本文涉及知识点
动态规划汇总
背包问题汇总
C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频
LeetCode2585. 获得分数的方法数
考试中有 n 种类型的题目。给你一个整数 target 和一个下标从 0 开始的二维整数数组 types ，其中 types[i] = [counti, marksi] 表示第 i 种类型的题目有 counti 道，每道题目对应 marksi 分。
返回你在考试中恰好得到 target 分的方法数。由于答案可能很大，结果需要对 109 +7 取余。
注意，同类型题目无法区分。
比如说，如果有 3 道同类型题目，那么解答第 1 和第 2 道题目与解答第 1 和第 3 道题目或者第 2 和第 3 道题目是相同的。
示例 1：
输入：target = 6, types = [[6,1],[3,2],[2,3]]
输出：7
解释：要获得 6 分，你可以选择以下七种方法之一：
- 解决 6 道第 0 种类型的题目：1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6
- 解决 4 道第 0 种类型的题目和 1 道第 1 种类型的题目：1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6
- 解决 2 道第 0 种类型的题目和 2 道第 1 种类型的题目：1 + 1 + 2 + 2 = 6
- 解决 3 道第 0 种类型的题目和 1 道第 2 种类型的题目：1 + 1 + 1 + 3 = 6
- 解决 1 道第 0 种类型的题目、1 道第 1 种类型的题目和 1 道第 2 种类型的题目：1 + 2 + 3 = 6
- 解决 3 道第 1 种类型的题目：2 + 2 + 2 = 6
- 解决 2 道第 2 种类型的题目：3 + 3 = 6
示例 2：
输入：target = 5, types = [[50,1],[50,2],[50,5]]
输出：4
解释：要获得 5 分，你可以选择以下四种方法之一： - 解决 5 道第 0 种类型的题目：1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
- 解决 3 道第 0 种类型的题目和 1 道第 1 种类型的题目：1 + 1 + 1 + 2 = 5
- 解决 1 道第 0 种类型的题目和 2 道第 1 种类型的题目：1 + 2 + 2 = 5
- 解决 1 道第 2 种类型的题目：5
示例 3：
输入：target = 18, types = [[6,1],[3,2],[2,3]]
输出：1
解释：只有回答所有题目才能获得 18 分。
提示：
1 <= target <= 1000
n == types.length
1 <= n <= 50
types[i].length == 2
1 <= counti, marksi <= 50
多重背包（前缀和优化)
动态规划的状态表示
dp’[i][j] 回答了前i道题，得分为j的方案数。
用滚动向量优化后，空间复杂度：O(target)。
pre[j] = dp’[i][j] dp[j] = dp’[i+1][j]
动态规划的转移方程
dp[j]=
∑
k
:
0
(
m
a
r
k
s
i
∗
k
<
=
j
)
&
(
k
<
=
c
o
u
n
t
i
)
p
r
e
[
j
−
m
a
r
k
s
i
∗
k
]
\sum_{k:0}^{(marksi *k <=j )\And(k<=counti) }pre[j-marksi *k]
∑k:0(marksi∗k<=j)&(k<=counti)pre[j−marksi∗k]
用前缀和优化后，任意状态转移的时间复杂度是:O(1)
时间复杂度：O(n target)
前缀和
j1 = j% marks ，j1相同的可以利用前缀和。
dp[j1] = pre[j1]
dp[j1+mask ]= pre[j1] + pre[j1+masks]
dp[j1+j2
×
\times
×mask] = pre[j1+0
×
\times
×mask]
⋯
\cdots
⋯ pre[j1+j2
×
\times
×mask] 最多counti+1 个元素，即：
即 j3 = j2 - counti- 1 ,j3 >= 0 则删除pre[j1+j3*mask]
动态规划的初始值
pre[0]=1 ，其它为0。
动态规划的填表顺序
for i :0 to n-1 for j = 0 to targe
动态规划的返回值
pre.back()
代码
核心代码
template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
{
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)
{
return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator*(const C1097Int& o)const
{
return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator/(const C1097Int& o)const
{
return *this * o.PowNegative1();
}
C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
{
*this /= o.PowNegative1();
return *this;
}
bool operator==(const C1097Int& o)const
{
return m_iData == o.m_iData;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(long long n)const
{
C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD - 2);
}
int ToInt()const
{
return m_iData;
}
private:
int m_iData = 0;;
};
class Solution {
public:
int waysToReachTarget(int target, vector<vector<int>>& types) {
vector<C1097Int<>> pre(target + 1);
pre[0] = 1;
for (const auto& v : types) {
vector<C1097Int<>> dp(target + 1);
for (int j1 = 0; j1 < v[1]; j1++)
{//j1是pre
C1097Int<> preSum = 0;
for (int j = 0; v[1] * j + j1 <= target; j++) {
preSum += pre[v[1] * j + j1];
if (j > v[0]) {
preSum -= pre[v[1] * (j-v[0]-1) + j1];
}
dp[v[1] * j + j1] = preSum;
}
}
pre.swap(dp);
}
return pre.back().ToInt();
}
};
单元测试
template<class T1,class T2>
void AssertEx(const T1& t1, const T2& t2)
{
Assert::AreEqual(t1 , t2);
}
template<class T>
void AssertEx(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
Assert::AreEqual(v1.size(), v2.size());
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
Assert::AreEqual(v1[i], v2[i]);
}
}
template<class T>
void AssertV2(vector<vector<T>> vv1, vector<vector<T>> vv2)
{
sort(vv1.begin(), vv1.end());
sort(vv2.begin(), vv2.end());
Assert::AreEqual(vv1.size(), vv2.size());
for (int i = 0; i < vv1.size(); i++)
{
AssertEx(vv1[i], vv2[i]);
}
}
namespace UnitTest
{
int target;
vector<vector<int>> types;
TEST_CLASS(UnitTest)
{
public:
TEST_METHOD(TestMethod0)
{
target = 6, types = { {6,1},{3,2},{2,3} };
auto res = Solution().waysToReachTarget(target, types);
AssertEx( 7, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod1)
{
target = 5, types = {{50,1},{50,2},{50,5}};
auto res = Solution().waysToReachTarget(target, types);
AssertEx( 4, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod2)
{
target = 18, types = { {6,1},{3,2},{2,3} };
auto res = Solution().waysToReachTarget(target, types);
AssertEx( 1 , res);
}
};
}
扩展阅读
视频课程
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https://edu.csdn.net/course/detail/38771
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相关下载
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| 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 |
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
