前言：本篇博客只做博主复习使用，不做其它，若有问题，也欢迎大家留言反馈。所有例题均为ZZULI往年期末题，正当途径获得。最后一章排序章节较简单，博主没有单独列出。

参考&鸣谢
AVL树的插入操作（旋转）图解 MaxBruce
解决Hash（哈希表）冲突的四种方案 FrozenPenguin
图——关键路径 傅华涛Fu
拓扑排序详解 Dream of maid
生成树（基础) 莫忘、莫念
图的连通性问题 _Tham
数据结构】树、二叉树和森林的相互转换 Jacky_Feng
【专题】树和森林的遍历 ᝰꫛꪮꪮꫜ hm

💘 数据结构的基本概念

😈 数据结构的基本概念

数据结构是计算机存储、组织数据的方式。数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。数据结构往往同高效的检索算法和索引技术有关。—选自百度百科

😈 逻辑结构和存储结构的区别和联系

😈 算法及其特性

😈 简答题

2)

3)

💘 线性表（链表、单链表）

顺序存储结构及其基本操作：请看博主这篇博客。

链式存储结构及其基本操作：请看博主这篇博客

😈 大题1

❄️ 题目解析

❄️ 算法思想和时间复杂度

• 题目说了，需要我们释放结点的空间。

首先创建两个结点指针变量pre，cur，让pre初始化为Head，cur初始化为Head->next，开始遍历带头单链表,分为两种情况：

1. 如果pre指针的数据域和cur指针的数据域相等，那我们就删除掉cur指针指向的结点（释放结点空间后，完成链接即可），删除cur之前，保存cur->next给变量next_,删除完之后更新cur为next_，pre不用更新，因为当前的值还可能和pre的数据域相等。
2. 如果pre指针的数据域和cur指针的数据域不相等，更新这两个指针，pre更新为cur，cur更新为cur->next。

最后cur结点指针指向NULL，循环结束。

时间复杂度是$O(logN)$。

❄️ 代码实现

void remove(LinkList Head)
{
	LinkList pre = Head;//前一个结点指针
	LinkList cur = Head->next;//后一个结点指针
	while (cur != NULL)
	{
		if (pre->data != cur->data)//如果pre和cur的data不相等
		{
			pre = cur;
			cur = cur->next;
		}
		else//如果pre和cur的data相等
		{
			//先删除掉cur结点
			LinkList node = cur->next;//保存cur->next指针结点
			free(cur);//释放结点空间
			pre->next = node;//链接
			cur = node;//更新cur指针
		}
	}
}

❄️ 某搜题软件上的答案

😈 大题2

❄️ 答案解析

在写代码前，我们还是画图来分析以下，删除链表结点是如何删除的：

代码示例(C语言实现)：

LinkList deleteodd(LinkList L)
{
	LinkList pre = L;//pre是当前遍历位置的前一个结点指针
	LinkList cur = L->next;//cur变量是当前遍历位置的结点指针

	while (cur != NULL)//cur为空就停止循环
	{
		if (cur->data % 2 == 0)//如果当前结点指针指向的结点的数据域是偶数,正常更新
		{
			pre = cur;
			cur = cur->next;
		}

		else//否则，就删除当前结点
		{
			//先保存当前结点的下一个结点指针，防止将当前结点释放后无法找到下一个结点的指针
			LinkList next_ = cur->next;
			free(cur);
			
			pre->next = next_;//更新pre的next
			cur = next_;//更新cur
		}
	}

	return L;//返回头节点
}

💘 栈和队列

栈和队列的基本特征：栈里面的数据后进先出。队列里的数据先进先出。

它们的逻辑结构都是线性结构。可以用线性表或者单链表来实现。详细请看博主这篇博客

栈和队列作为线性结构中比较典型的两个结构（应用多），是很可能出一道大题的，下面我们来看一道大题（ZZULI往年期末题）：

😈 大题1

❄️ 题目分析

上图忘记说明一点了，终态不为空也不叫满足要求，需要返回false。

❄️ 答案解析

2. 代码实现：

bool is_valid(char* s)
{
	int cnt_i = 0;//统计入栈的次数
	int cnt_o = 0;//统计出栈的次数

	int i = 0;
	while (s[i] != '\0')
	{
		if (s[i] == 'O')
			cnt_o++;
		else
			cnt_i++;
		if (cnt_i < cnt_o)
		{
		  std::cout << "序列非法“ << std::endl;//用printf打印也可以
		  return false; 
        }
        i++;
	}

