Python 基础 (标准库)：堆 heap

1. 官方文档

heapq --- 堆队列算法 — Python 3.12.4 文档

2. 相关概念

堆 heap 是一种具体的数据结构（concrete data structures）；优先级队列 priority queue 是一种抽象的数据结构（abstract data structures），可以通过堆、二叉搜索树、链表等多种方式来实现 priority queue，其中，堆是最流行的实现优先级队列的具体数据结构。

2.1 优先级队列 Priority Queue

抽象数据结构是一种逻辑上的概念，描述了数据的组织方式和操作方式。优先级队列 Priority Queue 通常用于优化任务执行，其目标是处理具有最高优先级的任务。任务完成后，其优先级降低，并返回到队列中。

Priority Queue 支持三种操作:

is_empty：检查队列是否为空。
add_element：向队列中添加一个元素。
pop_element：弹出优先级最高的元素。

对于元素的优先级有两种约定（约定或惯例 convention，指约定俗称的用法或含义，特定上下文中使用的特定术语、符号、语法或行为的含义）：1. 最大的元素具有最高的优先级；2. 最小的元素具有最高的优先级。

这两种约定其实是等价的，如果元素由数字组成，那么使用负数即可完成转换。Python heapq 模块使用第二种，这也是两种约定中更常见的一种。在这个约定下，最小的元素具有最高的优先级。

优先级队列对于查找某个极端元素是非常有用的，如：找到点击率前三的博客文章、找到从一个点到另一个点的最快方法、根据到站频率预测哪辆公共汽车将首先到达车站等问题。

2.2 堆 heap

2.2.1 堆属性

堆是特殊的完全二叉树（complete binary tree），其中每个上级节点的值都小于等于它的任意子节点（堆属性），堆常用于实现优先级队列。

二叉树（binary tree）中，每个节点最多有两个子节点。完全二叉树是一种特殊的二叉树，其定义是: 若设二叉树的深度为 h，除第 h 层外，其它各层 1~h-1 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边。也就是说，完全二叉树的所有非叶子节点都必须被填满，叶子节点都必须连续排列在最左边。满二叉树是特殊的完全二叉树。完全二叉树的性质保证，树的深度是元素数的以2为底的对数向上取整。

在堆树中，一个节点的值总是小于它的两个子节点，这被称为堆属性（与二叉搜索树不同，二叉搜索树中，只有左侧节点的值小于其父节点的值）。在堆中，同一层的节点之间并没有大小关系的限制，唯一的限制是每个节点的值必须符合堆属性。

add 操作： 1. 创建新节点添加到堆的末尾。如果底层未满，将节点添加到最深层下一个开放槽中，否则，创建一个新的层级，将元素添加到新的层中。 2. 将新元素与其父节点比较，如果新元素比父节小，则交换它们的位置，直到新元素的值小于其父节点的值或者新元素成为了根节点。

pop 操作： 1. 根据堆属性，该元素位于树的根。将堆顶元素弹出，并将堆末尾元素移到堆顶。 2. 将堆顶元素与其左右子节点比较，将其与较大（或较小）的子节点交换位置，直到堆顶元素的值大于（或小于）其左右子节点的值或者堆顶元素成为了叶子节点。

2.2.2 性能保证 performance guarantees

具体数据结构实现抽象数据结构中定义的操作，并明确性能保证 performance guarantees，即数据规模和操作所需时间之间的关系，性能保证可用于预测程序行为，比如，当输入的大小发生变化时，程序将花费多少时间完成操作。

优先级队列的堆实现保证推入（添加）和弹出（删除）元素都是对数时间操作。这意味着执行push 和 pop 所需的时间与元素数量的以2为底的对数成正比。对数增长缓慢。以2为底15的对数约为4，以2为底1万亿的对数约为40。这意味着，如果一个算法在处理15个元素时足够快，那么它在处理1万亿个元素时只会慢10倍。

2.2.3 堆与二叉搜索树的区别

排序方式不同：堆是一种基于完全二叉树的数据结构，它的每个节点都满足堆的性质，即父节点的值大于（最大堆）（或小于，即最小堆）子节点的值。而二叉搜索树则是一种有序的二叉树结构，它的每个节点都满足左子树的节点值小于该节点的值，右子树的节点值大于该节点的值。

