SciPy 插值
什么是插值？
在数学的数值分析领域中，插值（英语：interpolation）是一种通过已知的、离散的数据点，在范围内推求新数据点的过程或方法。
简单来说插值是一种在给定的点之间生成点的方法。
例如：对于两个点 1 和 2，我们可以插值并找到点 1.33 和 1.66。
插值有很多用途，在机器学习中我们经常处理数据缺失的数据，插值通常可用于替换这些值。
这种填充值的方法称为插补。
除了插补，插值经常用于我们需要平滑数据集中离散点的地方。
如何在 SciPy 中实现插值？
SciPy 提供了 scipy.interpolate 模块来处理插值。
一维插值
一维数据的插值运算可以通过方法 interp1d() 完成。
该方法接收两个参数 x 点和 y 点。
返回值是可调用函数，该函数可以用新的 x 调用并返回相应的 y，y = f(x)。
对给定的 xs 和 ys 插值，从 2.1、2.2... 到 2.9：
from scipy.interpolate import interp1d
import numpy as np
xs = np.arange(10)
ys = 2*xs + 1
interp_func = interp1d(xs, ys)
newarr = interp_func(np.arange(2.1, 3, 0.1))
print(newarr)输出结果为：
[5.2 5.4 5.6 5.8 6. 6.2 6.4 6.6 6.8]注意：新的 xs 应该与旧的 xs 处于相同的范围内，这意味着我们不能使用大于 10 或小于 0 的值调用 interp_func()。
单变量插值
在一维插值中，点是针对单个曲线拟合的，而在样条插值中，点是针对使用多项式分段定义的函数拟合的。
单变量插值使用 UnivariateSpline() 函数，该函数接受 xs 和 ys 并生成一个可调用函数，该函数可以用新的 xs 调用。
分段函数，就是对于自变量 x 的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。
为非线性点找到 2.1、2.2...2.9 的单变量样条插值：
实例
from scipy.interpolate import UnivariateSpline
import numpy as np
xs = np.arange(10)
ys = xs**2 + np.sin(xs) + 1
interp_func = UnivariateSpline(xs, ys)
newarr = interp_func(np.arange(2.1, 3, 0.1))
print(newarr)输出结果为：
[5.62826474 6.03987348 6.47131994 6.92265019 7.3939103 7.88514634
8.39640439 8.92773053 9.47917082]径向基函数插值
径向基函数是对应于固定参考点定义的函数。
曲面插值里我们一般使用径向基函数插值。
Rbf() 函数接受 xs 和 ys 作为参数，并生成一个可调用函数，该函数可以用新的 xs 调用。
实例
from scipy.interpolate import Rbf
import numpy as np
xs = np.arange(10)
ys = xs**2 + np.sin(xs) + 1
interp_func = Rbf(xs, ys)
newarr = interp_func(np.arange(2.1, 3, 0.1))
print(newarr)输出结果为：
[6.25748981 6.62190817 7.00310702 7.40121814 7.8161443 8.24773402
8.69590519 9.16070828 9.64233874]一维插值
插值不同于拟合。插值函数经过样本点，拟合函数一般基于最小二乘法尽量靠近所有样本点穿过。常见插值方法有拉格朗日插值法、分段插值法、样条插值法。
拉格朗日插值多项式：当节点数n较大时，拉格朗日插值多项式的次数较高，可能出现不一致的收敛情况，而且计算复杂。随着样点增加，高次插值会带来误差的震动现象称为龙格现象。
分段插值：虽然收敛，但光滑性较差。
样条插值:样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。
# -*-coding:utf-8 -*-import numpy as np
from scipy import interpolate
import pylab as pl
import numpy as np
x=np.linspace(0,10,11)
#x=[ 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.]
