#01算法的复杂性

时间复杂度

public void print(int n){
    int a = 1; //执行1次
    for(int i=0;i<n;++i){//执行n次
        System.out.println(a+i);//执行n次
    }
}

该算法的时间复杂度是O(2n+1) 大O会忽略常数、低阶和系数，最终记作O(n); 如果算法的执行时间和数据规模n无关，则是常量阶，记作O(1);

一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)

指数和阶乘是非多项式量级，其余都是多项式量级。我们把时间复杂度是非多项式量级的算法问题称为NP(Non-Deterministic-Polynomial,非确定多项式)问题。

//n是数组nums的长度
public int find(int[]nums,int n,int target){
    for(int i=0;i<n;++i){
        if(nums[i]==target){
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

最好情况：上边最理想的情况就是第一个就是要找的，所以最好情况下时间复杂度是O(1)

最坏情况：最坏的情况，就是要找的数在最后一个，需要遍历n次，最坏情况下时间复杂度是O(n

平均时间复杂度：为了方便说明，我们假设数组中一定存在要找的数。而要找的数在0 - n-1这些位置出现的概率相同，都是 1/n ,所以考虑每种情况下总共要查找的次数，求出总数，然后再除以可能的情况数，就是平均要查找的次数：

去除常量和系数就是：O(n) ；

    public int[] twoSum(int[] nums, int target) {
        //初始化一个数组存放结果
        int[] re =new int[2];
        for(int i=0;i<nums.length-1;++i){
            int num1 = nums[i];
            for(int j=i+1;j<nums.length;++j){
                int nums2=nums[j];
                //如果找到，就返回结果，避免多余循环
                if((num1+nums2)==target){
                    re[0] = i;
                    re[1] = j;
                    return re;
                }
            }
        }
        return re;
    }

最好情况：最好情况就是我们要找的两个数，刚好就是第一个和第二个数。所以外循环循环一次，内循环循环一次就完成了查找。时间复杂度是：O ( 1 ) ；

最坏情况：最坏情况就是，找遍到最后一个元素，才找到。

外层循环是从0循环到n-2
内层循环和外层循环的值有关，从外层当前的值，循环到n-1

总的比较次数就是每个外层循环时，内层循环的次数之和。比如外层i=0时，内层从1循环到n-1循环了n-1次，外层i=1时，内层从2循环到n-1循环了n-2次 …直到最后一次，内层只需要循环1次...

去掉常量、系数和低阶，时间复杂度就是： O( $n^{2}$ ) ;

平均情况 :

分析：我们最终的目的是要找到两个数，满足我们的条件。代码的外层循环显然是找第一个数，内层循环在找第二个数。根据假设，这对数存在并且唯一。（其他情况，比如有重复，复杂度会介于最好和平均之间，因为更容易找到，所以这里我们只分析唯一的情况）我们假设第一个要找的数出现在下标 0 - n -2 的概率相等，都是 1/(n-2) , 所以外层循环的次数可能出现的情况如下：

当外层循环的次数是 1/(n-2) 时，内层需要循环n-1次，因为内层循环次数和外层的当前i有关。所以加权平均情况下的总的比较次数就是：

分子和分母的n-1 与n-2可以近似约掉，最后去掉系数和低阶所以最终结果就是： O( $n^{2}$ ) ;

int i = 1;
while(i<n)
{
    i = i * 2;
}

在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。我们试着求解一下，假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2^n
也就是说当循环 log2^n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(logn)

计算时间复杂度

例1

//计算Func1的时间复杂度
void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < 2 * N; i++)
	{
		for (int j = 0; j < 2 * N; j++)
		{
			count++;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; k++)
	{
		count++;
	}
}

所以Func1函数的时间复杂度为：T(N) = 4 * $N^{2}$ + 2 * N ；大O的渐进表示法，只保留最高阶项（即4 * $N^{2}$ ），去除最高项的系数后（即 $N^{2}$ ）。所以，用大O的渐进表示法表示Func1函数的时间复杂度为：O( $N^{2}$ ) 。

例2

//计算Func2的时间复杂度
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; k++)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

