[排序算法]4. 图解堆排序及其代码实现

news2024/11/17 17:30:27

先来看看什么是堆?

堆是一种图的树形结构，被用于实现“优先队列”（priority queues）

注:优先队列是一种数据结构，可以自由添加数据，但取出数据时要从最小值开始按顺序取出。

在堆的树形结构中，各个顶点被称为“结点”（node），数据就存储在这些结点中，堆中的每个结点最多有两个子结点

在堆中存储数据时必须遵守这样一条规则：子结点必定大于父结点。因此，最小值被存储在顶端的根结点中。从堆中取出数据时，取出的是最上面的数据。这样，堆中就能始终保持最上面的数据最小。同时由于最上面的数据被取出，因此堆的结构也需要重新调整。

01 首先，在堆中存储所有的数据，并按降序来构建堆。

02 现在，所有数据都存进堆里了。为了排序，需要再从堆中把数据一个个取出来。

注：
从降序排列的堆中取出数据时会从最大的数据开始取，所以将取出的数据反序输出，排序就完成了。

03 首先取出根结点的数字7。

04 重新构造堆。

重构的规则请参考：

[数据结构]图解堆结构及其代码实现-CSDN博客

05 同样地，取出根结点的数字6，将它放在右数第2个位置上。

06 重新构造堆。

07 重复上述操作直到堆变空为止。

08 排序中……

09 从堆中取出了所有数字，排序完成。

解说
        堆排序一开始需要将n个数据存进堆里，所需时间为O（nlogn）。排序过程中，堆从空堆的状态开始，逐渐被数据填满。由于堆的高度小于log2n，所以插入1个数据所需要的时间为O（logn）。
每轮取出最大的数据并重构堆所需要的时间为O（logn）。由于总共有n轮，所以重构后排序的时间也是O（nlogn）。因此，整体来看堆排序的时间复杂度为O（nlogn）。
        这样来看，堆排序的运行时间比之前讲到的冒泡排序、选择排序、插入排序的时间O（n2）都要短，但由于要使用堆这个相对复杂的数据结构，所以实现起来也较为困难。
        一般来说，需要排序的数据都存储在数组中。这次我们使用了堆这种数据结构，但实际上，这也相当于将堆嵌入到包含了序列的数组中，然后在数组中通过交换数据来进行排序。具体来说，就是让堆中的各结点和数组像下图这样呈对应关系。正如大家所见，这可以说是强行在数组中使用了堆结构。

代码演示

def heapify(arr, n, i):
    # 初始化最大值的索引为当前节点
    largest = i
    # 左子节点的索引
    left = 2 * i + 1
    # 右子节点的索引
    right = 2 * i + 2

    # 如果左子节点比当前节点大，更新最大值索引
    if left < n and arr[i] < arr[left]:
        largest = left

    # 如果右子节点比当前节点大，更新最大值索引
    if right < n and arr[largest] < arr[right]:
        largest = right

    # 如果最大值不是当前节点，交换值并递归调整
    if largest != i:
        arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i]
        heapify(arr, n, largest)


def heap_sort(arr):
    n = len(arr)

    # 构建最大堆（Max Heap）
    # 从最后一个非叶子节点开始到根节点，逐个进行堆调整
    for i in range(n // 2 - 1, -1, -1):
        heapify(arr, n, i)

    # 逐步取出最大元素并进行堆调整
    for i in range(n - 1, 0, -1):
        # 将当前最大值（堆顶）与未排序部分的最后一个值交换
        arr[i], arr[0] = arr[0], arr[i]
        # 对剩余元素重新构建最大堆
        heapify(arr, i, 0)

    return arr


arr = [2, 6, 7,8, 9, 4, 10, 3, 5, 1]
sorted_arr = heap_sort(arr)
print(sorted_arr)