二叉树知识概括锦囊（一）

news2024/10/5 17:20:48

作者：爱塔居

专栏：数据结构

作者简介：大三学生，希望跟大家一起进步！

文章目录

一、树形结构

二、树的基础知识

三、二叉树

3.1 概念

3.2 特殊的二叉树

3.3 二叉树的性质

四、习题挑战

一、树形结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合，把它叫做树是因为它是根朝上，叶子朝下的。

以下这个图就是二叉树：

树有以下特点：

🎈有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

🎗除根结点外，其余结点被分为M（M>0)个互不相交的集合 $T^{_{1}}$ 、 $T^{_{2}}$ 、……、T $_{m}$ ,其中每一个集合T（1<=i<=m)又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。

🎀树是递归定义的。

🍟树形结构中，子树之间不能有交集。而且除了根结点，每个结点有且仅有一个父结点

这两种都不是二叉树：

🧁一棵N个结点的树有N-1条边

二、树的基础知识

结点的度：一个结点含有子树的个数，称为该结点的度；如上图：A的度为6

树的度：一棵树中所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶子结点；如上图：B、C、H、I、P、Q、K、L、M、N是叶子结点。

双亲结点或者父结点：若一个结点含有子结点；则这个结点称为其子节点的父节点；如上图，A是B的父结点。

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子节点：B是A的孩子结点

根结点：一个树，没有双亲结点的结点；就如图中的A

结点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的子节点为第2层，以此类推。

树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

三、二叉树

3.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1.或者为空

2.或者是由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树不存在度大于2的结点且二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，所以二叉树是有序树。

3.2 特殊的二叉树

满二叉树在外观上是一个三角形的结构，比较好认。而且如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数为 $2^{^{k}}-1$ ，则它就是满二叉树。我们还能得出第K层的结点数为 $2^{k-1}$ .

如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3.3 二叉树的性质

1.若规定根结点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ (i>0)个结点（也就是当二叉树为完全二叉树的情况）。

2.若规定只有根结点的二叉树的深度为，则深度为K的二叉树的最大结点数是 $2^{k}-1$ (k>=0)(当二叉树为满二叉树的情况）。

3.对任何一棵二叉树，如果其叶结点个数为 $n_{0}$ ，度为2的非叶结点个数为 $n^{_{2}}$ ，则有 $n_{0}=n_{2}+1$ 。

推算过程：

设二叉树度为0的结点数为 $n_{0}$ ,度为1的结点数为 $n_{1}$ ,度为2的结点数为 $n_{2}$ ,总结点数设为N。

二叉树只有这三种结点，故 $N=n_{0}+n_{1}+n_{2}$ ————①;

我们前面提过，结点为N的二叉树，会有N-1条边。

故 $N-1=2\times n_{2}+1\times n_{1}+0\times n_{0}$ ,故 $N=2\times n_{2}+n_{1}+1$ ————②;

①②联合起来： $n_{0}+n_{1}+n_{2}=2\times n_{2}+n_{1}+1$ ,简化后 $n_{0_{}}=n_{2}+1$

4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为 $log_{2}^{(n+1)}$ 上取整。

推导过程：

因为深度为k的二叉树的最大结点数为 $2^{k}-1$ 。

$2^{k}-1=n \Rightarrow 2^{k}=n+1 \Rightarrow k=log{_{2}}^{n+1}$

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

四、习题挑战

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199

推导过程： $n_{0}=n_{2}+1$ $\Rightarrow n_{0}=200$

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）
A n
B n+1
C n-1
D n/2

推导过程：

2n>>偶数个结点的情况：

如图，n=5，叶子结点个数为5

正经推算：

$2n=n_{0}+n_{1}+n_{2}$

偶数结点的情况： $n_{1}=1$

$n_{0}=n_{2}+1$

$2n=n_{0}+1+n_{0}-1=2\times n_{0}\Rightarrow n=n_{0}$