y=np.sin(x)
xnew=np.linspace(0,10,101)
pl.plot(x,y,"ro")
for kind in ["nearest","zero","slinear","quadratic","cubic"]:#插值方式#"nearest","zero"为阶梯插值#slinear 线性插值#"quadratic","cubic" 为2阶、3阶B样条曲线插值
f=interpolate.interp1d(x,y,kind=kind)
# ‘slinear’, ‘quadratic’ and ‘cubic’ refer to a spline interpolation of first, second or third order)
ynew=f(xnew)
pl.plot(xnew,ynew,label=str(kind))
pl.legend(loc="lower right")
pl.show()结果：
二维插值
方法与一维数据插值类似，为二维样条插值。
# -*- coding: utf-8 -*-"""
# 演示二维插值。
import numpy as np
from scipy import interpolate
import pylab as pl
import matplotlib as mpl
def func(x, y):
return (x+y)*np.exp(-5.0*(x**2 + y**2))
# X-Y轴分为15*15的网格
y,x= np.mgrid[-1:1:15j, -1:1:15j]
fvals = func(x,y) # 计算每个网格点上的函数值 15*15的值print len(fvals[0])
#三次样条二维插值
newfunc = interpolate.interp2d(x, y, fvals, kind='cubic')
# 计算100*100的网格上的插值
xnew = np.linspace(-1,1,100)#x
ynew = np.linspace(-1,1,100)#y
fnew = newfunc(xnew, ynew)#仅仅是y值 100*100的值# 绘图# 为了更明显地比较插值前后的区别，使用关键字参数interpolation='nearest'# 关闭imshow()内置的插值运算。
pl.subplot(121)
im1=pl.imshow(fvals, extent=[-1,1,-1,1], cmap=mpl.cm.hot, interpolation='nearest', origin="lower")#pl.cm.jet#extent=[-1,1,-1,1]为x,y范围 favals为
pl.colorbar(im1)
pl.subplot(122)
im2=pl.imshow(fnew, extent=[-1,1,-1,1], cmap=mpl.cm.hot, interpolation='nearest', origin="lower")
pl.colorbar(im2)
pl.show()
左图为原始数据，右图为二维插值结果图。
二维插值的三维展示方法
# -*- coding: utf-8 -*-"""
# 演示二维插值。
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib as mpl
from scipy import interpolate
import matplotlib.cm as cm
import matplotlib.pyplot as plt
def func(x, y):
return (x+y)*np.exp(-5.0*(x**2 + y**2))
# X-Y轴分为20*20的网格
x = np.linspace(-1, 1, 20)
y = np.linspace(-1,1,20)
x, y = np.meshgrid(x, y)#20*20的网格数据
fvals = func(x,y) # 计算每个网格点上的函数值 15*15的值
fig = plt.figure(figsize=(9, 6))
#Draw sub-graph1
ax=plt.subplot(1, 2, 1,projection = '3d')
surf = ax.plot_surface(x, y, fvals, rstride=2, cstride=2, cmap=cm.coolwarm,linewidth=0.5, antialiased=True)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('f(x, y)')
plt.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)#标注#二维插值
newfunc = interpolate.interp2d(x, y, fvals, kind='cubic')#newfunc为一个函数# 计算100*100的网格上的插值
xnew = np.linspace(-1,1,150)#x
ynew = np.linspace(-1,1,150)#y
fnew = newfunc(xnew, ynew)#仅仅是y值 100*100的值 np.shape(fnew) is 100*100
xnew, ynew = np.meshgrid(xnew, ynew)
ax2=plt.subplot(1, 2, 2,projection = '3d')
surf2 = ax2.plot_surface(xnew, ynew, fnew, rstride=2, cstride=2, cmap=cm.coolwarm,linewidth=0.5, antialiased=True)
ax2.set_xlabel('xnew')
ax2.set_ylabel('ynew')
ax2.set_zlabel('fnew(x, y)')
plt.colorbar(surf2, shrink=0.5, aspect=5) #标注
plt.show()
左图的二维数据集的函数值由于样本较少，会显得粗糙。而右图对二维样本数据进行三次样条插值，拟合得到更多数据点的样本值，绘图后图像明显光滑多了。
参考：https://www.runoob.com/scipy/scipy-interpolation.html
https://blog.csdn.net/qq_20011607/article/details/81412985
