堆的实现详解

news2024/11/8 8:44:55

目录

  • 1. 堆的概念和特点
  • 2. 堆的实现
    • 2.1 堆向下调整算法
    • 2.2堆的创建
    • 2.3 建堆时间复杂度
    • 2.4 堆的插入
    • 2.5 堆的删除
    • 2.6 堆的代码实现
      • 2.6.1 结构体
      • 2.6.2 初始化
      • 2.6.3 销毁
      • 2.6.4 插入
      • 2.6.5 删除
      • 2.6.6 获取堆顶
      • 2.6.7 判空
      • 2.6.8 个数
      • 2.6.9 向上调整
      • 2.6.10 向下调整
      • 3. 堆的实现测试
        • 测试1
        • 测试2
        • 测试3
        • 测试4
        • 向上调整建堆测试5
        • 向下调整建堆测试6
    • 4. 堆的应用
      • 4.1 堆排序
      • 4.2 TOP-K问题
  • 5. test.c文件
  • 6. Heap.c
  • 7. Heap.h

1. 堆的概念和特点

  1. 定义：
    堆通常可以被看作是一棵完全二叉树的数组对象。这意味着堆的物理结构本质上是顺序存储的（线性的），但在逻辑上则表现为完全二叉树的逻辑存储结构。
    堆总是满足堆性质：堆中某个结点的值总是不大于（最大堆）或不小于（最小堆）其父结点的值。
  2. 分类：
    根据堆顶元素的大小，堆可以分为最大堆（大根堆）和最小堆（小根堆）。最大堆的根结点值是所有元素中的最大值，而最小堆的根结点值是所有元素中的最小值。
    常见的堆类型还包括二叉堆和斐波那契堆等。
  3. 结构：
    堆的物理结构是一维数组，数组的容量和元素个数是堆的重要属性。
    在堆中，一个结点的父节点可以通过该结点的索引值整除2得到

2. 堆的实现

2.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

在这里插入图片描述

2.2堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

在这里插入图片描述

2.3 建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的
就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：
在这里插入图片描述
因此：建堆的时间复杂度为O(N)。

2.4 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。
在这里插入图片描述

2.5 堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。
在这里插入图片描述

2.6 堆的代码实现

2.6.1 结构体

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

2.6.2 初始化

//初始化
void HeapInit(HP* php)
{
	assert(php);

	php->a = NULL;
	php->capacity = 0;
	php->size = 0;
}

2.6.3 销毁

//销毁
void HeapDestroy(HP* php)
{
	assert(php);

	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->capacity = 0;
	php->size = 0;
}

2.6.4 插入

//插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	//扩容
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("HeapPush");
			return;
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}

	//插入数据
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	//向上调整
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

2.6.5 删除

//删除堆顶的数据
void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));

	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

2.6.6 获取堆顶

//获取堆顶
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));

	return php->a[0];
}

2.6.7 判空

//判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

2.6.8 个数

//个数
int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size;
}

2.6.9 向上调整

//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);

			child = parent; 
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

2.6.10 向下调整

//向下调整
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	//假设最小
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		//选出左右孩子小的那个
		if (child+1 < n && a[child + 1] < a[child])
		{
			child++;
		}

		//不用管哪个最小
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);

			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

3. 堆的实现测试

测试1
//堆的实现测试
void HeapTest1()
{
	HP hp;
	HeapInit(&hp);
	int a[] = { 65,100,70,32,50,60 };
	int sz = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	for (int i = 0; i < sz; i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}

	HeapDestroy(&hp);
}

在这里插入图片描述

测试2
void HeapTest1()
{
	HP hp;
	HeapInit(&hp);
	int a[] = { 65,100,70,32,50,60 };
	int sz = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	for (int i = 0; i < sz; i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}

	HeapPop(&hp);
	
	HeapDestroy(&hp);
}

在这里插入图片描述

测试3
void HeapTest1()
{
	HP hp;
	HeapInit(&hp);
	int a[] = { 65,100,70,32,50,60 };
	int sz = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	for (int i = 0; i < sz; i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}

	//HeapPop(&hp);

	while (!HeapEmpty(&hp))
	{
		int top = HeapTop(&hp);
		printf("%d\n", top);
		HeapPop(&hp);
	}

