 5]
# ["OCaml"; "Java"; "C"];;
- : string list = ["OCaml"; "Java"; "C"]
# [(1,"one"); (2,"two"); (3,"three")];;
- : (int * string) list =
    [(1, "one"); (2, "two"); (3, "three")]
# [[1;2;3];[2;3;4];[4;5;6]];;
- : int list list = [[1; 2; 3]; [2; 3; 4]; [4; 5; 6]]

最后一个例子是整数列表的列表 (int list list) 。

在这种情况下，每个元素对应的列表可以有不同的长度。

# [[1;2;3]; [4]; []];;
- : int list list = [[1; 2; 3]; [4]; []]

列表 $[1; 2; 3]$ 和 $[4]$ ，尽管长度不同，都是整数列表；

空列表 $[\, ]$ 是多态类型，因此也可以是整数列表。

0x04 基本列表操作符

首先是 ::（读作 cons），它可以在列表的最前面添加一个元素，从而创建一个新的列表。

# 1::[2;3];;
- : int list = [1; 2; 3]
# 1::2::3::[];;
- : int list = [1; 2; 3]

将两个列表连接在一起时，使用 @ (读作 append)。

# [1; 2] @ [3; 4; 5];;
- : int list = [1; 2; 3; 4; 5]

在编写处理列表的函数时，模式匹配经常被使用。

例如，我们可以定义函数 $hd$ 和 $tl$ 来获取列表的头部和尾部。

# let hd l =
    match l with
    | [] -> raise (Failure "hd is undefined")
    | a::b -> a;;
val hd : ’a list -> ’a = <fun>
# let tl l =
    match l with
    | [] -> raise (Failure "tl is undefined")
    | a::b -> b;;
val tl : ’a list -> ’a list = <fun>
# hd [1;2;3];;
- : int = 1
# tl [1;2;3];;
- : int list = [2; 3]

列表的头部和尾部对于空列表是未定义的。

如果列表 $l$ 不是空列表，则可以将其分解为头部 $a$ 和尾部 $b$ ，

其中 $hd$ 返回 $a$ ， $tl$ 返回 $b$ （如果列表 $l$ 是单元素列表，则尾部 $tl$ 是空列表）。

请注意，在上述定义中，这两个函数的返回类型是不同的。

如果省略异常处理，也可以简单地定义如下：

# let hd (a::b) = a;;
Warning 8: this pattern-matching is not exhaustive.
Here is an example of a case that is not matched:
[]
val hd : ’a list -> ’a = <fun>
# let tl (a::b) = b;;
Warning 8: this pattern-matching is not exhaustive.
Here is an example of a case that is not matched:
[]
val tl : ’a list -> ’a list = <fun>

在这种情况下，OCaml 提醒我们函数 $hd$ 和 $tl$ 没有考虑空列表的情况。

虽然这些警告信息不是编译错误，但可能在运行时引发未处理的异常，

建议事先处理所有可能的情况。举个例子，我们可以尝试编写一个函数来计算列表的长度：

# let rec length l =
    match l with
    [] -> 0
    |h::t -> 1 + length t;;
val length : ’a list -> int = <fun>
# length [1;2;3];;
- : int = 3

给定的列表 $l$ 如果是空列表，则定义其长度为 0。

如果不为空，则可以将列表 $l$ 分为头部 $h$ 和尾部 $t$ ，

此时列表 l 的长度应该等于尾部 $t$ 的长度加 1。

根据上述定义，由于头部 $h$ 没有被使用，可以用下划线 (_) 来表示省略：

let rec length l =
  match l with
    [] -> 0
  |_::t -> 1 + length t

📌 [ 笔者 ]   王亦优
📃 [ 更新 ]   2024.6.28
❌ [ 勘误 ]   /* 暂无 */
📜 [ 声明 ]   由于作者水平有限，本文有错误和不准确之处在所难免，
              本人也很想知道这些错误，恳望读者批评指正！

📜 参考资料

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- T. Cormen《算法导论》（第三版），麻省理工学院出版社，2009年。

- T. Roughgarden, Algorithms Illuminated, Part 1~3, Soundlikeyourself Publishing, 2018.

- J. Kleinberg&E. Tardos, Algorithm Design, Addison Wesley, 2005.

- R. Sedgewick&K. Wayne，《算法》（第四版），Addison-Wesley，2011

- S. Dasgupta，《算法》，McGraw-Hill教育出版社，2006。

- S. Baase&A. Van Gelder, Computer Algorithms: 设计与分析简介》，Addison Wesley，2000。

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- M. Weiss, Data Structure and Algorithm Analysis in C (2nd ed.), Pearson, 1997.

- A. Levitin, Introduction to the Design and Analysis of Algorithms, Addison Wesley, 2003. - A. Aho, J. Hopcroft, and J. Ullman, Data Structures and Algorithms, Addison-Wesley, 1983.

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- R. Sedgewick, Algorithms in C: 第1-4部分（第三版），Addison-Wesley，1998

- R. Sedgewick，《C语言中的算法》。第5部分（第3版），Addison-Wesley，2002