【进击的算法】动态规划——01背包

news2024/11/8 23:51:30

在这里插入图片描述

🍿本文主题:动态规划 01背包 背包问题 C/C++ 算法
🎈更多算法:基础回溯算法 基础动态规划
💕我的主页:蓝色学者的主页

文章目录

  • 一、前言
  • 二、概念
    • ✔️动态规划概念
    • ✔️01背包的概念
  • 三、问题描述与讲解
    • 🎺题目描述
    • ✔️Dp数组
    • ✔️递推关系
    • ✔️dp数组如何初始化
    • ✔️打印dp数组
  • 四、状态压缩-滚动数组
  • 五、参考代码
  • 六、结语

一、前言

很开心又和大家见面了,上次我们学习了基础算法——动态规划,那今天我们来一起学习一下的动态规划的进阶部分,通过一道很经典的动态规划题目,帮助大家掌握经典的01背包问题,之后我还会留下本节课的作业,感兴趣的话一起来看看吧~

二、概念

✔️动态规划概念

还记得我们上次文章讲解动态规划最重要的两个概念吗?

概念一:状态转移
概念二:Dp数组

如果你记不太清这两个概念,可以先去看我前面讲的基础动态规划,看完之后,再来尝试进阶动态规划会好很多~点我看基础动态规划

✔️01背包的概念

01背包问题简单来说就是,有i个物品,每个物品只有一个且有自己的价值value,把他们放到容量为j的背包里,问最大价值是多少?
这样解释后,我们就知道为什么叫背包问题了,可是还有一点不明确,为什么要叫01背包呢?

其实01只表示两个状态,不选,因为每种物品只有一件,我们只有这两种选择

三、问题描述与讲解

🎺题目描述

有三块石头,重量分别为{1,3,4};价值分别为{15,20,39};背包容量为4
问:怎么装才能让背包价值最高?
在这里插入图片描述

✔️Dp数组

题目问我们最大价值是多少,因此我们Dp数组表示的就是最大价值,我们要思考这个值是怎么来的?
那最终价值都跟什么有关呢?无非就是物品和背包容量!这里大家可能会很懵,我举个例子

  • 假设石头只有第0个,那么最大价值是dp[0][j] 表示将第0个~第0个物品放到容量为j的背包里所产生的最大价值
  • 假设石头有第0个,第1个,那么最大价值是dp[1][j]表示将第0个~第1个物品放到容量为j的背包里所产生的最大价值

大家这样就理解了吧,虽然我们可以使用dp[j]直接去表示容量为j的最大价值(之后将状态压缩的时候会讲解如何压缩为一维数组)但这里我们用二维数组来表示

  • dp数组的含义 dp[i][j] #表示将第0个~第i个物品放到容量为j的背包中所产生的最大价值!

在这里插入图片描述

✔️递推关系

当我们想不清楚递推关系的时候,不妨举个例子试着推导一下:如图
在这里插入图片描述
要求蓝色坐标位置的最大价值,我们来试着推导一下dp[1][2] ,就是让我们求有两个石块、背包容量为2的情况下的最大价值!

  • 若不放物品1 ,那不久变成了只放物品0容量为2的背包的最大价值
  • 若存放物品1 ,要事先预留下物品1的重量,结果就是除去物品1的重量后放前面物品产生的最大价值 + 物品1的价值

总结下来就是在这两种情况下选最大值,因此递推公式为:

dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
希望大家能仔细感悟上面两种情况,这是01背包和动态规划的精髓!

✔️dp数组如何初始化

当背包容量为0的时候,我们取不了任何元素,因此也就没有最大价值~我们初始化为0
在这里插入图片描述

  • 第一行我们也需要初始化,为什么?观察我们的递推公式:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);

在这里插入图片描述
如图,dp[i][j] 的状态需要左上角的两个元素推导得出,但注意,红色箭头指的是左边某个元素,而不是正左上角!!

  • 怎么初始化?
    我们先看第一行的含义是什么,即只把第0个物品放到容量为0,1,2,3…的背包中产生的最大价值

这里并不是一股脑地把第一行全都赋值为第0个物品的价值,而是判断背包容量能不能装得下第0个物品,装得下才赋值为第0个物品的价值

复制完后如图:

在这里插入图片描述

  • 那其他元素的初始化呢?

其他元素由于是由其他元素推导得出,理论上可以是任何值,但不要忘了,我们在第一行元素初始化的时候,只对能装下物品0的元素赋值了,那装不下的背包应该赋值为多少?
当然是0!不然就会影响其他步骤判断!所以我们干脆就在一开始就初始化所有元素为0!