	if (cnt_i > cnt_o)
	{
      std::cout << "序列非法“ << std::endl;//用printf打印也可以
      return false;
    }
		
    std::cout << "序列合法" << std::endl;
	return true;
}

上述代码应该是C++语言实现，因为C语言中没有bool这个类型。打印处使用printf也可以，因为c++语言兼容C语言。

❄️ 标准答案（取自某搜题软件）

😈 简答题1

题目让我们描述栈和队列的逻辑结构和特性，并分别举出两个应用实例。

栈和队列的逻辑结构都是线性结构，栈具有后进先出的特性，意思是后面入栈的元素，在进行出栈操作时会先出去。
队列具有先进先出的特性，意思是先入队列的元素，在进行出队列操作时，会先出去。

应用示例：栈：递归、后缀表达式求值。队列：二叉树的层次遍历、图的广度优先搜索。

😈 简答题2

1. 首先来回答第一个问题
   什么是循环队列？

循环队列是队列的一种，普通的队列如果采用数组的方式存储的话，为了不挪动数据，删除队列元素时，我们可能会直接将队列首元素的下标后移，这样就会造成一个问题，就是队列的空间在减少，继续入队列（尾插）如果数组的空间满了，这个时候如果进行过出队列，就会造成队列的元素小于数组实际的大小的情况。循环队列就是为了解决这种问题，让空间的利用大大提高。我们只需要把一个数组逻辑上想象成首尾相接即可。

用文字描述可能很抽象，我们画图来解释：

2. 其次就是循环队列的判空和判满问题。
   先说结论： front = rear时为空
   (rear+1)%n = front时为满，n为数组的大小。我们画图来分析一下为什么是这样:
   

贴一个 标准答案：

1. 在顺序队列中由于数组空间不够而产生的溢出叫真溢出；顺序队列因多次入队列和出队列操作后出现的有存储空间但不能进入队列操作的溢出称为假溢出。 假溢出是由于队尾rear的值和队头front的值不能由所定义数组下界值自动转为数组上界值而产生的。其解决办法有二一是将队列元素向前“平移”(占用0至rear－front－1)；二是将队列看成首尾相连即循环队列[0…m－1]。
2. 在循环队列下仍定义。front=rear时为队空而判断队满则用两种办法: 一是用“牺牲一个单元”即rear+1=front(准确记是(rear+1)％m=frontm是队列容量)时为队满。
   另一种解法是“设标记”方法如设标记tag,tag等于0的情况下若删除时导致front=tear为队空；tag=1的情况下若因插入导致front=rear则为队满。

💘 树

如果你对二叉树什么都不了解，可以看博主，这篇博客

😈 二叉树的定义、性质和应用

1. 定义

   二叉树是一种特殊的树，它的每个结点至多有两个子树，它的子树是有顺序的，即使一个结点只有一个子树，你也要指明是左子树还是右子树。

2）性质

3）应用

😈 二叉树的先序、中序遍历和后序遍历

这里在上述博客链接里面的文章里我们也有详细的叙述，这里我们在简单的画图叙述一下：

😈 已知遍历序列构造二叉树

一般都是给一个中序遍历序列、后序和前序遍历序列给一个，让你构造二叉树。

中序遍历序列的作用是划分某个结点的左子树和右子树。
后序或者前序遍历序列的作用是确定当前根结点。

❄️ 大题1

我们通过题目来讲解

💑 二叉树如何转换成森林

🐸 二叉树如何转换成树

要学会二叉树转换成森林，我们首先要学会将一棵二叉树转化成树。

我们画图来详细说明其步骤：

🐸 将二叉树如何转换成森林

很简单，一共有两步：

1. 删除当前二叉树根节点与其右孩子结点的连线（使其独立成一个新的二叉树），然后看这个新的二叉树有没有右孩子结点，如果有继续删除连线。
2. 将上述独立出来的所有二叉树都转化为树。

