🛫前言🛫：

🚀一、树🚀：

1.树的概念：

2.树的相关概念：

3.树的表示：

4.树的实际使用场景：

🛰️二、二叉树🛰️：

1.二叉树的概念：

2.两种特殊二叉树：

①.满二叉树：

②.完全二叉树：

3.二叉树性质：

4.二叉树的存储结构：

①.顺序存储结构：

②.链式存储结构：

🛬总结🛬：

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🏡🏡 本文重点 🏡🏡：

🚅 树的概述 🚃 二叉树概述 🚏🚏

🛫前言🛫：

前面我们学习了顺序表与练表的相关知识，并且我们也通过结合链表的相关知识，实现了对栈与队列的各项相关接口功能的实现。而从今天开始，我将在接下来的三篇文章中向各位小伙伴们极尽详细的介绍树与二叉树的相关概念、结构与使用、应用的相关知识。

在今天的讲解中，主要是介绍和讲解树与二叉树的相关概念与结构，故本文适用于初次接触，没有树相关知识基础的小伙伴们。同时应当注意，与其他部分不同，树于二叉树的概念与结构对于其实现与使用十分重要，故单独撰文问各位小伙伴们进行详尽的介绍，希望大家能够对树与二叉树的相关概念结构有较好的掌握，以便于后文的理解与掌握。

🚀一、树🚀：

1.树的概念：

我们这里说到的树，不是指现实里真正的树，而是一种逻辑上类似于树，同时具有许多分支的数据结构。

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
除根节点外，其余结点被分成 M（M>0）个互不相交的集合 T1、T2、…… 、Tm，其中每一个集合 Ti（1<= i <= m）又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
因此，树是递归定义的。

同时这里我们要特别注意，在树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。例如下面这样的形式就不是树形结构：

2.树的相关概念：

节点的度：一个节点含有子树的个数称为该节点的度；如上图：A的度为6。
叶节点（终端节点）：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点。
非终端节点（分支节点）：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点。
双亲节点（父节点）：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点。
孩子节点（子节点）：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点。
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点。
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6。
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。
树的高度（深度）：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4。
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I 互为兄弟节点。
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先。
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙。
森林：由 m（m>0）棵互不相交的树所组成的的集合称为森林。

3.树的表示：

而关于树结构相对线性表就比较复杂了，尤其是其存储与表示比较麻烦，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。在我们的实际使用中，树有很多种表示方式，例如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等等。

这里我们就简单看看其中最常用的孩子兄弟表示法（这里不做深究，了解形式即可，后续会详细讲解）：

typedef int DataType;

struct Node
{
	struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
}

4.树的实际使用场景：

树结构在实际使用中，常用于表示文件系统、族系谱等的树状目录结构：

🛰️二、二叉树🛰️：

1.二叉树的概念：

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空；
由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从这张图中我们还可以看出：

二叉树不存在度大于 2 的结点。
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

同时注意，任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.两种特殊二叉树：

在所有的二叉树中，还有两种结构特殊的二叉树，即满二叉树与完全二叉树。

①.满二叉树：

定义：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K，且结点总数是 2^K-1 ，则它就是满二叉树。

②.完全二叉树：

定义：若二叉树的深度为 h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，且第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树由满二叉树引出。对于深度为 K 且有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点逐一对应时，则称之为完全二叉树。
要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3.二叉树性质：

二叉树具有以下五个重要性质：

若规定根节点的层数为 1，则一棵非空二叉树的第 X 层上最多有 2^(X-1) 个结点。
若规定根节点的层数为 1，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h-1 。
对任何一棵二叉树, 如果度为 0 且其叶结点个数为 N ，度为 2 的分支结点个数为 n，则有 N＝n＋1 。
若规定根节点的层数为 1，具有 n 个结点的满二叉树的深度 h = log2(n+1) 。
对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

若 i >0，i 位置节点的双亲序号为：(i-1)/2；i=0，i 为根节点编号，无双亲节点。
如果 2i > n，则结点 i 无左孩子（结点 i 为叶子结点）；否则其左孩子是结点 2i 。
如果 2i+1 > n，则结点 i 无右孩子，否则其右孩子是结点 2i+1 。

4.二叉树的存储结构：

简单来说，二叉树在使用时一般存在两种存储结构，分别是顺序存储结构与链式存储结构。而在本文中我们不对结构的具体实现做深究，详细内容将会在后文中详细说明，本文中各位小伙伴们只需关注两种结构的整体逻辑即可。

①.顺序存储结构：

定义：顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为若不是完全二叉树会存在空间的浪费。而现实使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

②.链式存储结构：

定义：二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。