【数据结构】平衡二叉树（AVL树）

news2024/11/22 6:12:38

目录

前言

一、AVL树概念

二、AVL树节点定义

 三、AVL树插入

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

2. 维护节点的平衡因子与调整树的结构

 a. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

b. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

c. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋 

d. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

四、AVL树删除

附录：AVL树实现参考代码 

前言

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年发明了一种方法，用以解决上述问题。

一、AVL树概念

AVL 树是一种平衡二叉树，得名于其发明者的名字（ Adelson-Velskii 以及 Landis）。（可见名字长的好处，命名都能多占一个字母出来）。平衡二叉树递归定义如下：

  • 左右子树的高度差小于等于 1。
  • 其每一个子树均为平衡二叉树。

 为了使AVL树保持平衡，在节点中增加了一个平衡因子作为节点属性。当树发生变化时，就通过维护平衡因子与改变树的结构来使树保持平衡。

二、AVL树节点定义

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	std::pair<K, V> _kv;
	int _bf; //balance factor

	AVLTreeNode(const std::pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

 三、AVL树插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

参考二叉搜索树。

【数据结构】二叉搜索树-CSDN博客icon-default.png?t=N7T8https://blog.csdn.net/lyhv_v/article/details/139243506

2. 维护节点的平衡因子与调整树的结构

 cur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：

  1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
  2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可

此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2

  1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足 AVL树的性质，插入成功
  2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此 时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
  3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理

 a. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

Node* RotateR(Node* parent)
{
	Node* sub = parent->_left;
	Node* subR = sub->_right;

	if (parent == _root)
	{
		_root = sub;
		sub->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		Node* up = parent->_parent;
		if (up->_kv.first > sub->_kv.first)
			up->_left = sub;
		else
			up->_right = sub;

		sub->_parent = up;
	}

	parent->_left = subR;
	if (subR != nullptr)
		subR->_parent = parent;
	sub->_right = parent;
	parent->_parent = sub;

	parent->_bf = 0;
	sub->_bf = 0;
	return sub;
}

b. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

Node* RotateL(Node* parent)
{
	Node* sub = parent->_right;
	Node* subL = sub->_left;

	if (parent == _root)
	{
		_root = sub;
		sub->_parent = nullptr;				
	}
	else
	{
		Node* up = parent->_parent;
		if (up->_kv.first > sub->_kv.first)
			up->_left = sub;
		else
			up->_right = sub;

		sub->_parent = up;
	}

	parent->_right = subL;
	if (subL != nullptr)
		subL->_parent = parent;
	sub->_left = parent;
	parent->_parent = sub;

	parent->_bf = 0;
	sub->_bf = 0;
	return sub;
}

c. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋 

Node* RotateLR(Node* parent)
{
	Node* child = parent->_left;
	Node* sub = child->_right;
	Node* subL = sub->_left;
	Node* subR = sub->_right;

	if (parent == _root)
    {
		_root = sub;
		sub->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		Node* up = parent->_parent;
		if (up->_kv.first > sub->_kv.first)
			up->_left = sub;
		else
			up->_right = sub;

		sub->_parent = up;
	}

	sub->_right = parent;
	parent->_parent = sub;
	sub->_left = child;
	child->_parent = sub;
	parent->_left = subR;
	if (subR != nullptr)
		subR->_parent = parent;
	child->_right = subL;
	if (subL != nullptr)
		subL->_parent = child;

	if (sub->_bf == 1)
	{
		parent->_bf = 0;
		child->_bf = -1;
	}
	else if (sub->_bf == -1)
	{
		parent->_bf = 1;
		child->_bf = 0;
	}
	else
	{
		parent->_bf = 0;
		child->_bf = 0;
	}
	sub->_bf = 0;
	return sub;
}

d. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

Node* RotateRL(Node* parent)
{
	Node* child = parent->_right;
	Node* sub = child->_left;
	Node* subL = sub->_left;
	Node* subR = sub->_right;

	if (parent == _root)
	{
    	_root = sub;
		sub->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		Node* up = parent->_parent;
		if (up->_kv.first > sub->_kv.first)
			up->_left = sub;
		else
			up->_right = sub;

		sub->_parent = up;
	}

	sub->_left = parent;
	parent->_parent = sub;
	sub->_right = child;
	child->_parent = sub;
	parent->_right = subL;
	if (subL != nullptr)
		subL->_parent = parent;
	child->_left = subR;
	if (subR != nullptr)
		subR->_parent = child;

	if (sub->_bf == 1)
	{
		parent->_bf = -1;
		child->_bf = 0;
	}
	else if (sub->_bf == -1)
	{
		parent->_bf = 0;
		child->_bf = 1;
	}
	else
	{
		parent->_bf = 0;
		child->_bf = 0;
	}
	sub->_bf = 0;
	return sub;
}

四、AVL树删除

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不 错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

具体实现可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

附录：AVL树实现参考代码 

AVLTree · 梁羽赫/cpp_advanced - 码云 - 开源中国 (gitee.com)icon-default.png?t=N7T8https://gitee.com/yuhe-liang/cpp_advanced/tree/master/AVLTree

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