✔️打印dp数组

在这里插入图片描述

四、状态压缩-滚动数组

其实细心的同学已经发现了,我们递推关系中,指明第二行的元素全是由上两行元素推导得来,因此我们可以只创建一个一维数组,来简化代码,这又被称为滚动数组,实际上就是数据在不断被覆盖

实现这种代码比二维数组方式更为简单,大家可以去尝试一下,下次动态规划讲解,我们再重点讲解降维的思路

有两点需要注意:

一、必须先遍历物品,再遍历背包,因为我们是横向覆盖!不是纵向覆盖!
二、必须从右边向左边遍历,如果从左边向右边就会覆盖数据!因此我们是由左上角和正上方的数据推导而来!!

五、参考代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#define MAX(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define row 3
#define BAGSIZE 4
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>

int main()
{
	
	int weight[] = { 1,3,4 };
	int price[] = { 15,20,30 };
	
	int Dp[row][BAGSIZE+1] = { 0 }; 

	for (int i = 1; i < BAGSIZE+1; i++)
	{
		if(i >= weight[0])
			Dp[0][i] = price[0];
	}


	for (int i = 1; i < row; i++)
	{
		for (int j = 1; j < BAGSIZE+1; j++)
		{
			if (j-weight[i] >= 0)
			{
				Dp[i][j] = MAX(Dp[i - 1][j], Dp[i - 1][j - weight[i]] + price[i]);
			}
			else
			{
				Dp[i][j] = Dp[i-1][j];
			}

		}
	}


	for (int i = 0;i<row;i++)
	{
		for (int j = 0;j<BAGSIZE+1;j++)
		{
			printf("%d ", Dp[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
			
}

六、结语

到这里,本篇文章就结束了,本文算是动态规划比较有难度的题目,如果有任何不明白,大家可以多看几遍,熟能生巧~

如果你感觉有所收获,可以点赞 + 收藏 +关注 支持一下学者哦~ 我们下次见~
在这里插入图片描述

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.coloradmin.cn/o/185407.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

相关文章

spring 中 mybaits 的一级缓存失效

mybatis 的一级缓存 简单回顾下mybatis的一级缓存 本质上是一个基于map实现的内存级别的缓存&#xff0c;默认开启&#xff0c;生命周期是 sqlsession 级别的 为什么会失效 其实这个问题反向分析一下就会有思路了&#xff0c;一级缓存默认是sqlsession级别的&#xff0c;这个规…

2022年rust杂记

以下记录的是&#xff0c;我在学习中的一些学习笔记&#xff0c;这篇笔记是自己学习的学习大杂烩&#xff0c;主要用于记录&#xff0c;方便查找1、相关学习链接https://www.rust-lang.org/zh-CN/governance/ RUST 官网博客https://kaisery.github.io/trpl-zh-cn/&#xff08;最…

应用性能监控对DMS系统综合分析案例

背景 DMS系统是某汽车集团的经销商在线系统&#xff0c;是汽车集团的重要业务系统。本次分析重点针对DMS系统性能进行分析&#xff0c;以供安全取证、性能分析、网络质量监测以及深层网络分析。 该汽车总部已部署NetInside流量分析系统&#xff0c;使用流量分析系统提供实时和…

好好的系统,为什么要分库分表?

不急于上手实战 ShardingSphere 框架&#xff0c;先来复习下分库分表的基础概念&#xff0c;技术名词大多晦涩难懂&#xff0c;不要死记硬背理解最重要&#xff0c;当你捅破那层窗户纸&#xff0c;发现其实它也就那么回事。 什么是分库分表 分库分表是在海量数据下&#xff0…

51单片机学习笔记-14 ADDA

14 ADDA [toc] 注&#xff1a;笔记主要参考B站江科大自化协教学视频“51单片机入门教程-2020版 程序全程纯手打 从零开始入门”。 注&#xff1a;工程及代码文件放在了本人的Github仓库。 14.1 AD/DA简介 14.1.1 AD/DA基本介绍 AD&#xff08;Analog to Digital&#xff09;…

FreeRTOS任务管理

RTOS 的核心是如果高效管理各个任务及任务之间通信&#xff0c;本章将向大家介绍 FreeRTOS 的任务管理&#xff0c;通过本章的学习&#xff0c;让大家对 RTOS 任务的理解更加深入&#xff0c; 为后面的学习做好铺垫。本章分为如下几部分内容&#xff1a; 1 任务管理介绍 2 常用…

ue4c++日记7(动画蓝图)

FVector Speed Pawn->GetVelocity();//获取方向向量FVector xyspeed FVector(Speed.X, Speed.Y,0);//不要z方向MovementSpeed xyspeed.Size();//xy取长//角色是否处于下落状态IsJumping Pawn->GetMovementComponent()->IsFalling();//#include "GameFramewor…

FreeRTOS中的信号量实验

信号量是操作系统中重要的一部分&#xff0c;信号量一般用来进行资源管理和任务同 步&#xff0c;FreeRTOS 中信号量又分为二值信号量、计数型信号量、互斥信号量和递归 互斥信号量。不同的信号量其应用场景不同&#xff0c;但有些应用场景是可以互换着使用。 本章要实现的功能…