下面我们演示一下我们本题二叉树转化为森林的过程：

💑 标准答案（出自某搜题软件）

❄️ 大题2

💑 答案解析

本题看着没有什么头绪，只要让根结点存运算符，然后得到它的左子树和右子树求得的值(后序遍历)，然后做运算，即可得到整个表达式的值。

代码:

typedef int DataType;

typedef struct node
{
	DataType data;//存储数据
	char op;//存储运算符（可能有些结点只有运算符或者只有数据）
	struct node* left;
	struct node* right;
}*Pnode;

float PostOrder(Pnode root)//假设对于是值的结点其运算符是一个特殊符号
{
	if (!root)//如果root为空
		return 0;

	float left_val, right_val = 0;//创建两个临时变量用来保存左边子树和右边子树的值
	float val = root->data;//返回值,如果当前结点没有左子树和右子树就证明其应该是一个值，而不是运算符

	left_val = PostOrder(root->left);//先去得到左边子树的值
	right_val = PostOrder(root->right);//再得到右边子树的值

	switch (root->op)
	{
	case '+':val = left_val + right_val;
		break;
	case '-':val = left_val - right_val;
		break;
	case '*':val = left_val * right_val;
		break;
	case '/': val = left_val / right_val;
		break;
	default: break;//如果这个
	}

	return val;//返回结果
}

💑 标准答案

❄️ 大题3

💑 答案

此题和上面一道有重复，我们熟练之后可
以不用那么详细，照着先序遍历序列和中序遍历序列直接画出二叉树即可，就是要注意不要看错了。

💑 标准答案

❄️ 简答题1

💑 标准答案

❄️ 简答题2

答案：

链域就是指针域，每个结点有四个指针域。

💑 标准答案

❄️ 简答题3

💑 答案解析

💑 标准答案

标准答案的边界值对应下图两种情况：

😈 森林的先序遍历和中序遍历（可能出选择题）

考的不多，不需要作为重点，重点应该放在二叉树的遍历上。

😈 树转化为二叉树以及森林转化成二叉树

我们前面以及介绍过了将二叉树转化成树和将二叉树转化成森林，现在我们来介绍一下将树转化成二叉树以及将森林转化成二叉树：

1. 将树转化成二叉树：

2. 将一棵森林转变成二叉树：

😈 哈夫曼树和哈弗曼编码（这里肯定会出大题）

知识点：

😈 大题1

这种题比较简单，基本上掌握一下基本套路就完事了。

❄️ 答案解析

😈 线索二叉树

线索二叉树就是将一个二叉树线索化的过程。

二叉树中有些左指针和右指针是空的，我们线索化的时候可以把它们利用起来。

• 无论是前序遍历，中序遍历还是后序遍历，如果一个节点没有左子树就让他的左指针指向他的前驱节点（前面一个要访问的结点），如果一个节点没有右子树，就让他的右指针指向他的后继节点（后面一个要访问的结点）。比较简单我们不再举例子。

💘 图

😈 图的连通性问题

😈 出度和入度

出度：某个顶点指向的顶点有几个，它的出度就是几。

入度：某个顶点被多少个顶点指向，它的入度就是几。

😈 带权无向图的最小生成树Prim、KrusKal算法

这两个算法都可以求最小生成树，我们只介绍Prim算法。

生成树：首先只有连通图才有生成树。生成树是所有顶点都连接在一起，但不存在回路的图。因为树就是不存在回路的。

最小生成树：所有生成树中使得各边权值总和最小的那棵生成树叫做最小生成树。

Prim算法的原理：从某一个顶点开始构建生成树，每次将代价最小（到原先的生成树权值
最小）的顶点加入这个生成树中构成新的生成树。(后面我们会用具体的题目来演示)

KrusKal算法的原理：Prime算法更倾向于点之间的关系，所以又叫做加点法。而KrusKal算法更倾向于边，它先将所有边按照权值的大小升序排列，然后依次按照边权值的大小开始建立最小生成树，如果加入当前权值最小的边时会导致出现回路，就舍弃，知道我们加入了n-1条边为止。

