主要参考资料：
深入浅出的讲解傅里叶变换（真正的通俗易懂）: https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
推荐开源项目：KISS FFT： https://blog.csdn.net/gitblog_00031/article/details/138840117
数字硅麦数据的处理（傅里叶FFT）：https://blog.csdn.net/shayk/article/details/130305761

概念

傅里叶变换

傅里叶变换是一种数学变换，用于将信号从时间域（或空间域）转换到频率域。这种变换揭示了信号的频率成分，是信号处理和系统分析中非常重要的工具。以下是傅里叶变换的一些基本概念：

汉明窗

汉明窗（Hamming Window）是一种常用的窗函数，主要用于信号处理领域，特别是在傅里叶分析中。它是由理查德·汉明（Richard Hamming）提出的，因此得名汉明窗。

汉明窗的目的是减少信号在进行离散傅里叶变换（DFT）时的频谱泄露现象。频谱泄露是由于信号在时间上被截断而产生的，它会导致频谱分析中的误差。使用窗函数可以对信号的边缘进行平滑处理，从而减少这种误差。

C++代码实现

//得到频谱
void AudioProcessor::get_spectrogram(int16_t *audio, float *output) {
  // 初始化一个浮点数mean，用于存储音频样本的平均值。
  float mean = 0;
  for (int i = 0; i < audio_length; i++) {
    mean += audio[i];
  }
  mean /= audio_length;

  // 初始化一个浮点数max，用于存储样本与平均值之差的绝对最大值。
  float max = 0;
  for (int i = 0; i < audio_length; i++) {
    max = std::max(max, fabsf((float)audio[i] - mean));
  }

  // 通过步长step_size在音频长度范围内移动，每次提取window_size大小的窗口。
  // 将当前窗口的样本复制到快速傅里叶变换（FFT）的输入缓冲区fft_input中，并减去平均值mean，然后除以最大值max进行归一化。
  // 对于FFT输入缓冲区中窗口之外的部分，填充0。
  for (int i = 0; i < audio_length - window_size; i += step_size) {
    // Copy the samples into the FFT input buffer.
    for (int j = 0; j < window_size; j++) {
      fft_input[j] = ((float)audio[i + j] - mean) / max;
    }

    for (int j = window_size; j < fft_size; j++) {
      fft_input[j] = 0;
    }

    // 对每个窗口调用spectrogram_segment函数，并将计算得到的频谱图数据存储到输出数组output中。输出数组的索引由当前窗口的
    // 位置和池化能量大小pooled_energy_size决定。
    spectrogram_segment(output + i / step_size * pooled_energy_size);
  }
}