	HeapDestroy(&hp);
}

在这里插入图片描述

测试4
//top-k问题
//方法1：弊端: 先有一个堆太麻烦，空间复杂度高还得拷贝数据。
void HeapSort(int* a, int n)
{
	HP hp;
	HeapInit(&hp);
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}

	int i = 0;
	while (!HeapEmpty(&hp))
	{
		int top = HeapTop(&hp);
		a[i++] = top;
		HeapPop(&hp);
	}

	HeapDestroy(&hp);
}

在这里插入图片描述

向上调整建堆测试5
void HeapSort2(int* a, int n)
{
	//升序-- 建小堆
	//降序-- 建大堆

	//向上调整建堆
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(a, i);
	}

	//向下调整建堆
	/*for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}*/

	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		//交换
		Swap(&a[0], &a[end]);

		//再调整，选出次小的
		AdjustDown(a, end, 0);

		end--;
	}
}

在这里插入图片描述

向下调整建堆测试6
//方法2
void HeapSort2(int* a, int n)
{
	//升序-- 建小堆
	//降序-- 建大堆

	//向上调整建堆
	/*for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(a, i);
	}*/

	//向下调整建堆
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}

	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		//交换
		Swap(&a[0], &a[end]);

		//再调整，选出次小的
		AdjustDown(a, end, 0);

		end--;
	}
}

在这里插入图片描述

4. 堆的应用

4.1 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

  1. 建堆
    升序：建大堆
    降序：建小堆
  2. 利用堆删除思想来进行排序
    建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
    在这里插入图片描述

4.2 TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能
数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

  1. 用数据集合中前K个元素来建堆
    前k个最大的元素，则建小堆
    前k个最小的元素，则建大堆
  2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

5. test.c文件

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"

//堆的实现测试
void HeapTest1()
{
	HP hp;
	HeapInit(&hp);
	int a[] = { 65,100,70,32,50,60 };
	int sz = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	for (int i = 0; i < sz; i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}

	//HeapPop(&hp);

	while (!HeapEmpty(&hp))
	{
		int top = HeapTop(&hp);
		printf("%d\n", top);
		HeapPop(&hp);
	}

	HeapDestroy(&hp);
}

//top-k问题
//方法1：弊端: 先有一个堆太麻烦，空间复杂度高还得拷贝数据。
void HeapSort(int* a, int n)
{
	HP hp;
	HeapInit(&hp);
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}

	int i = 0;
	while (!HeapEmpty(&hp))
	{
		int top = HeapTop(&hp);
		a[i++] = top;
		HeapPop(&hp);
	}

	HeapDestroy(&hp);
}

//方法2
void HeapSort2(int* a, int n)
{
	//升序-- 建小堆
	//降序-- 建大堆

	//向上调整建堆
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(a, i);
	}

	//向下调整建堆
	/*for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}*/

	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		//交换
		Swap(&a[0], &a[end]);

		//再调整，选出次小的
		AdjustDown(a, end, 0);

		end--;
	}
}

int main()
{
	//HeapTest1();

	int a[] = { 7,8,3,5,1,9,5,4 };
	HeapSort2(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));
	return  0;
}

6. Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"

//初始化
void HeapInit(HP* php)
{
	assert(php);

	php->a = NULL;
	php->capacity = 0;
	php->size = 0;
}

//销毁
void HeapDestroy(HP* php)
{
	assert(php);

	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->capacity = 0;
	php->size = 0;
}

//交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p2;
	*p2 = *p1;
	*p1 = tmp;
}

//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);

			child = parent; 
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	//扩容
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("HeapPush");
			return;
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}

	//插入数据
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	//向上调整
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

//向下调整
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	//假设最小
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		//选出左右孩子小的那个
		if (child+1 < n && a[child + 1] < a[child])
		{
			child++;
		}

		//不用管哪个最小
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);

			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//删除堆顶的数据
void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));

	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

//获取堆顶
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));

	return php->a[0];
}

//判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

//个数
int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size;
}

7. Heap.h

#pragma once

#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>
#include <stdio.h>

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

//初始化
void HeapInit(HP* php);
  
//销毁
void HeapDestroy(HP* php);

//插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);

//删除
void HeapPop(HP* php);

//获取堆顶
HPDataType HeapTop(HP* php);

//判空
bool HeapEmpty(HP* php);

//个数
int HeapSize(HP* php);

//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);

//向下调整
void AdjustDown(int* a, int n, int parent);

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