😈 有向无环图、拓扑排序

在图论中，如果一个有向图无法从某个顶点出发经过若干条边回到该点，则这个图是一个有向无环图（DAG图）。

拓扑排序的定义：
在有向无环图中，我们将全部活动（顶点和边的关系）排列成一个线性序列，使得这个图中中有弧<i,j>存在 则在这个序列中，i 一定排在j的前面 具有这种线性序列称为拓扑有序序列，相应的拓扑有序排序的算法称为拓扑排序。
拓扑排序的方法：

😈 大题1

下面题目涉及拓扑序列和最小生成树的构建比较重要，一定得掌握：

❄️ 答案解析

😈 大题2

（1）G1最多有n-1+n-2+n-3+…+1 = $n(n-1)/2$。G1最少有n-1条边（不成环，但是连通）。

(2)和（3）：

❄️ 标准答案

😈 关键路径和关键活动

关键路径这块的概念比较多。

AOE网：在一个表示工程的带权有向图中，顶点表示事件，用边来表示活动，边上的权值叫做活动持续的时间，这个有向图就是活动的网。

源点：在这个AOE网中，入度为0的点叫做源点。

终点：在这个AOE网，出度为0的点叫做终点。

AOE网的两个性质：

1. 只有这个顶点的入度的活动都已经结束，这个顶点表示的事件才会开始。
2. 只有这个顶点的事件开始后，从这个顶点出发的活动才会开始。

由于到达终点前，所有指向这个终点边上的活动都必须结束，所以完成整个工程的最短时间必须是那个源点到终点的最大长度，这个最大长度叫做关键路径。关键路径上的活动叫做关键活动。

事件的最早发生时间（ve(i)）: 从源点出发（假设开始是0），该顶点的入度的各个活动中的最长时间（只有这个活动完成了，这个事件才能发生）。

事件的最晚发生时间（vl(i)）:从终点出发，要在保证不耽误工期的情况下（关键路径，也就是最短顶点对应的事件完成的时间），在终点的最晚发生时间一定的条件下，倒推其它点的最晚发生时间。如果一个点有两个出度，推出了两个最晚发生时间，要取最小的那个（取更大的那个就有一个事件就不能完成了，工程最晚完成时间就要推迟）。

终点的事件最晚发生时间 = 最早发生时间。

活动的最早发生时间（ee(i)）:某个活动开始的前提是那个顶点表示的时间开始了，所以这个值和这个活动所在边的起点的事件最早发生事件相等。

活动的最晚发生时间（el(i)）:只有这个顶点的入度的活动都已经结束，这个顶点表示的事件才会开始，所以我们知道这个顶点的最晚发生时间，减去入度的活动的权值，就是对应的该活动的最晚发生时间。

el(i) = ee(i)的活动叫做关键活动，关键活动所连成的源点到终点路径叫做关键路径（可能有多条）。证明省略。
下面我们通过题来演示一下：

❄️ 大题2

💑 答案解析

画两个表格，照着带权有向图直接写时间即可，只要了解了这四个概念所代表的意思，及其如何来求。

💑 标准答案

😈 图的遍历（广度优先和深度优先）

我们先介绍思想，大题三会有具体的题目来演示操作：

广度优先遍历（类似于树的广度优先遍历，也就是层序遍历）：它的基本思想是这样的：

1. 先任选一个顶点开始遍历。
2. 依次遍历这个顶点的邻接顶点。
3. 按照刚刚遍历的顺序去遍历邻接顶点的邻接点。
4. 如果图中还有顶点没有访问完，任选一个没有被访问的顶点，按照上面的步骤，直到所有顶点被访问完。

深度优先遍历（类似于树的先序遍历，是其在图上的推广）：它的基本思想如下：

1. 先选一个顶点开始遍历。
2. 再从这个刚刚访问的顶点vi出发去访问它的第一个邻接点，重复本步骤，直到当前顶点没有邻接点。
3. 返回刚刚访问过的且还有未被访问邻接点的顶点，找出并访问该顶点未被访问的邻接点，执行步骤2。
4. 重复执行以上步骤，直到所有顶点被访问完。

😈 最短路径

最短路径有四种算法可以求，详细原理可以看博主这篇博客。

❄️ 大题3

💑 答案解析

💑 标准答案

💘 查找

😈 静态查找表：顺序查找、折半查找

顺序查找：按照顺序在表（一般是数组）中依次查找，时间复杂度是$O(N)$。一般不用。

折半查找：即我们所说的二分查找算法。这个算法的前提是表已经有序。时间复杂度是$O(logN)$。

❄️ 大题1

💑 答案解析

💑 标准答案

.