Func2函数的时间复杂度为T(N) = 100 ；根据大O的渐进表示法，所有的常数都用常数1来表示，所以，用大O的渐进表示法表示Func2函数的时间复杂度为：O(1) ；

例3

//计算二分查找函数的时间复杂度
int BinarySearch(int* a, int N, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = N - 1;
	while (begin < end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (x > a[mid])
			begin = mid + 1;
		else if (x < a[mid])
			end = mid - 1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

计算二分查找函数的时间复杂度，我们需要对代码进行分析：我们用二分查找法查找数据时，查找一次后可以筛去一半的数据，经过一次次的筛选，最后会使得待查数据只剩一个，那么我们查找的次数就是while循环执行的次数。
因为数据个数为N，一次查找筛去一半的数据，即还剩N/2个数据，经过一次次的筛选，数据最后剩下1个，那么查找的次数可以理解为N除以若干个2，最后得1，那么while循环执行的次数就是N除以2的次数，我们只需计算N除以了多少次2最终等于1即可。

我们假设N除以了x个2，最终等于1，那么

最后，两边同时取2的对数，得while循环执行的次数，即x = logN 。所以，用大O的渐进表示法表示二分查找函数的时间复杂度为：O(logN)

表示时间和空间复杂度时，log表示以2为底的对数。

例4

//计算斐波那契函数的时间复杂度
int Fibonacci1(int N)
{
	if (N == 0||N == 1)
		return 1;
	else
		return Fibonacci1(N - 1) + Fibonacci1(N - 2);
}

使用递归法求斐波那契数，当我们要求某一个斐波那契数时，需要知道他的前两个斐波那契数，然后相加得出。那么当我们要知道第N个斐波那契数时，递归的次数如下图：

因为右下角的递归函数会提前结束，所以图中三角形必定有一块是没有数据的，但是当N趋于无穷时，那缺省的一小块便可以忽略不计，这时总共调用斐波那契函数的次数为：

等比数列的求和，最后得出结果为： $2^{N}$ - 1 。
保留最高阶项后，用大O的渐进表示法表示斐波那契函数的时间复杂度为：O( $2^{N}$ ) 。

注：递归算法的时间复杂度 = 递归的次数 * 每次递归函数中的次数。

//注意：斐波那契数列自顶向下递归的时间复杂度是2的n次方/(1.618的n次方）；空间复杂度是O(n) ; 自底向上保留子问题的值求解时间复杂性是O(n),空间复杂度也是O(n);

空间复杂度

O(1)

一个算法的空间复杂度(Space Complexity)S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度。空间复杂度算的是变量的个数。

如果算法执行所需要的临时空间不随着某个变量n的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;
//代码中的 i、j、m 所分配的空间都不随着处理数据量变化，因此它的空间复杂度S(n) = O(1)

O(n)

int[] m = new int[n]
for(i=1; i<=n; ++i)
{
   j = i;
   j++;
}

第一行new了一个数组出来，这个数据占用的大小为n，这段代码的2-6行，虽然有循环，但没有再分配新的空间，因此，这段代码的空间复杂度主要看第一行即可，即 S(n) = O(n)

例1

//计算冒泡排序函数的空间复杂度
void BubbleSort(int* a, int N)
{
	assert(a);
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		int exchange = 0;
		for (int j = 0; j < N - 1 - i; j++)
		{
			if (a[j]>a[j + 1])
			{
				int tmp = a[j];
				a[j] = a[j + 1];
				a[j + 1] = tmp;
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

冒泡排序函数中使用了常数个额外空间（即常数个变量），所以用大O的渐进表示法表示冒泡排序函数的空间复杂度为O(1) 。

例2

//计算阶乘递归函数的空间复杂度
long long Factorial(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Factorial(N - 1)*N;
}

阶乘递归函数会依次调用Factorial(N),Factorial(N-1),…,Factorial(2),Factorial(1)，开辟了N个空间，所以空间复杂度为O(N) 。

注：递归算法的空间复杂度通常是递归的深度（即递归多少层）。

例3

斐波那契数列的空间复杂性为O(n)；