多项式简介

Numpy.polynomial中封装了六种多项式类，除了常规的多项式$a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$之外，还有五种在数学、物理中常用的正交多项式，例如Hermite多项式在量子力学中是谐振子的本征态；Legendre多项式可表示点电荷在空间中的激发电势；切比雪夫多项式可用于缓解龙格现象；拉盖尔多项式则是氢原子基函数的径向部分，下表是这些多项式在numpy中封装的类以及各阶表达式。

类	中文名称	第n阶表达式
Polynomial	多项式	$x^n$
Chebyshev	第一类切比雪夫多项式	$\cos (n\arccos x)$
Legendre	勒让德多项式	$\frac{1}{2^{n}n!}\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{x}^n}(x^2-1{)}^n$
Laguerre	拉盖尔多项式	$\frac{e^x}{n!}\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{x}^n}(e^{-x}{x}^n)$
Hermite	埃尔米特多项式(物理)	$(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{x}^n}{e}^{-x^2}$
HermiteE	埃尔米特多项式(统计)	$(-1{)}^n{e}^{x^2/2}\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{x}^n}{e}^{-x^2/2}$

numpy为埃尔米特多项式提供了两种形式，Hermite为物理学家常用的形式，可记作$H_n^{phys}$，HermiteE为统计学家常用的形式，记作$H_n^{prob}$，二者之间满足$H_n^{phys}(x)=2^{n/2}{H}_n^{prob}(\sqrt{2}x)$。

这些多项式均满足一定的递推关系，如下表所示

多项式	$X_{n+1}$	导数$X_n^{\prime }$
Chebyshev	$2x{T}_n-T_{n-1}$	$\frac{n}{1-x^2}(T_{n-1}-x{T}_n)$
Legendre	$\frac{2n+1}{n+1}x{P}_n-\frac{n}{n+1}{P}_{n-1}$	$1+{\sum }_{i=1}^{n-1}(2i+1)P_i$
Laguerre	$\frac{(2n+1-x)L_n-n{L}_{n-1}}{n+1}$	${\sum }_{i=0}^{n-1}\frac{L_i}{n-i}$
Hermite	$2x{H}_n-2n{H}_{n-1}$	$2n{H}_{n-1}$

构造函数与图像

这些多项式采用了相同的构造函数，使用起来非常方便，以Polynomial类为例，其构造函数为

Polynomial(coef, domain=None, window=None, symbol='x')

其中coef为多项式的系数，domian为$x$的定义域，window为定义域的放缩因子；symbol为多项式的自变量符号，默认为x。

下面以常规多项式和埃米尔特多项式为例，写出$4+3x+2x^2+x^3$和$4+3H_1(x)+2H_2(x)+3H_3(x)$的构造方法

from numpy.polynomial import Polynomial
p3 = poly.Polynomial(coef=[4,3,2,1])
print(p3)
# 输出为4.0 + 3.0 x**1 + 2.0 x**2 + 1.0 x**3
from numpy.polynomial.hermite import Hermite
# 此为埃尔米特多项式
h3 = Hermite(coef=[4,3,2,1])
print(h3)
# 输出为4.0 + 3.0 H_1(x) + 2.0 H_2(x) + 1.0 H_3(x)

接下来，将这些多项式的前六阶画出来

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from numpy import polynomial as poly
polyDct = {
    "Polynomial":poly.polynomial.Polynomial,
    "Chebyshev":poly.chebyshev.Chebyshev,
    "Legendre":poly.legendre.Legendre,
    "Laguerre":poly.laguerre.Laguerre,
    "Hermite":poly.hermite.Hermite,
    "HermiteE":poly.hermite_e.HermiteE,
}
axes = plt.subplots(2,3)[1].reshape(-1)
for key,ax in zip(polyDct, axes):
    for i in range(6):
        c = np.zeros(i+1)
        c[i] = 1
        p = polyDct[key](coef=c, domain=(-5,5))
        xs, ys = p.linspace()
        ax.plot(xs, ys, label=str(i))
    ax.set_title(key)
    ax.legend()

plt.show()

效果为

运算符重载

多项式之间可以进行加减乘除这些运算并不奇怪，例如$p(x)=x^3+x$，其系数由低到高为[0,1,0,1]，则$p(x)\ast p(x)=x^6+2x^4+x^2$，系数变为[0,0,1,0,2,0,1]。

numpy中对多项式提供了+-*/的运算符重载，支持多项式与多项式，或多项式与数值之间的计算。

from numpy.polynomial.polynomial import Polynomial
pTest = Polynomial([0,1,0,1])
print(pTest*pTest)
# 0.0 + 0.0 x**1 + 1.0 x**2 + 0.0 x**3 + 2.0 x**4 + 0.0 x**5 + 1.0 x**6

和我们预想的情况完全相符。

多项式类还封装了一些用于比较的函数，相当于是运算符重载的补充，包括：has_samecoef, has_samedomain, has_sametype, has_samewindow，这些函数命名非常直观，相当于是相等的扩展。

常用方法

这些多项式采用了相同的接口，使用起来非常便捷。

方法	说明	方法	说明
deriv	求导	integ	积分
roots	求根	fromroot	反演
linspace	采样	fit	拟合
cutdeg	阶数截断	basis	生成
trim	移除系数

下面以Hermite多项式为例，对这些方法进行调用，

from numpy.polynomial.hermite import Hermite
h3 = Hermite(coef=[4,3,2,1])
print(h3)
# 输出为4.0 + 3.0 H_1(x) + 2.0 H_2(x) + 1.0 H_3(x)

h3.deriv(1)     # 求1阶导数
# 结果为Hermite([6., 8., 6.])
h3.deriv(3)     # 求3阶导数
# 结果为Hermite([48.])
h3.integ(2)     # 求2阶积分
# 结果为Hermite([0.5       , 0.        , 0.5       , 0.125     , 0.04166667, 0.0125    ])
rs = h3.roots() # 求根
print(rs)       # 反演结果 保留4位有效数字
# [-1.500e+00, -3.617e-16,  5.000e-01]
pNew = p3.fromroots(rs)
print(pNew)     # 反演结果 保留3位小数
# 0.500 + 0.375H_1(x) + 0.250H_2(x) + 0.125 H_3(x)

xs, ys = h3.linspace()  # 对h3进行采样
h3_3 = h3.fit(xs, ys, 3)    # 根据xs, ys做3阶Hermite多项式拟合
print(h3_3)     # 拟合结果，保留2位小数
# 4.0 + 3.0 H_1(x) + 2.0 H_2(x) + 1.0 H_3(x)
h3_4 = h3.fit(xs, ys, 4)    #4阶Hermite多项式拟合
print(h3_4)     # 拟合结果，保留2位小数
# 4.0 + 3.0 H_1(x) + 2.0 H_2(x) + 1.0H_3(x) -9.8e-16 H_4(x)

root用于求根，fromroots在已知根的情况下，反演出多项式的形式，这两者并不是严格互为相反的。