各位CSDN的uu们你们好呀，今天小雅兰的内容是高等数学中的函数的连续性和间断点，好的，那现在就让我们进入函数的连续性和间断点的世界吧

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 一、函数的连续性

    1.函数增量

    2.连续的定义

    3.单侧连续

 二、例题（函数的连续性）

 三、函数的间断点

     第一类间断点：可去间断点 跳跃间断点

     第二类间断点：无穷间断点 振荡间断点

 四、小结

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引子：什么是连续函数？

  日月行空、岁月流逝、植物生长、体重下降、气温升高

  几何直观：可以一笔画成的曲线

下面，让我们正式开始今天的学习之旅吧

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一、函数的连续性

  首先，我们要引入一个新概念，叫做函数增量

然后我们来画图演示一下

 左边的这个图像可以一笔画出来，所以是连续函数，右边的这个图像不能一笔画出来，所以是非连续函数，也就是间断。那么，在这两幅图像中，我们能不能表示函数增量呢？

答案当然是肯定的 

 然后我们便可以引入我们的新定义了

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2.连续的定义

 根据分析，我们就有了连续的第二种定义

 根据连续的第二种定义，我们右得出了连续的第三种定义

 说明几点注意事项

 

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3.单侧连续

 根据左连续与右连续，我们得出了一个结论

拓展 

 这个C[a,b]表示所有的在闭区间[a,b]上的连续函数所构成的集合

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二、例题（函数的连续性）

前面我们已经说过了，证明题最好用函数增量法来解

  

 前面也说过了，判断分段函数在分界点处的连续性用定义2来证明

 

 

 

这道题目总体来说有点复杂，还涉及到了多项式的除法，我们仔细看看

                      其实就跟我们学的除法差不多，只是把数字换成了代数式 

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 三、函数的间断点

 

 下面，我们来看几道例题

 

 

 

 

 

下面用几个例题来说明一下这个第二类间断点

 

 

 看到这里，大家可能会想：一个函数只有一个间断点吗？

                                           其实不然。

 下面来看一个比较经典的题目

 这道题目看上去就很复杂，不知道到底是求极限还是求间断点，其实都要求

 

 

 

 

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四、小结

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好啦，小雅兰今天的内容就到这里了，学习好函数的连续性和间断点，为后续学习奠定良好的基础，小雅兰加油！！！