机制设计原理与应用(四)预算可行的拍卖机制

news2024/9/22 9:58:15

文章目录

- 4 预算可行的拍卖机制
- - 4.1 特征
  - 4.2 使用案例
  - 4.3 拍卖设计问题
  - 4.4 单调次模函数（Monotone Submodular Function）
  - - 4.4.1 分配算法
    - 4.4.2 关键支付计划
    - 4.4.3 特性
  - 4.5 在线预算可行的拍卖机制
  - - 4.5.1 Secretary Problem(A Optimal Stopping Problem)
    - 4.5.2 在线预算可行的拍卖机制

4 预算可行的拍卖机制

4.1 特征

反向拍卖：

一位拍卖师：买方
许多竞标者：卖家

组合式拍卖

买方有一个预算

4.2 使用案例

众包

买家希望用固定的预算购买照片标签的服务。

目标是最大限度地增加有标签的照片的数量。

一个卖家出售标签服务。

卖家愿意标注的照片数量是不同的。

卖家的投标价格是不同的。

联邦学习

买方希望用固定的预算购买培训服务

其目的是使训练样本的数量最大化

卖方出售培训数据和培训服务

对于卖家来说数据量和投标成本都是不同的。

4.3 拍卖设计问题

在预算限制下，优化有标签的照片数量或总数据量。这是一个NP-hard的问题!
$\sum_{i \in S} x_i v_i \\ s.t.\sum_{i \in S} x_i c_i \le B$
这个问题与背包问题很类似。

个人理性（Individual rationality）：任何诚实的投标人的效用总是非负的， $p_i \ge c_i, \forall i \in S$

真实性（Truthfulness）：没有卖家可以通过虚报成本来提高效用， $U_i((v_i,\hat{c_i}),b_{-i}) \ge U_i((v_i,c_i),b_{-i}), \forall i \in S, c_i \neq \hat{c_i}$

问题公式化
$\begin{array}{l} \max \sum_{i \in S} x_{i} v_{i} \\ \text { s.t. } \sum_{i \in S} x_{i} p_{i} \leq B \quad \text { -预算约束 } \\ p_{i} \geq c_{i}, \forall i \in S \quad \text {-个人理性 } \\ U_{i}\left(\left(v_{i}, \widehat{c_{l}}\right), b_{-i}\right) \geq U_{i}\left(\left(v_{i}, c_{i}\right), b_{-i}\right), \forall i \in S, c_{i} \neq \widehat{c_{l}} \quad \text {-真实性} \end{array}$
从直觉上讲，类似于LOS机制（原本用于解决无限可分物体拍卖）的想法是可以实现的。

买方根据 $r_i=c_i/v_i$ 对收到的出价进行重新排序， $r_1<=r_2<= \cdots <=r_s$

根据上述顺序，检查从2到N的买方i，进行以下操作：

如果： $r_i * (v_1+v_2+v_{i-1})>B$ ，终止检查过程。
否则，请检查下一个投标人。

投标者1至投标者i-2获胜。每个赢家k的支付费用为 $v_k*r_{i-1}$

4.4 单调次模函数（Monotone Submodular Function）

有多个任务，其中每个任务都需要多个传感数据。

对于任务j，需要的数据片断的上限是 $w_j$
$min(n_j,w_j)$
目标是在预算约束B下最大限度地提高有效数据片的数量。
$\sum_{j \in T} min(n_j, w_j)$

$\begin{array}{l} \max V = \sum_{j \in T} min(n_{j},w_{j}) \text { -有效数据数量 } \\ \text { s.t. } \sum_{i \in S} x_{i} p_{i} \leq B \quad \text { -预算约束 } \\ n_j = \sum_{i \in S \& j \in T_i} x_i \\ p_{i} \geq c_{i}, \forall i \in S \quad \text {-个人理性 } \\ U_{i}\left(\left(v_{i}, \widehat{c_{l}}\right), b_{-i}\right) \geq U_{i}\left(\left(v_{i}, c_{i}\right), b_{-i}\right), \forall i \in S, c_{i} \neq \widehat{c_{l}} \quad \text {-真实性} \end{array}$

4.4.1 分配算法

在当前获胜的卖家集合U下，卖家i的边际贡献为
$V_i(U)=V(U \cup \{i\})-V(U)$
边际效率 $e_i$ 为
$e_i(U) = V_i(U)/c_i$
这是贪婪的！

伪代码表示

B’=0.5B; U={}
Sort all bidders in S according to $e_i$ in the non-increasing order.
Bidder f is the head of the list
while $V_f(U)/c_f ≥V(U \cup {f})/B′$
$\cup {f}$
Sort bidders in S\U according to ei in the non-increasing order.
Bidder f is the head of the list
end while

比例份额规则

单位成本的边际贡献>=单位预算购买的平均贡献

4.4.2 关键支付计划

对于每一个中标者i，我们首先移除中标者i，重新计算中标者的集合。

对于新计算出的中标集合中的每个投标人f,为投标人i计算出一个侯选付款 $p_{if}$ 。 $p_{if}$ 等于投标人i为击败投标人f的费用。

在所有的侯选付款 $p_{if}$ 中选取最大的付款。

因此，现在最重要的问题是如何计算出投标人i为击败投标人f而申报的费用？

1.要想代替f占据第一的位置，他们的边际效率应该是相同的
$V_i(U)/a_i >= V_f(U)/c_f$
2.为了满足循环条件
$V_i(U)/b_i>=V(U \cup \{ i \})/B^{\prime}$
3.在 $a_i$ 和 $b_i$ 之间取最小值。
$min\{a_i ,b_i\}$
伪代码表示

S’=S{i}; U={}; $p_{i}$ =0

Sort all bidders in S’ according to ei in the non-increasing order. Bidder f is the head of the list

while $V_f (U)/c_f ≥V(U∪{f})/B′$

$a_{if}=V_i(U) * c_{f}/V_f(U) $

$b_{if}=V_i(U) * B’/V(U∪\{ i \})$

$p_{i}=max \{p_{i},min \{ a_{if},b_{if} \} \}$

U=U∪{f};

Sort bidders in S’\U according to $e_i$ in the non-increasing order. Bidder f is the head of the list.

end while

$a_{if}=V_i(U) * c_{f}/Vf(U)$

$b_{if}=V_i(U) * B’/V(U∪\{ i \})$

$p_{i}=max \{p_{i},min \{ a_{if},b_{if} \} \}$

4.4.3 特性

真实性

个人理性

预算可行性

逼近率*

t是所有竞标者中最大的边际贡献与该机制实现的总数据效用的比率。
(e-1)/[3e(1+t)]

4.5 在线预算可行的拍卖机制

竞标者按顺序到达。

投标人可以在开始时间和结束时间之间的任何时间前来投标。

当出价人到达时，拍卖商必须立即返回决策结果，包括赢或不赢和付款，而不知道未来的信息。

相同的问题，只不过是在线拍卖，公式如下：
$\begin{array}{l} \max V = \sum_{j \in T} min(n_{j},w_{j}) \text { -有效数据数量 } \\ \text { s.t. } \sum_{i \in S} x_{i} p_{i} \leq B \quad \text { -预算约束 } \\ n_j = \sum_{i \in S \& j \in T_i} x_i \\ p_{i} \geq c_{i}, \forall i \in S \quad \text {-个人理性 } \\ U_{i}\left(\left(v_{i}, \widehat{c_{l}}\right), b_{-i}\right) \geq U_{i}\left(\left(v_{i}, c_{i}\right), b_{-i}\right), \forall i \in S, c_{i} \neq \widehat{c_{l}} \quad \text {-真实性} \end{array}$