操作不同：堆常用于实现优先队列，可以快速找到最大或最小值。堆的插入和删除操作都比较快，但查找操作比较慢。而二叉搜索树可以快速查找、插入和删除节点，但是在某些特殊情况下，可能会出现树的不平衡，导致性能下降。

强调：Python 的 heapq 模块和堆数据结构一般都不支持查找除最小元素之外的任何元素，如果想检索指定大小的元素，可以使用二叉搜索树。

堆作为优先级队列的实现，是解决涉及极端问题的好工具，当在问题描述中存在如：最大、最小、前、底、最低，最优等字眼，表明需要寻找某些极端元素时，可以考虑一下堆。

3. Python heapq Module

前面将堆描述为树，不过它是一个完全二叉树，这意味着除了最后一层之外，每层有多少元素是确定的。因此，堆可以使一个列表实现。Python 中的 heapq 模块就是使用列表实现堆的，heapq 将列表的第一个元素视为堆的根节点。

堆队列中，索引为 k 的元素与其周围元素之间的关系:

它的第一个子结点是 2*k + 1。
它的第二个子结点是 2*k + 2。
它的父结点是 (k - 1) // 2。

堆队列中的元素总是有父元素，但有些元素可能没有子元素。如果 2*k 超出了列表的末尾，则该元素没有任何子元素。如果 2*k + 1是有效索引，但 2*k + 2不是，则该元素只有一个子元素。

h[k] <= h[2*k + 1] and h[k] <= h[2*k + 2] 可能引发IndexError，但永远不会为False。

3.1 heapq 模块

Python 的 heapq 模块使用列表实现堆操作，与许多其他模块不同，heapq 模块不定义自定义类，但定义了直接处理列表的函数。

3.1.1 堆函数

函数	功能
heapq.heapify(x)	将list x 转换成堆，原地，线性时间内。
===== heapq 模块中的其他基本操作假设列表已经是堆 =====
heapq.heappush(heap, item)	将 item 的值加入 heap 中，保持堆的不变性。
heapq.heappop(heap)	弹出并返回 heap 的最小的元素，保持堆的不变性。如果堆为空，抛出 IndexError 。使用 heap[0] ，可以只访问最小的元素而不弹出它。
heapq.heappushpop(heap, item)	将 item 放入堆中，然后弹出并返回 heap 的最小元素。 heappushpop() is equivalent to heappush() followed by heappop().
heapq.heapreplace(heap, item)	弹出并返回 heap 中最小的一项，同时推入新的 item。如果堆为空引发 IndexError。 heapreplace() is equivalent to heappop() followed by heappush(). 单步骤 heappushpop 和 heaprepalce 比分开执行 pop 和 push 更高效；它们是 pop 和 push 的组合，非常适合在固定大小的堆使用： heapreplace() 从堆中返回一个元素并将其替换为 item；heaprepalce 返回的值可能会比新加入的值大，如果不希望如此，可改用 heappushpop()，它返回两个值中较小的一个，将较大的留在堆中。

空列表或长度为1的列表总是一个堆。
创建堆时，可以从空堆开始，将元素一个接一个地插入到堆中。如果已经有一个元素列表，使用 heapq 模块 heapify() 函数把它原地转换成有效堆。
heapify() 就地修改列表，但不对其排序，堆不必为了满足堆属性而进行排序。但是，由于每个排序列表都满足堆属性，在排序列表上运行 heapify() 不会改变列表中元素的顺序。
由于树的根是第一个元素，第一个元素 a[0] 总是最小的元素。

import heapq
a = [3, 5, 1, 2, 6, 8, 7]
heapq.heapify(a)
a
# [1, 2, 3, 5, 6, 8, 7]

heapq.heappop(a)
# 1
a
# [2, 5, 3, 7, 6, 8]

heapq.heappush(a, 4)
heapq.heappop(a)
# 2
heapq.heappop(a)
# 3
heapq.heappop(a)
# 4

3.1.2 通用函数

函数

功能

heapq.merge(*iterables, key=None, reverse=False)

merge 函数用于 merging sorted sequences，它假设输入的可迭代对象已经排序，使用堆来合并多个可迭代对象（例如，合并来自多个日志文件的带时间戳的条目），返回一个迭代器，而不是一个列表。

类似于 sorted(itertools.chain(*iterables))，但需假定每个输入流都是已排序的（从小到大），且返回一个可迭代对象 iterator，不会一次性地将数据全部放入内存（节省内存）。

