🎯要点
🎯快速傅立叶变换算法周期域解椭圆曲线波 | 🎯算法数值解孤波脉冲和结果动画 | 🎯三种语言孤子解浅水表面波方程 | 🎯渐近分解算法孤子波 | 🎯自适应步长算法孤子波 | 🎯流体自动造波器电机控制,检测孤子波碰撞 | 🎯算法计算复现无碰撞孤子波 | 🎯能量守恒定律线性隐式算法解孤波 | 🎯两种语言有限差分算法解孤波
📜孤子波用例:Python火焰锋动力学和浅水表面波浪偏微分方程
📜有限差分用例:Python微磁学磁倾斜和西塔规则算法
📜标量场用例:Python光束三维二维标量场和算法
🍇Python钢棒热微分
热方程简洁地描述了热扩散和传递的极其复杂的世界,它是一个偏微分方程,而非常微分方程,所以在求解它时,只要知道它涉及一个具有多个变量的函数的导数,而不是只有一个变量的函数。
∂
u
∂
t
=
k
∂
2
u
∂
x
2
\frac{\partial u}{\partial t}=k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
∂t∂u=k∂x2∂2u
考虑一根初始冷的
(
0
∘
C
)
\left(0^{\circ} C \right)
(0∘C) 金属棒,长度为
L
L
L,具有传递热量
k
k
k 的能力。如果我们连续加热该金属棒的两端,例如
20
0
∘
C
200^{\circ} C
200∘C,那么随着时间的推移,热量将在金属棒上扩散并达到平衡。热方程告诉我们热量如何随时间传播,其解为我们提供了一个函数
u
(
t
,
x
)
u(t, x)
u(t,x),该函数可以在任何给定时间
t
t
t 给出沿着杆
x
x
x 的任何点的温度。
然而,与大多数微分方程一样,热方程的精确解析解极难获得,因此对于大多数应用而言,最佳解方法是我们尽可能最好的求近似值。获得这些近似值的方法有很多,但我们今天要重点讨论的是迄今为止最简单且应用最广泛的方法,即有限差分法。
假设一个未知函数 f ( x ) f(x) f(x) 的值是我们知道的,这种情况在现实世界中与收集外部数据的任何情况下经常出现。如果我们想求 f ( x ) f(x) f(x) 在 n n n 点的导数,那么,我们需要找到一条与 f ( n ) f(n) f(n) 相切的线,并找到它的斜率,如下所示:
如果我们不知道函数 f ( x ) f(x) f(x),则我们不可能求其导数并找到切线的斜率。而有限差分法旨在解决这个问题,它使用 n n n 的相邻值来近似估计实际切线。如果我们查看 n n n 之前的一个点和 n n n 之后的一个点,并且知道它们的值,我们可以通过在 n n n 和它的一个相邻点之间画一条线来开始估计切线。例如,我们可以尝试在 n n n 和 n + 1 n+1 n+1 之间画一条线。
n n n 和 n + 1 n+1 n+1 之间的估计切线与目标切线相对相似,但让我们看看是否可以通过使用 n n n 和 n − 1 n-1 n−1 来更接近。
现在我们知道如何获得估计的切线,我们现在可以使用前面提到的斜率公式来获得它的斜率,从而获得函数在该点的导数。
斜率方程:
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
x2−x1y2−y1
我们知道
y
y
y 值就是
f
(
n
+
1
)
f(n+1)
f(n+1) 和
f
(
n
)
f(n)
f(n),因此代入我们所知道的斜率公式就变成:
f
(
n
+
1
)
−
f
(
n
)
x
2
−
x
1
\frac{f(n+1)-f(n)}{x_2-x_1}
x2−x1f(n+1)−f(n)
x
x
x 值遵循类似的套路,因为对
x
2
x_2
x2 插入
n
+
1
n+1
n+1,对
x
1
x_1
x1 插入
n
n
n 会导致:
f
(
n
+
1
)
−
f
(
n
)
1
\frac{f(n+1)-f(n)}{1}
1f(n+1)−f(n)
实际上,我们的
n
n
n 值很少会精确地间隔为 1,更一般的形式将使它们间隔为任意值
d
x
dx
dx,从而导致我们的有限差分导数的最终公式为:
d
f
d
x
≈
f
(
x
+
d
x
)
−
f
(
x
)
d
x
\frac{d f}{d x} \approx \frac{f(x+d x)-f(x)}{d x}
dxdf≈dxf(x+dx)−f(x)
现在回到热方程,我们可以用方程的左边代替它的有限差分版本,考虑到有限微分是相对于
t
t
t 发生的事实,而空间变量
x
x
x 保持不变。
u
(
t
+
d
t
,
x
)
−
u
(
t
,
x
)
d
t
≈
k
∂
2
u
∂
x
2
\frac{u(t+d t, x)-u(t, x)}{d t} \approx k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
dtu(t+dt,x)−u(t,x)≈k∂x2∂2u
在本模拟中,我们将模拟一根长度为 2 米的初始冷金属棒,两端持续加热至 200˚C,假设该棒为钢,热常数
k
k
k 为 0.466。我们将运行 10 秒的模拟,看看会发生什么。
import numpy
from matplotlib import pyplot
常量:
length = 10
k = .466
temp_at_left_end = 200
temp_at_right_end = 200
total_time = 10
dx = .1
x_vec = numpy.linspace(0, length, int(length/dx))
dt = .0001
t_vec = numpy.linspace(0, total_time, int(total_time/dt))
u = numpy.zeros([len(t_vec), len(x_vec)])
由于我们的棒将在两端持续加热,因此我们希望棒的左侧和右侧始终分别为 temp_at_left_end 和 temp_at_right_end。从数学上讲,这可以表示为 u(t, 0) = 200 和 u(t, length) = 200(对于所有时间 t),代码如下:
u[:, 0] = temp_at_left_end
u[:, -1] = temp_at_right_end
您可以看到两端的温度很高,而其他地方的温度均为 0,因此,我们准备解决这个问题!我们要做的就是迭代沿棒的所有点和所有时间点,将它们代入我们之前推导的方程中。
for t in range(1, len(t_vec)-1):
for x in range(1, len(x_vec)-1):
u[t+1, x] = k * (dt / dx**2) * (u[t, x+1] - 2*u[t, x] +
u[t, x-1]) + u[t, x]
要可视化它,只需在循环内部调用 pyplot.plot() 即可获得动画绘图,或在循环外部调用 pyplot.plot() 获得静态绘图。