前言

前面我们学习的都是一些线性的数据结构，比顺序表，链表，栈和队列，逻辑结构比较简单，今天我们重点学习的是一种非线性的数据结构，就是树形结构。

一、树

在现实生活中我们都看到过树，如下图，所以对树的形状会有一个基本的认知

但是在数据结构这门课中我们学习的树可就不是长上面这个样子了，而是下面这个奇怪的样子：

1、树的相关概念

（1）结点

每一个树都是由一个个小小的单元组成，在数据结构中，我们将这样的小单元称为结点。

像上面ABCDEF都是这棵树的结点。

（2）结点的度

每一个结点都是相当于一棵子树的根，而根又会有很多的分支，在数据结构中，一个结点有多少个分支，我们就说这个结点的度为多少。比如：

像上面这个图中，A这个结点有三个分支，就说明A的度为3。E和F这两个结点没有分支，我们就说这两个结点的度为0。

（3）叶结点

我们将度为0的结点称为叶子结点，或简称为叶节点。如下图中的EF结点度为0，所以它们为叶节点。

（4）分支结点

与叶子结点相反，度不为0的结点我们称为分支结点，如下图中AC结点的度不为0，所以AC结点为分支结点。

（5）父亲结点

如果一个结点含有分支，也就是包含子树，则我们将这个结点称为其子树的父亲结点或双亲结点，后面我们是用parent来表示。如下图中的A结点有三个分支BCD结点，所以我们成A结点是BCD结点的父亲结点。

（6）子节点

一个结点含有的子树的根结点我们称为这个结点的子节点，就是我们要知道一个子树是由自己的根节点和另外的子树构成的。下图中：A包含BCD三个子树，BCD三个结点分别为对应子树的根节点，所以我们成BCD结点为A结点的子节点，后面我们是用child来表示。

（7）树的度

一棵树中所有结点中度最大的结点的度我们称为这棵树的度，下图中：显然A结点的度最大，是3，所以我们说这棵树的度为3。

（8）结点的层次

从这棵树的根节点开始定义，我们说根结点是第一层，其子树的根节点为第三层，以此类推。下图中：A为第一层，BCD为第二层，EF为第三层。

（9）树的深度（高度）

一棵树最大的层次就是这棵树的深度（高度），如下图中：这棵树的最大层次为3，所以我们说这棵树的深度（高度）为3。

（10）结点的祖先

从根到该节点所经分支上的所有结点都称为该节点的祖先，注：在OJ题中一个结点也可以算成其自己的祖先。如下图中：从A到E，经历了ACE，所以我们成ACE结点都是E结点的祖先。

（11）子树

任意一个结点都可以说是由根节点和其自己的子树组成

2、树的表示方法

上面介绍的树是树中的一种特殊的结构，二叉树，二叉树中每个节点的度最大为2，但是树就不一样了，树中的每一个结点的度是不确定的，可多可少。所以表示起来会比较麻烦，在这里我们学习一种比较优秀的表示方法：孩子兄弟表示法，这个方法需要和前面学习的链表结合起来，首先需要定义树中结点的结构

// 定义树存储的数据类型
typedef int TreeDataType;

// 定义一棵树的结点的结构
struct TreeNode
{
	TreeDataType data;
	struct TreeNode* first_child;
	struct TreeNode* next_brother;
};

其中data表示结点存储的值，first_child指向的是该节点的第一个孩子，next_brother指向的是该节点向右的下一个结点，我们称为兄弟结点。如下图：

二、二叉树

一棵树中，如果每一个结点的度都不超过2，则称这棵树为二叉树。二叉树中的孩子结点是有左右之分的，位于左边的结点称为左孩子结点，位于右边的结点称为右孩子结点，子树同样也有左右之分，位于左边的称为左子树，位于右边的称为右子树。

1、特殊的二叉树

（1）满二叉树

如果每一层的结点都达到最大值，则我们称这棵树为满二叉树，如：一棵树中，第一层是根节点，最多只有一个结点，第二层最大有两个结点，第三层最多有四个结点，第四层最多有8个结点，以此类推，第N层最多有2^(N-1)个结点，如下图就是一棵满二叉树。

（2）完全二叉树

满二叉树是一种特殊的完全二叉树，完全二叉树的特点是：如果这棵树有N层，前N-1层的结点树都是达到对应层的最大值，最后一层可能达到最大，也可能未达到最大，但是从左到右是满的