具有两个可选参数：

key 指定带有单个参数的 key function，用于从每个输入元素中提取比较键。默认值为 None (直接比较元素)。

reverse 为一个布尔值。如果设为 True，则输入元素将按比较结果逆序进行合并。要达成与 sorted(itertools.chain(*iterables), reverse=True) 类似的行为，所有可迭代对象必须是已从大到小排序的。

heapq.nlargest(n, iterable, key=None)

从 iterable 所定义的数据集中返回前 n 个最大元素组成的列表。

key 为一个单参数的函数，用于从 iterable 的每个元素中提取比较键 (例如 key=str.lower)。等价于：sorted(iterable, key=key, reverse=True)[:n]。

heapq.nsmallest(n, iterable, key=None)

从 iterable 所定义的数据集中返回前 n 个最小元素组成的列表。

key 为一个单参数的函数，用于从 iterable 的每个元素中提取比较键 (例如 key=str.lower)。等价于: sorted(iterable, key=key)[:n]。

在 n 值较小时可考虑使用 heapq.nlargest 和 heapq.nsmallest；

对于较大的值，使用 sorted() 函数更有效率；

当 n==1 时，使用内置的 min() 和 max() 函数更高效；

如果需要重复使用这些函数，可考虑将可迭代对象转为真正的堆。

3.1.3 应用示例

调度（合并）多组周期性任务

假设有一个系统，系统中存在几种电子邮件，不同类型的电子邮件有不同发送频率，比如 A 类邮件每15分钟发送一次，B 类每40分钟发送一次。可以使用堆设计一个调度程序：首先，将各种类型的电子邮件添加到队列中，每封电子邮件带一个时间戳，指示下一次发送的时间；然后，查看具有最小时间戳的元素，计算在发送之前需要睡眠的时间，当调度程序醒来时，处理此邮件；处理完成后，从优先级队列中取出电子邮件，计算该邮件的下一个时间戳，放回到队列中正确的位置。

import datetime
import heapq

def email(frequency, email_type):
    current = datetime.datetime.now()
    while True:
        current += frequency
        yield current, email_type

fast_email = email(datetime.timedelta(minutes=10), "fast email")
slow_email = email(datetime.timedelta(minutes=30), "slow email")

unified = heapq.merge(fast_email, slow_email)
for _ in range(10):
    print(next(unified))

# (datetime.datetime(2024, 6, 14, 16, 40, 8, 28884), 'fast email')
# (datetime.datetime(2024, 6, 14, 16, 50, 8, 28884), 'fast email')
# (datetime.datetime(2024, 6, 14, 17, 0, 8, 28884), 'fast email')
# (datetime.datetime(2024, 6, 14, 17, 0, 8, 28884), 'slow email')
# (datetime.datetime(2024, 6, 14, 17, 10, 8, 28884), 'fast email')
# (datetime.datetime(2024, 6, 14, 17, 20, 8, 28884), 'fast email')
# (datetime.datetime(2024, 6, 14, 17, 30, 8, 28884), 'fast email')
# (datetime.datetime(2024, 6, 14, 17, 30, 8, 28884), 'slow email')
# (datetime.datetime(2024, 6, 14, 17, 40, 8, 28884), 'fast email')
# (datetime.datetime(2024, 6, 14, 17, 50, 8, 28884), 'fast email')

上述代码中，heapq.merge() 的输入是无限生成器，返回值也是一个无限迭代器，这个迭代器将按照未来时间戳的顺序生成待发送的电子邮件序列。观察 print 打印的结果，fast email 每10分钟发送一次，slow email 每40分钟发送一次，两种邮件合理交错。merge 不读取所有输入，而是动态地工作，因此，尽管两个输入都是无限迭代器，前10项的打印依然能很快完成。

得分前 N 项（后 N 项）

已知2016年夏季奥运会女子100米决赛的成绩，要求打印前三名运动员姓名。

import heapq

results="""\
Christania Williams      11.80
Marie-Josee Ta Lou       10.86
Elaine Thompson          10.71
Tori Bowie               10.83
Shelly-Ann Fraser-Pryce  10.86
English Gardner          10.94
Michelle-Lee Ahye        10.92
Dafne Schippers          10.90
"""
top_3 = heapq.nsmallest(3, results.splitlines(), key=lambda x: float(x.split()[-1]))
print("\n".join(top_3))
# Elaine Thompson          10.71
# Tori Bowie               10.83
# Marie-Josee Ta Lou       10.86