😈 动态查找表: 二叉排序树、二叉平衡树、m阶B树

❄️ 二叉排序树

请看博主这篇博客
这个很简单考的不多，重点看二叉平衡树和m阶B树。

❄️ 二叉平衡树

二叉树平衡树上课只介绍了AVL树。

AVL树是平衡搜索二叉树的一种，它是为了解决普通二叉搜索树不平衡的问题，它通过保持每个结点的左右两棵子树的高度差不超过1来维持查找效率。

AVL树有以下性质，满足以下性质的二叉树也叫做高度平衡：

1. 左右子树的高度差不超过1（-1，0，1）。
2. 左右子树也为AVL树

• 我们这里的左右子树的高度均为左右子树的最长路径的结点个数。

如果一棵二叉树是高度平衡的，那么它就是平衡二叉树，它的高度是$O(logN)$,搜索的效率也在$O(logN)$量级。

我们重点来看一下AVL树的插入调整：

1. 左单旋
   在当前高度较高的某节点的右子树的右边插入了一个新结点引发了不平衡，需要右单旋。

2. 右单旋
   在当前高度较高的某节点的左子树的左边插入了一个新结点引发的不平衡，需要左单旋。

3. 左右双旋
   当前高度较高的某节点的左子树的右子树插入了一个结点，引发了不平衡，需要先左单旋，再右单旋转。

4. 右左双旋
   当前高度较高的某节点的右子树的左子树插入了一个结点，引发了不平衡，需要先右单旋，再左单旋转。

我们用具体的题目来演示如何旋转：

❄️ 大题1

💑 答案解析

💑 标准答案

这个答案有点问题，最后一个数据65插入的它没写，命名的话博主是按照旋转的方向命名，这个答案是按照插入的方向命名。

😈 B树

B树是多路平衡二叉树。

1. B树的性质

2. B树的插入和删除
我们用下面的题目来演示，如果你没有搞懂，请自行去B站上学习。

❄️ 大题2

💑 答案解析

😈 哈希表

❄️ 哈希表的长度、哈希表的装填因子等

哈希表的长度是指的是哈希表可以存储的最大元素数量。
哈希表的装填因子是指的是当前已经存储的元素的数量（桶的数量）/ 哈希表的长度

❄️ 常用的构造哈希函数的方法

1. 除留余数法
   除留取余法是将关键字除以一个不大于哈希表长度的正整数p（一般是小于哈希表长度的最大质数），并将所得余数作为地址。

具体而言，除留取余法的步骤如下：

1、选择一个不大于哈希表长度的正整数p（一般是小于哈希表长度的最大质数）作为模。
2、将关键字对p取模作为哈希表的索引地址。

2. 直接定址法
   直接定址法就是将关键字作为索引地址，关键字就是下标，要求关键字范围小且连续，否则会造成空间浪费。

❄️ 处理冲突的方法

1. 开放寻址法

   原理是当发生冲突时，是以当前地址为基准，去通过寻址找到下一个地址。
   常用的寻址方法：

   • 线性探测：发生冲突时，从当前地址开始往后面去找空地址，如果到达表尾，就回到表头继续找，直到找到或者已经遍历全表。
   • 二次探测(平方探测)：发生冲突时，从当前地址开始，左右跳跃，di = $1^2,-1^2,2^2,-2^2,3^2,-3^2......$直到找到为止。

2.链地址法
又叫做拉链法，这个方法是把哈希表的每个位置看成一个桶，每个桶里面都是一个链表，然后如果发生冲突了，就把新的结点，尾插到这个位置桶的尾部。

我们通过下面的题目来演示：

❄️ 大题3

💑 答案解析