树的应用举例——并查集和树状数组

news2024/9/28 17:22:55

并查集

并查集是利用森林来描述一些不相交的集合，并支持集合的合并操作和查询操作。

假设有n个元素，分为m个不相交集合，一个集合构成一棵树，同一棵树（集合）中的元素地位相等。例如下图的森林表示一个包含了18个元素的并查集，分为三个集合：集合1,9,13.

路径压缩：

在合并树的同时，考虑将树的高度也降低，一般运用于查询操作。

实现方法：
在查询结点x时，不仅要得到其所在树的根结点，而且将x到根结点的路径上的所有结点的父节点都调整为根结点。

对图3-22（a）进行路径压缩，得到以下图

#include<iostream>
using namespace std;
typedef int datatype;
constexpr auto N = 100;
//由并查集的两种操作可知，并查集的操作中主要涉及结点的父节点和树的根结点，
//因此可以采用树的双亲表示法表示并查集。
//由下面并查集的类型定义可知，初始并查集每个集合里就一个元素，mq即表示一个并查集。
struct mqNode {
	int pa;
	datatype data;
	mqNode() :pa(-1) {};
}mq[N];

//并查集的查询操作
int query(int x) {
	if (mq[x].pa == -1)return x; //x没有父节点，则x为根结点
	mq[x].pa = query(mq[x].pa); //向上查询x的父节点，并进行路径压缩，让x到根结点的路径都独立出来，成为第二层节点，链接根结点
	return mq[x].pa;
}

//并查集的合并操作：1.获取两个元素所在树的根结点 2.检查两个元素是否属于同一集合
void merge(int x, int y) {
	x = query(x), y = query(y);
	if (x != y)
		mq[x].pa = y;
}

int main() {

}

并查集应用举例

并查集是一个很有用的数据结构，在Kruskal 算法以及判断无向图是否为连通图时都采用并查集。下面通过一个例子说明并查集的使用方法。
【例】学校有一个合唱团，合唱团成员是从学校各个专业选拔上来的，共有n位同学。现询问任意两位同学是否来自同一个班级，在经过若干次询问之后，假设得到肯定回答的有m对学生。根据m 对学生信息，判断合唱团的成员至多来自多少个不同的班级。
例如，合唱团共有有10位成员，编号依次为1到10，设m=7，且7对同学分别为(1,2) , (2,6)，(3,4),(8,5) , (5,4) , (9 10）,(6，1)。则可以看出，1,2,6来自同一个班级，3、4、5、8来自同一班级，9、10来自同一班级，7没有信息，因此这10位同学至多来自4个班级。
显然，可以用并查集解决该问题，即将来自同一班级的两位同学所在的集合合并，最后
只要统计集合的数量即可。

void merge(int x, int y) {
	x = query(x), y = query(y);
	if (x != y)
		mq[x].pa = y;
}

int num_class() {
	int n, m, x, y, ret = 0;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		cin >> x >> y;  //输入在同一班的两位学生编号
		merge(x, y); //合并操作
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) //统计集合数量
		ret += mq[i].pa == -1;
	return ret;
}