【数据结构从0到1之树的初识】

目录 1.树的表达方式 1.1 树的定义 1.2树的相关概念 1.3树的存储结构 1.3.1 双亲表示法 1.3.2 孩子表示法 1.3.3 孩子兄弟表示法 1.4树在实际中的应用 后记&#xff1a; &#x1f57a;作者&#xff1a; 迷茫的启明星 &#x1f618;欢迎关注&#xff1a;&#x1f44d;点…

Lua 迭代器

Lua 迭代器 参考文章&#xff1a; 菜鸟教程。 https://cloud.tencent.com/developer/article/2203215 迭代器&#xff08;iterator&#xff09;是一种对象&#xff0c;它能够用来遍历标准模板库容器中的部分或全部元素&#xff0c;每个迭代器对象代表容器中的确定的地址。 在 L…

23种设计模式之七种结构型模式

23种设计模式之七种结构型模式1. 设计模式概述1.1 什么是设计模式1.2 设计模式的好处2. 设计原则分类3. 详解3.1 单一职责原则3.2 开闭原则3.3 里氏代换原则3.4 依赖倒转原则3.5 接口隔离原则3.6 合成复用原则3.7 迪米特法则4. Awakening1. 设计模式概述 我们的软件开发技术也包…

[Python从零到壹] 番外篇之可视化利用D3库实现CSDN博客每日统计效果(类似github)

欢迎大家来到“Python从零到壹”&#xff0c;在这里我将分享约200篇Python系列文章&#xff0c;带大家一起去学习和玩耍&#xff0c;看看Python这个有趣的世界。所有文章都将结合案例、代码和作者的经验讲解&#xff0c;真心想把自己近十年的编程经验分享给大家&#xff0c;希望…

关于对公司做项目的一些想法

项目管理法则里面最重要的是如下的三角形&#xff1a;基于一定的范围、合理的时间和足够的成本下实现项目完成&#xff0c;并保证质量。项目中最重要的是质量&#xff0c;质量不行就意味着项目失败&#xff0c;请参考大跃进时期的大炼钢铁&#xff08;多快好省大炼钢&#xff0…

是什么影响了 MySQL 索引 B + 树的高度?

提到 MySQL&#xff0c;想必大多后端同学都不会陌生&#xff0c;提到 B 树&#xff0c;想必还是有很大部分都知道 InnoDB 引擎的索引实现&#xff0c;利用了 B 树的数据结构。 那 InnoDB 的一棵 B 树可以存放多少行数据&#xff1f;它又有多高呢&#xff1f; 到底是哪些因…

WebRTC → 信令服务器

相关简介 信令&#xff1a;驱动系统运转。控制各个模块的前后调用关系;业务不同&#xff0c;逻辑不同&#xff0c;信令也会千差万别 要实现一对一通信&#xff0c;驱动系统的核心就是信令。信令控制着系统各个模块之间的前后调用关系&#xff0c;比如当收到用户成功加入房间后…

3D模型在线查看利器【多种格式】

BimAnt 3DViewer网站可以 打开多种 3D 文件格式并在你的浏览器中可视化展示3D模型&#xff0c;支持 obj、3ds、stl、ply、gltf、glb、off、 3dm、fbx 等等。 1、支持的3D模型格式 BimAnt 3DViewer网站支持多种文件格式的导入和导出。 如果文件格式有文本和二进制版本&#x…

Minecraft 1.19.2 Fabric模组开发 09.Mixin

我们今天用mixin在1.19.2 fabric中实现一个望远镜 1.由于fabric已经自动配置好了mixin&#xff0c;所以我们无需配置mixin&#xff0c;先在ItemInit中新建一个我们的望远镜物品&#xff1a; ItemInit.java public static final Item BIRDWATCHER registerItem("birdwat…

Smart-doc的脚本生成在线文档(精简官方文档描述)

Smart-doc优点&#xff1a; 无侵入的接口文档、在线文档生成器。三种生成文档方式。对于程序代码开发中只需要加注释&#xff08;符合一定的语法&#xff0c;五分钟可掌握&#xff09;就能生成在线文档。可以支持c、java、php、node等等常见的主流语言。 如何使用&#xff1a; …

47.Isaac教程--ORB

ORB ISAAC教程合集地址: https://blog.csdn.net/kunhe0512/category_12163211.html 文章目录ORBGem 提供的类型关键点描述符如何使用 Gem&#xff08;界面&#xff09;构建包Isaac Codelets示例应用程序主机设备嵌入式 Jetson 设备这个 gem 提供了一个特征检测器和描述符提取器…

2011年专业408算法题

文章目录0 结果1 题目2 思路2.1 思路1&#xff08;暴力解&#xff1a;排序&#xff09;2.2 思路2&#xff08;较优解&#xff1a;归并合并数组&#xff09;2.3 思路3&#xff08;较优解&#xff1a;数组指针后移&#xff09;2.4 思路4&#xff08;最优解&#xff1a;两个数组的…