数据结构与算法笔记：基础篇 - 二叉树基础（下）：有了如此高效的散列表，为什么还需要二叉树？

概述

上篇文章，我们学习了树、二叉树及二叉树的遍历，本章来学习一种特殊的二叉树，二叉查找树。二叉查找树最大的特点就是，支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。

之前说过，散列表也是支持这些操作的，并且散列表的这些操作比二叉查找树更高效，时间复杂度是 $O (1)$ 。既然有了这么高效的散列表，使用二叉树的地方是不是都可以替换成散列表呢？有没有哪些地方时散列表做不了，必须要用二叉树来做的呢？

二叉查找树（Binary Search Tree）

二叉查找树的二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树。顾名思义，二叉查找树是为了实现快速查找而生的。不过，它不仅仅支持快速查找一个数据，还支持快速插入、删除一个数据。它是怎么做到这些的呢？

这些都依赖于二叉查找树的特殊结构。二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。下图是二叉查找树的例子。

在这里插入图片描述

二叉查找树支持快速查找、插入、删除操作，现在我们就依次来看下，这三个操作是如何实现的。

1.二叉查找树的查找操作

首先，我们看如何在二叉查找树树中查找一个节点。我们先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。

在这里插入图片描述

下方是实现查找的代码。

public class BinarySearchTree {
    private Node tree;

    public Node find(int data) {
        Node p = tree;
        while (p != null) {
            if (data < p.data) p = p.left;
            if (data > p.data) p = p.right;
            return p;
        }
        return null;
    }

    public static class Node {
        private int data;
        private Node left;
        private Node right;

        public Node(int data) {
            this.data = data;
        }
    }
}

2.二叉查找树的插入操作

二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一班都是子啊叶子节点上，所以我们只需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。

如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插入到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入的位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据直接插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入的位置。

在这里插入图片描述

下方是代码实现。

    public void insert(int data) {
        if (tree == null) {
            tree = new Node(data);
            return;
        }
        Node p = tree;
        while (p != null) {
            if (data > p.data) {
                if (p.right == null) {
                    p.right = new Node(data);
                    return;
                }
                p = p.right;
            } else {
                if (p.left == null) {
                    p.left = new Node(data);
                    return;
                }
                p = p.left;
            }
        }
    }

3.二叉查找树的删除操作

二叉查找树的查找、插入操作比较易懂，但是它的删除操作就比较复杂了。针对要删除的节点的子节点个数的不同，我们需要分三种情况来处理。

第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除结点地指针设置为 null。比如下图中的删除节点 55。

第二种情况是，如果要删除的子节点有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，执行要删除的节点的指针，让它执行要删除的子节点就可以了。比如图中的删除结点 13。

第二种情况是，如果要删除的子节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子节点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。

在这里插入图片描述

老规矩，还是把删除的代码贴在这里。

    public void delete(int data) {
        Node p = tree; // p指向要哦删除的节点，初始化指向根节点
        Node pp = null; // pp记录的是p的父节点
        while (p != null && p.data != data) {
            pp = p;
            if (data > p.data) p = p.right;
            else p = p.left;
        }
        if (p == null) return; // 没有找到

        // 要删除的结点有两个子节点
        if (p.left != null && p.right != null) {
            Node minP = p.right;
            Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点
            while (minP.left != null) {
                minPP = minP;
                minP = minP.left;
            }
            p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p中
            p = minP; // 从这开始，变成删除minP节点
            pp = minPP;
        }

        // 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
        Node child;// p的子节点
        if (p.left != null) child = p.left;
        else if (p.right != null) child = p.right;
        else child = null;

        if (pp == null) tree = child; //删除的是根节点
        else if (pp.left == p) pp.left = child;
        else pp.right = child;
    }

实际上，关于二叉查找树的删除操作，还有个非常简单、取巧的办法，就是单纯将要删除的节点标记为 “已删除”，但是并不真正从树中将这个节点去掉。这样原本删除的结点还需要存储在内存中，比较浪费内存空间，但是删除操作就变得简单了很多。而且，这种处理方法也并没有增加插入、查找操作代码实现的难度。

4.二叉查找树的其他操作

除了插入、删除、查找操作外，二叉查找树中还可以支持快速查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。这些操作就不一一展示了。

二叉查找树除了支持上面几个操作之外，还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，也可以输出有序的数据序列，时间复杂度是 $O (n)$ ，非常高效。因此，二叉查找树也叫做二叉排序树。

支持重复数据的二叉查找树

前面讲二叉查找树的时候，默认树中节点存储的都是数字。很多时候，在实际开发中，我们在二叉查找树中存储的是，包含很多字段的对象。利用对象的某个字段作为键值（Key）来构建二叉查找树。我们把对象中的其他字段叫做卫星数据。

前面讲的二叉查找树的操作，针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键值相同，这种情况该怎么处理呢？这里有两种解决办法。

第一种方法比较容易。二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此，我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。

第二种方法比较不好理解，不过更加优雅。

每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入的数据的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，要把这个新插入的数据当做大于这个节点的值来处理。

在这里插入图片描述

当要查找数据的时候，遇到相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。

在这里插入图片描述

对于删除操作，我们也需要查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。

在这里插入图片描述

二叉查找树的时间复杂度分析

实际上，二叉查找树的形式各种各样。比如下图中，对于同一组数据，我们构造了三种二叉查找树。它们的查找、插入、删除操作的执行效率是不一样的。图中第一种二叉查找树，根节点放的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就变了了 $O (n)$ 。

在这里插入图片描述

刚刚分析的是最糟糕的情况，现在来分析一下最理想的情况，二叉查找树是一棵完全二叉树（或者满二叉树）。这个时候，插入、删除、查找的时间复杂度是多少呢？

从前面的例子、图，以及还有代码来看，不管操作是插入、删除、还是查找，时间复杂度跟树的高度成成比，也就是 O(height)。既然这样，现在问题就变成了，如何求一棵包含 n 个节点额度二叉树的高度？

树的高度就等于最大层数减一，为了方便计算，我们转换成层来表示。从图中可以看出，包含 n 个接地那的完全二叉树中，第一层包含 1 个节点，第二层包含 2 个节点，第三层包含 4 个节点，依次类推，下一层节点个数是上一层的 2 倍，第 k 层包含的结点个数就是 $2^{k-1}$ 。

不过，对于完全二叉树来说，最后一层的节点个数有点不遵守上面的规律了。它包含的节点个数在 1 到 $2^{L-1}$ （假设最大层数是 L）。我们把每一层的节点个数加起来就是总的节点个数 n。也就是说，如果节点个数是 n，那么 n 满足这样一个关系：
$n >= 1 + 2 +4+8+...+2^{L-2} + 1$
$n >= 1 + 2 +4+8+...+2^{L-2} + 2^{L-1}$

借助等比数列的求和公式，我们可以计算出 L 的范围是 [ $log_2(n+1)$ , $log_2n + 1$ ]。完全二叉树的层数小于等于 $log_2n + 1$ ，也就是说，完全二叉树的高度小于等于 $log_2n$ 。

显然，极度不平衡的二叉查找树，它的查找性能肯定不能满足我们的需求。我们需要构建一种不管怎么插入、删除数据，在任何时候，都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉查找树，这就是下篇文章要讲解的，一种特殊的二叉查找树，平衡二叉树查找树。平衡二叉查找树的高度接近 $l o g n$ ，所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定，是 $O (l o g n)$ 。